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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

welche zugleich Vielfache von 3 und von 5 sind, (3) · (5) = (15)
Vielfache von 15, gegeben durch die allgemeine Form 3 p · 5 r = 15 s,
die Zahlen b c = (2) · (5) = (10) durch 2 q · 5 r = 10 t, und die
a c + b c = (15, 10) durch 15 s + 10 t = 5 (3 s + 2 t):0, 10, 15, 20, ...,
die man erhält als Fünffache der Zahlen (3, 2), -- alle durch 5 teil-
baren Zahlen mit Ausnahme der Zahl 5 selbst. -- Eben weil hier die
Zahl 5 in (15, 10) oder a c + b c fehlt bezw. nicht die Form 15 s + 10 t --
bei ganzen positiven Werten von s und t -- besitzt, in (5), c oder
(a + b) c dagegen vertreten ist, gehören zwar alle Zahlen der Klasse (15, 10)
auch der Klasse (5) an, oder es ist a c + b c (a + b) c, -- wogegen
aber das umgekehrte nicht der Fall ist: es gilt die erste, aber nicht
die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes.

Herr Lüroth schickte seinem Beweis die Bemerkung voraus:
"Nachdem ich erkannt hatte, dass die Ungültigkeit des Distributions-
gesetzes bei diesem" (dem einen vom Verfasser gegebenen) "Beispiele
dadurch bedingt ist, dass a + b nicht nur die Individuen der beiden
Klassen a und b enthält, sondern auch noch andere, war es mir leicht,
noch einfachere Beispiele zu konstruiren." Mit dieser Bemerkung ist in
der That der Kernpunkt der Frage gekennzeichnet.

Herrn Voigt verdanke ich noch folgende auf diesen Kernpunkt
bezügliche Wahrnehmung, die geeignet erscheint, die Auffindung von
noch weiteren derartigen "Beispielen", die sich als Substrate für den
Gruppen-, aber nicht den identischen Kalkul empfehlen, allenfalls zu
erleichtern.

Theorem. Mit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes
26x) (a + b) c a c + b c
ist auch äquivalent der Satz:

"Aus c a + b folgt (allgemein) c a c + b c", oder, aussagen-
rechnerisch dargestellt:
{(a + b) c a c + b c} = {(c a + b) (c a c + b c)}

Beweis. Ist nämlich c a + b, somit c = (a + b) c, so ergibt sich
unmittelbar aus c a c + b c -- durch Einsetzen links -- auch die Sub-
sumtion 26x).

Und gilt umgekehrt diese, so wird aus c a + b oder (a + b) c = c
auch c a c + b c folgen, -- q. e. d.

Den ersten Teil des Beweises kann man auch nach Voigt so führen:

Folgt allgemein c a c + b c aus c a + b, so folgt auch aus der
nach Th. 6x) selbstverständlichen Subsumtion
(a + b) c a + b,

27*

§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

welche zugleich Vielfache von 3 und von 5 sind, (3) · (5) = (15)
Vielfache von 15, gegeben durch die allgemeine Form 3 p · 5 r = 15 s,
die Zahlen b c = (2) · (5) = (10) durch 2 q · 5 r = 10 t, und die
a c + b c = (15, 10) durch 15 s + 10 t = 5 (3 s + 2 t):0, 10, 15, 20, …,
die man erhält als Fünffache der Zahlen (3, 2), — alle durch 5 teil-
baren Zahlen mit Ausnahme der Zahl 5 selbst. — Eben weil hier die
Zahl 5 in (15, 10) oder a c + b c fehlt bezw. nicht die Form 15 s + 10 t —
bei ganzen positiven Werten von s und t — besitzt, in (5), c oder
(a + b) c dagegen vertreten ist, gehören zwar alle Zahlen der Klasse (15, 10)
auch der Klasse (5) an, oder es ist a c + b c (a + b) c, — wogegen
aber das umgekehrte nicht der Fall ist: es gilt die erste, aber nicht
die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes.

Herr Lüroth schickte seinem Beweis die Bemerkung voraus:
„Nachdem ich erkannt hatte, dass die Ungültigkeit des Distributions-
gesetzes bei diesem“ (dem einen vom Verfasser gegebenen) „Beispiele
dadurch bedingt ist, dass a + b nicht nur die Individuen der beiden
Klassen a und b enthält, sondern auch noch andere, war es mir leicht,
noch einfachere Beispiele zu konstruiren.“ Mit dieser Bemerkung ist in
der That der Kernpunkt der Frage gekennzeichnet.

Herrn Voigt verdanke ich noch folgende auf diesen Kernpunkt
bezügliche Wahrnehmung, die geeignet erscheint, die Auffindung von
noch weiteren derartigen „Beispielen“, die sich als Substrate für den
Gruppen-, aber nicht den identischen Kalkul empfehlen, allenfalls zu
erleichtern.

Theorem. Mit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes
26×) (a + b) c a c + b c
ist auch äquivalent der Satz:

„Aus c a + b folgt (allgemein) c a c + b c“, oder, aussagen-
rechnerisch dargestellt:
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Beweis. Ist nämlich c a + b, somit c = (a + b) c, so ergibt sich
unmittelbar aus c a c + b c — durch Einsetzen links — auch die Sub-
sumtion 26×).

Und gilt umgekehrt diese, so wird aus c a + b oder (a + b) c = c
auch c a c + b c folgen, — q. e. d.

Den ersten Teil des Beweises kann man auch nach Voigt so führen:

Folgt allgemein c a c + b c aus c a + b, so folgt auch aus der
nach Th. 6×) selbstverständlichen Subsumtion
(a + b) c a + b,

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[419/0063] § 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes. welche zugleich Vielfache von 3 und von 5 sind, (3) · (5) = (15) Vielfache von 15, gegeben durch die allgemeine Form 3 p · 5 r = 15 s, die Zahlen b c = (2) · (5) = (10) durch 2 q · 5 r = 10 t, und die a c + b c = (15, 10) durch 15 s + 10 t = 5 (3 s + 2 t):0, 10, 15, 20, …, die man erhält als Fünffache der Zahlen (3, 2), — alle durch 5 teil- baren Zahlen mit Ausnahme der Zahl 5 selbst. — Eben weil hier die Zahl 5 in (15, 10) oder a c + b c fehlt bezw. nicht die Form 15 s + 10 t — bei ganzen positiven Werten von s und t — besitzt, in (5), c oder (a + b) c dagegen vertreten ist, gehören zwar alle Zahlen der Klasse (15, 10) auch der Klasse (5) an, oder es ist a c + b c (a + b) c, — wogegen aber das umgekehrte nicht der Fall ist: es gilt die erste, aber nicht die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes. Herr Lüroth schickte seinem Beweis die Bemerkung voraus: „Nachdem ich erkannt hatte, dass die Ungültigkeit des Distributions- gesetzes bei diesem“ (dem einen vom Verfasser gegebenen) „Beispiele dadurch bedingt ist, dass a + b nicht nur die Individuen der beiden Klassen a und b enthält, sondern auch noch andere, war es mir leicht, noch einfachere Beispiele zu konstruiren.“ Mit dieser Bemerkung ist in der That der Kernpunkt der Frage gekennzeichnet. Herrn Voigt verdanke ich noch folgende auf diesen Kernpunkt bezügliche Wahrnehmung, die geeignet erscheint, die Auffindung von noch weiteren derartigen „Beispielen“, die sich als Substrate für den Gruppen-, aber nicht den identischen Kalkul empfehlen, allenfalls zu erleichtern. Theorem. Mit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes 26×) (a + b) c a c + b c ist auch äquivalent der Satz: „Aus c a + b folgt (allgemein) c a c + b c“, oder, aussagen- rechnerisch dargestellt: {(a + b) c a c + b c} = {(c a + b) (c a c + b c)} Beweis. Ist nämlich c a + b, somit c = (a + b) c, so ergibt sich unmittelbar aus c a c + b c — durch Einsetzen links — auch die Sub- sumtion 26×). Und gilt umgekehrt diese, so wird aus c a + b oder (a + b) c = c auch c a c + b c folgen, — q. e. d. Den ersten Teil des Beweises kann man auch nach Voigt so führen: Folgt allgemein c a c + b c aus c a + b, so folgt auch aus der nach Th. 6×) selbstverständlichen Subsumtion (a + b) c a + b, 27*

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 419. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/63>, abgerufen am 16.02.2025.

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