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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
und auf ebendiese wird man auch geführt, wenn man die Werte der
Luxusparameter r, s überhaupt irgendwie aus der Gruppe der Werte c, c1, 0, 1
auswählt.

Jedes von diesen Systemen ist eine Darstellung der allgemeinsten
Wurzeln der Gleichung 1) (nunmehr ohne überzählige Parameter), welche
inbezug auf die wesentlichen Parameter u, v der Adventivforderung genügt.
Allein es erscheint die Symmetrie in denselben nun dermassen verhüllt,
dass man, wo es auf die Wahrung solcher ankommt, besser thut, die
Lösungsform 2) und damit die Luxusparameter beizubehalten.

Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y:
4) a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0
nach diesen symmetrisch allgemein aufzulösen unter der Voraussetzung,
dass die Resultante ihrer Elimination
5) a b c d = 0
erfüllt sei -- Bd. 1, S. 515 . . . . 519.

Auflösung. Das allgemeinste, auch der Adventivforderung ge-
nügende System von Wurzeln ist gegeben durch

6)
 x = {a1 + (b1 r + c r1) d} u v + {b1 + (a1 s + d s1) c} u v1 +
+ (b1 + a1 s + d s1) c u1 v + (a1 + b1 r + c r1) d u1 v1
y = {a1 + (b r + c1 r1) d} u v + (c1 + a1 s + d s1) b u v1 +
+ {c1 + (a1 s + d s1) b} u1 v + (a1 + b r + c1 r1) d u1 v1
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+ (b1 + a s + d1 s1) c u1 v + {d1 + (b1 r + c r1) a} u1 v1,
wo u, v die wesentlichen, r, s Luxusparameter vorstellen.

Beweis. Hiemit wird, zunächst ohne Rücksicht auf 5)
a x y = 0 u v + a b c d s1 u v1 + a b c d s1 u1 v + 0 u1 v1
b x y1 = a b c d r1 u v + 0 u v1 + 0 u1 v + a b c d r1 u1 v1
c x1 y = a b c d r u v + 0 u v1 + 0 u1 v + a b c d r u1 v1
d x1 y1 = 0 u v + a b c d s u v1 + a b c d s u1 v + 0 u1 v1;
mit Rücksicht auf die Resultante verschwinden also alle vier Ausdrücke
identisch, d. h. es stimmt die "Probe 1", oder unsere Formeln 6)
liefern uns stets richtige Wurzeln. "Probe 2": Sei jetzt x, y irgend
ein Paar von Wurzeln, für welche die Gleichung 4) von vornherein
erfüllt ist. Falls es überhaupt ein solches gibt, so gilt dann auch die
Gleichung 5). Dann muss gezeigt werden, dass für u = x, v = y die
beiden ersten Gleichungen 6) sich bewahrheiten. Setzt man aber x

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
und auf ebendiese wird man auch geführt, wenn man die Werte der
Luxusparameter r, s überhaupt irgendwie aus der Gruppe der Werte c, c1, 0, 1
auswählt.

Jedes von diesen Systemen ist eine Darstellung der allgemeinsten
Wurzeln der Gleichung 1) (nunmehr ohne überzählige Parameter), welche
inbezug auf die wesentlichen Parameter u, v der Adventivforderung genügt.
Allein es erscheint die Symmetrie in denselben nun dermassen verhüllt,
dass man, wo es auf die Wahrung solcher ankommt, besser thut, die
Lösungsform 2) und damit die Luxusparameter beizubehalten.

Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y:
4) a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0
nach diesen symmetrisch allgemein aufzulösen unter der Voraussetzung,
dass die Resultante ihrer Elimination
5) a b c d = 0
erfüllt sei — Bd. 1, S. 515 . . . . 519.

Auflösung. Das allgemeinste, auch der Adventivforderung ge-
nügende System von Wurzeln ist gegeben durch

6)
 x = {a1 + (b1 r + c r1) d} u v + {b1 + (a1 s + d s1) c} u v1 +
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wo u, v die wesentlichen, r, s Luxusparameter vorstellen.

Beweis. Hiemit wird, zunächst ohne Rücksicht auf 5)
a x y = 0 u v + a b c d s1 u v1 + a b c d s1 u1 v + 0 u1 v1
b x y1 = a b c d r1 u v + 0 u v1 + 0 u1 v + a b c d r1 u1 v1
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d x1 y1 = 0 u v + a b c d s u v1 + a b c d s u1 v + 0 u1 v1;
mit Rücksicht auf die Resultante verschwinden also alle vier Ausdrücke
identisch, d. h. es stimmt die „Probe 1“, oder unsere Formeln 6)
liefern uns stets richtige Wurzeln. „Probe 2“: Sei jetzt x, y irgend
ein Paar von Wurzeln, für welche die Gleichung 4) von vornherein
erfüllt ist. Falls es überhaupt ein solches gibt, so gilt dann auch die
Gleichung 5). Dann muss gezeigt werden, dass für u = x, v = y die
beiden ersten Gleichungen 6) sich bewahrheiten. Setzt man aber x

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[427/0071] § 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen. und auf ebendiese wird man auch geführt, wenn man die Werte der Luxusparameter r, s überhaupt irgendwie aus der Gruppe der Werte c, c1, 0, 1 auswählt. Jedes von diesen Systemen ist eine Darstellung der allgemeinsten Wurzeln der Gleichung 1) (nunmehr ohne überzählige Parameter), welche inbezug auf die wesentlichen Parameter u, v der Adventivforderung genügt. Allein es erscheint die Symmetrie in denselben nun dermassen verhüllt, dass man, wo es auf die Wahrung solcher ankommt, besser thut, die Lösungsform 2) und damit die Luxusparameter beizubehalten. Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y: 4) a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0 nach diesen symmetrisch allgemein aufzulösen unter der Voraussetzung, dass die Resultante ihrer Elimination 5) a b c d = 0 erfüllt sei — Bd. 1, S. 515 . . . . 519. Auflösung. Das allgemeinste, auch der Adventivforderung ge- nügende System von Wurzeln ist gegeben durch 6) x = {a1 + (b1 r + c r1) d} u v + {b1 + (a1 s + d s1) c} u v1 + + (b1 + a1 s + d s1) c u1 v + (a1 + b1 r + c r1) d u1 v1 y = {a1 + (b r + c1 r1) d} u v + (c1 + a1 s + d s1) b u v1 + + {c1 + (a1 s + d s1) b} u1 v + (a1 + b r + c1 r1) d u1 v1 x1 = (d1 + b r + c1 r1) a u v + (c1 + a s + d1 s1) b u v1 + + {c1 + (a s + d1 s1) b} u1 v + {d1 + (b r + c1 r1) a} u1 v1 y1 = (d1 + b1 r + c r1) a u v + {b1 + (a s + d1 s1) c} u v1 + + (b1 + a s + d1 s1) c u1 v + {d1 + (b1 r + c r1) a} u1 v1, wo u, v die wesentlichen, r, s Luxusparameter vorstellen. Beweis. Hiemit wird, zunächst ohne Rücksicht auf 5) a x y = 0 u v + a b c d s1 u v1 + a b c d s1 u1 v + 0 u1 v1 b x y1 = a b c d r1 u v + 0 u v1 + 0 u1 v + a b c d r1 u1 v1 c x1 y = a b c d r u v + 0 u v1 + 0 u1 v + a b c d r u1 v1 d x1 y1 = 0 u v + a b c d s u v1 + a b c d s u1 v + 0 u1 v1; mit Rücksicht auf die Resultante verschwinden also alle vier Ausdrücke identisch, d. h. es stimmt die „Probe 1“, oder unsere Formeln 6) liefern uns stets richtige Wurzeln. „Probe 2“: Sei jetzt x, y irgend ein Paar von Wurzeln, für welche die Gleichung 4) von vornherein erfüllt ist. Falls es überhaupt ein solches gibt, so gilt dann auch die Gleichung 5). Dann muss gezeigt werden, dass für u = x, v = y die beiden ersten Gleichungen 6) sich bewahrheiten. Setzt man aber x

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 427. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/71>, abgerufen am 03.05.2024.