Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.Vierundzwanzigste Vorlesung. a b bedeute, dass die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b a b sei die Klasse der Zahlen, welche gleichzeitig die durch a und b "Dass die zu a + b gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi- "Der Beweis, dass auch die zu a b gehörigen Zahlen eine Klasse bilden, Ist dann c a und c b, so ist auch c a b, und umgekehrt. Sei nun a = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p, die *) Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.
Vierundzwanzigste Vorlesung. a b bedeute, dass die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b a b sei die Klasse der Zahlen, welche gleichzeitig die durch a und b „Dass die zu a + b gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi- „Der Beweis, dass auch die zu a b gehörigen Zahlen eine Klasse bilden, Ist dann c a und c b, so ist auch c a b, und umgekehrt. Sei nun a = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p, die *) Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.
<TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <pb facs="#f0062" n="418"/> <fw place="top" type="header">Vierundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/> <p><hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> b</hi> bedeute, dass <hi rendition="#i">die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b<lb/> gehören</hi>. Dann werden die Aussagen „<hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> b</hi> nebst <hi rendition="#i">b <g ref="subeq"/> a</hi>“ und „<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>“<lb/> einander gegenseitig bedingen. Ferner folgt aus <hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> b</hi> und <hi rendition="#i">b <g ref="subeq"/> c</hi><lb/> auch <hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> c</hi>, und die Klasse (0, 0, 0, …) oder (0), welche blos<lb/> die Zahl 0 enthält, ist eingeordnet einer jeden Klasse <hi rendition="#i">a</hi>, und jede<lb/> Klasse <hi rendition="#i">a</hi> ist eingeordnet der das Zahlengebiet selbst repräsentirenden<lb/> Klasse (1, 1, 1, …) oder (1, 0, 0, …) oder (1), so dass die Klassen (0)<lb/> und (1) hier die Moduln 0 und 1 unserer theorie vertreten.</p><lb/> <p><hi rendition="#i">a b</hi> sei die <hi rendition="#i">Klasse der Zahlen</hi>, <hi rendition="#i">welche gleichzeitig die durch a und b<lb/> verlangte Form haben; a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> dagegen enthalte <hi rendition="#i">alle Zahlen</hi>, <hi rendition="#i">die durch</hi><lb/> (arithmetische) <hi rendition="#i">Addition einer Zahl der Form a zu einer der Form b<lb/> entstehen</hi>.</p><lb/> <p>„Dass die zu <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi-<lb/> nirten Sinne bilden, ist leicht zu sehen.“ Die allgemeine Form dieser<lb/> Zahlen ist nämlich die arithmetische Summe der <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> repräsentirenden<lb/> beiden Linearformen, <hi rendition="#i">nachdem</hi> man die Konstituenten <hi rendition="#i">p</hi>, <hi rendition="#i">q</hi>, … in der<lb/> einen von beiden Linearformen, wenn nötig, durch neue in der andern<lb/> nicht vorkommende Parameterbuchstaben ersetzt hat.</p><lb/> <p>„Der Beweis, dass auch die zu <hi rendition="#i">a b</hi> gehörigen Zahlen eine Klasse bilden,<lb/> der nicht so einfach ist, sei der Kürze wegen fortgelassen.“ Derselbe wird<lb/> nämlich leicht erbracht werden speziell für die Klassenprodukte des nach-<lb/> herigen ausschlaggebenden Beispiels, ist also im übrigen hier entbehrlich.<note place="foot" n="*)">Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.</note></p><lb/> <p>Ist dann <hi rendition="#i">c <g ref="subeq"/> a</hi> und <hi rendition="#i">c <g ref="subeq"/> b</hi>, so ist auch <hi rendition="#i">c <g ref="subeq"/> a b</hi>, und umgekehrt.<lb/> Und ist <hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> c</hi> und <hi rendition="#i">b <g ref="subeq"/> c</hi>, so ist auch <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b <g ref="subeq"/> c</hi>, da <hi rendition="#i">c</hi> die Elemente<lb/> von <hi rendition="#i">a</hi> und diejenigen von <hi rendition="#i">b</hi> nicht gleichzeitig enthalten kann, ohne<lb/> auch die durch additive Vereinigung der <hi rendition="#i">beiderseitigen</hi> Elemente zu ge-<lb/> winnenden Zahlen mit zu umfassen. Endlich ist auch selbstverständlich<lb/><hi rendition="#i">a <g ref="subeq"/> c</hi> und <hi rendition="#i">b <g ref="subeq"/> c</hi>, wenn <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b <g ref="subeq"/> c</hi>, und die formalen Grundgesetze der<lb/> Theorie sind hiermit erfüllt.</p><lb/> <p>Sei nun <hi rendition="#i">a</hi> = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 <hi rendition="#i">p</hi>, die<lb/> Klasse der Vielfachen von 3 : 0, 3, 6, 9, …, ferner <hi rendition="#i">b</hi> = (2) die der<lb/> Zahlen von der Form 2 <hi rendition="#i">q</hi> : 0, 2, 4, 6, …, der geraden Zahlen, endlich<lb/><hi rendition="#i">c</hi> = (5) die der Form 5 <hi rendition="#i">r</hi> : 0, 5, 10, 15, …; dann ist <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> = (3) + (2) = (3, 2)<lb/> die Klasse der Zahlen von der Form 3 <hi rendition="#i">p</hi> + 2 <hi rendition="#i">q</hi> : 0, 2, 3, 4, …, aller<lb/> ganzen Zahlen von 0 an aufwärts, ausgenommen die Zahl 1, —<lb/> worunter auch die Zahlen der Klasse <hi rendition="#i">c</hi> = (5) sich befinden; es ist also<lb/><hi rendition="#i">c <g ref="subeq"/> a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, (5) <g ref="subeq"/> (3) + (2), oder auch (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>, (3, 2) · (5) = (5),<lb/> d. h. die Klasse (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> wird gebildet von denjenigen Zahlen, welche<lb/> zugleich von der Form 3 <hi rendition="#i">p</hi> + 2 <hi rendition="#i">q</hi> und von der Form 5 <hi rendition="#i">r</hi> sind, was bei<lb/><hi rendition="#i">allen</hi> der letzten Form zutrifft. Andererseits sind die Zahlen <hi rendition="#i">a c</hi> = (3) · (5),<lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [418/0062]
Vierundzwanzigste Vorlesung.
a b bedeute, dass die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b
gehören. Dann werden die Aussagen „a b nebst b a“ und „a = b“
einander gegenseitig bedingen. Ferner folgt aus a b und b c
auch a c, und die Klasse (0, 0, 0, …) oder (0), welche blos
die Zahl 0 enthält, ist eingeordnet einer jeden Klasse a, und jede
Klasse a ist eingeordnet der das Zahlengebiet selbst repräsentirenden
Klasse (1, 1, 1, …) oder (1, 0, 0, …) oder (1), so dass die Klassen (0)
und (1) hier die Moduln 0 und 1 unserer theorie vertreten.
a b sei die Klasse der Zahlen, welche gleichzeitig die durch a und b
verlangte Form haben; a + b dagegen enthalte alle Zahlen, die durch
(arithmetische) Addition einer Zahl der Form a zu einer der Form b
entstehen.
„Dass die zu a + b gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi-
nirten Sinne bilden, ist leicht zu sehen.“ Die allgemeine Form dieser
Zahlen ist nämlich die arithmetische Summe der a und b repräsentirenden
beiden Linearformen, nachdem man die Konstituenten p, q, … in der
einen von beiden Linearformen, wenn nötig, durch neue in der andern
nicht vorkommende Parameterbuchstaben ersetzt hat.
„Der Beweis, dass auch die zu a b gehörigen Zahlen eine Klasse bilden,
der nicht so einfach ist, sei der Kürze wegen fortgelassen.“ Derselbe wird
nämlich leicht erbracht werden speziell für die Klassenprodukte des nach-
herigen ausschlaggebenden Beispiels, ist also im übrigen hier entbehrlich. *)
Ist dann c a und c b, so ist auch c a b, und umgekehrt.
Und ist a c und b c, so ist auch a + b c, da c die Elemente
von a und diejenigen von b nicht gleichzeitig enthalten kann, ohne
auch die durch additive Vereinigung der beiderseitigen Elemente zu ge-
winnenden Zahlen mit zu umfassen. Endlich ist auch selbstverständlich
a c und b c, wenn a + b c, und die formalen Grundgesetze der
Theorie sind hiermit erfüllt.
Sei nun a = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p, die
Klasse der Vielfachen von 3 : 0, 3, 6, 9, …, ferner b = (2) die der
Zahlen von der Form 2 q : 0, 2, 4, 6, …, der geraden Zahlen, endlich
c = (5) die der Form 5 r : 0, 5, 10, 15, …; dann ist a + b = (3) + (2) = (3, 2)
die Klasse der Zahlen von der Form 3 p + 2 q : 0, 2, 3, 4, …, aller
ganzen Zahlen von 0 an aufwärts, ausgenommen die Zahl 1, —
worunter auch die Zahlen der Klasse c = (5) sich befinden; es ist also
c a + b, (5) (3) + (2), oder auch (a + b) c = c, (3, 2) · (5) = (5),
d. h. die Klasse (a + b) c wird gebildet von denjenigen Zahlen, welche
zugleich von der Form 3 p + 2 q und von der Form 5 r sind, was bei
allen der letzten Form zutrifft. Andererseits sind die Zahlen a c = (3) · (5),
*) Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.
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