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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.
worin (a + b) c die Stelle des c der Voraussetzung vertritt,
(a + b) c a · (a + b) c + b · (a + b) c,
was sich aber nach dem Absorptionsgesetz 23x) vereinfacht zu 26x).

Hiernach braucht man also, um für ein gruppenlogisches Beispiel
die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes darzuthun,
nur ein c nachzuweisen, das in einem a + b enthalten ist, ohne doch in
a c + b c enthalten zu sein.

Von verschiedenen Seiten sind mir auch noch andre Mannigfaltig-
keiten zur Beurteilung vorgelegt worden als Versuche, damit etwas
auf unser Thema bezügliches zu beweisen, und ich glaube, ohne eine
Indiskretion zu begehen, der Sache dienen zu dürfen, indem ich die-
selben namhaft mache.

Als Denkbereich 1 betrachtete Herr Voigt die Mannigfaltigkeit aller
Kreisflächen der Ebene, -- den Punkt, in welchen ein Kreis degeneriren
kann, mit zugelassen, -- so dass also ein "Gebiet" wie a, b, c, ... stets
die Innenfläche eines Kreises vorstellt. Als a b wird der grösste Kreis er-
klärt, der sowol in a als in b gelegen ist, und die 0, falls a und b keinen
Punkt gemeinsam haben, -- als a + b der kleinste Kreis, der sowol den a
als den b umfasst. Die beiden Ausdrücke a b und a + b sind damit ein-
deutig bestimmt, und zwar, sofern sie nicht 0 oder mit einem der beiden
Kreise a und b selbst zusammenfallen, als Berührkreise von diesen beiden.
Die Geltung der beiden Assoziationsgesetze, sowie der ersten Subsumtion des
Distributionsgesetzes lässt sich dann an interessanten Figuren nachweisen,
desgleichen die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion dieses Gesetzes. Allein
hier treffen, wie leicht zu sehen, auch schon die beiden Teilsätze unserer
Definition (3)

(3x)' (c a) (c b) (c a b)(3+)' (a c) (b c) (a + b c)
nicht allgemein zu, während die umgekehrten Subsumtionen (3x)'', (3+)''
allerdings selbstverständlich gelten. Die Betrachtung ist somit für unsern
Zweck nicht beweisend.

Nähme man für 1 den beschränkteren Denkbereich aller der Kreis-
flächen (der Ebene), die ihren Mittelpunkt auf einer bestimmten Geraden
(in ihr) haben, so würde zwar (3) volle Geltung erlangen, zugleich aber
auch das volle Distributionsgesetz mit seinen beiden Subsumtionen.

Erhebt man zum Denkbereiche die Mannigfaltigkeit aller Strecken
einer festen Geraden 1, diese "Strecken" im landläufigen Sinne als ein-
fach zusammenhängende, kontinuirliche Punktgebiete oder "Innenstrecken"
auffassend, -- und definirt man a b als die grösste sowol in a als in
b liegende Strecke (wo nicht 0), a + b als die kleinste sowol a als b
enthaltende Strecke, so stimmt a b mit unserm "identischen Produkte"
völlig überein, wogegen a + b die "identische Summe" übertreffen wird,
sobald die Strecken a und b auseinanderliegen, und zwar um die sie

Vierundzwanzigste Vorlesung.
worin (a + b) c die Stelle des c der Voraussetzung vertritt,
(a + b) c a · (a + b) c + b · (a + b) c,
was sich aber nach dem Absorptionsgesetz 23×) vereinfacht zu 26×).

Hiernach braucht man also, um für ein gruppenlogisches Beispiel
die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes darzuthun,
nur ein c nachzuweisen, das in einem a + b enthalten ist, ohne doch in
a c + b c enthalten zu sein.

Von verschiedenen Seiten sind mir auch noch andre Mannigfaltig-
keiten zur Beurteilung vorgelegt worden als Versuche, damit etwas
auf unser Thema bezügliches zu beweisen, und ich glaube, ohne eine
Indiskretion zu begehen, der Sache dienen zu dürfen, indem ich die-
selben namhaft mache.

Als Denkbereich 1 betrachtete Herr Voigt die Mannigfaltigkeit aller
Kreisflächen der Ebene, — den Punkt, in welchen ein Kreis degeneriren
kann, mit zugelassen, — so dass also ein „Gebiet“ wie a, b, c, … stets
die Innenfläche eines Kreises vorstellt. Als a b wird der grösste Kreis er-
klärt, der sowol in a als in b gelegen ist, und die 0, falls a und b keinen
Punkt gemeinsam haben, — als a + b der kleinste Kreis, der sowol den a
als den b umfasst. Die beiden Ausdrücke a b und a + b sind damit ein-
deutig bestimmt, und zwar, sofern sie nicht 0 oder mit einem der beiden
Kreise a und b selbst zusammenfallen, als Berührkreise von diesen beiden.
Die Geltung der beiden Assoziationsgesetze, sowie der ersten Subsumtion des
Distributionsgesetzes lässt sich dann an interessanten Figuren nachweisen,
desgleichen die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion dieses Gesetzes. Allein
hier treffen, wie leicht zu sehen, auch schon die beiden Teilsätze unserer
Definition (3)

(3×)' (c a) (c b) (c a b)(3+)' (a c) (b c) (a + b c)
nicht allgemein zu, während die umgekehrten Subsumtionen (3×)'', (3+)''
allerdings selbstverständlich gelten. Die Betrachtung ist somit für unsern
Zweck nicht beweisend.

Nähme man für 1 den beschränkteren Denkbereich aller der Kreis-
flächen (der Ebene), die ihren Mittelpunkt auf einer bestimmten Geraden
(in ihr) haben, so würde zwar (3) volle Geltung erlangen, zugleich aber
auch das volle Distributionsgesetz mit seinen beiden Subsumtionen.

Erhebt man zum Denkbereiche die Mannigfaltigkeit aller Strecken
einer festen Geraden 1, diese „Strecken“ im landläufigen Sinne als ein-
fach zusammenhängende, kontinuirliche Punktgebiete oder „Innenstrecken“
auffassend, — und definirt man a b als die grösste sowol in a als in
b liegende Strecke (wo nicht 0), a + b als die kleinste sowol a als b
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[420/0064] Vierundzwanzigste Vorlesung. worin (a + b) c die Stelle des c der Voraussetzung vertritt, (a + b) c a · (a + b) c + b · (a + b) c, was sich aber nach dem Absorptionsgesetz 23×) vereinfacht zu 26×). Hiernach braucht man also, um für ein gruppenlogisches Beispiel die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes darzuthun, nur ein c nachzuweisen, das in einem a + b enthalten ist, ohne doch in a c + b c enthalten zu sein. Von verschiedenen Seiten sind mir auch noch andre Mannigfaltig- keiten zur Beurteilung vorgelegt worden als Versuche, damit etwas auf unser Thema bezügliches zu beweisen, und ich glaube, ohne eine Indiskretion zu begehen, der Sache dienen zu dürfen, indem ich die- selben namhaft mache. Als Denkbereich 1 betrachtete Herr Voigt die Mannigfaltigkeit aller Kreisflächen der Ebene, — den Punkt, in welchen ein Kreis degeneriren kann, mit zugelassen, — so dass also ein „Gebiet“ wie a, b, c, … stets die Innenfläche eines Kreises vorstellt. Als a b wird der grösste Kreis er- klärt, der sowol in a als in b gelegen ist, und die 0, falls a und b keinen Punkt gemeinsam haben, — als a + b der kleinste Kreis, der sowol den a als den b umfasst. Die beiden Ausdrücke a b und a + b sind damit ein- deutig bestimmt, und zwar, sofern sie nicht 0 oder mit einem der beiden Kreise a und b selbst zusammenfallen, als Berührkreise von diesen beiden. Die Geltung der beiden Assoziationsgesetze, sowie der ersten Subsumtion des Distributionsgesetzes lässt sich dann an interessanten Figuren nachweisen, desgleichen die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion dieses Gesetzes. Allein hier treffen, wie leicht zu sehen, auch schon die beiden Teilsätze unserer Definition (3) (3×)' (c a) (c b) (c a b) (3+)' (a c) (b c) (a + b c) nicht allgemein zu, während die umgekehrten Subsumtionen (3×)'', (3+)'' allerdings selbstverständlich gelten. Die Betrachtung ist somit für unsern Zweck nicht beweisend. Nähme man für 1 den beschränkteren Denkbereich aller der Kreis- flächen (der Ebene), die ihren Mittelpunkt auf einer bestimmten Geraden (in ihr) haben, so würde zwar (3) volle Geltung erlangen, zugleich aber auch das volle Distributionsgesetz mit seinen beiden Subsumtionen. Erhebt man zum Denkbereiche die Mannigfaltigkeit aller Strecken einer festen Geraden 1, diese „Strecken“ im landläufigen Sinne als ein- fach zusammenhängende, kontinuirliche Punktgebiete oder „Innenstrecken“ auffassend, — und definirt man a b als die grösste sowol in a als in b liegende Strecke (wo nicht 0), a + b als die kleinste sowol a als b enthaltende Strecke, so stimmt a b mit unserm „identischen Produkte“ völlig überein, wogegen a + b die „identische Summe“ übertreffen wird, sobald die Strecken a und b auseinanderliegen, und zwar um die sie

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 420. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/64>, abgerufen am 03.05.2024.