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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.

a b bedeute, dass die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b
gehören. Dann werden die Aussagen "a b nebst b a" und "a = b"
einander gegenseitig bedingen. Ferner folgt aus a b und b c
auch a c, und die Klasse (0, 0, 0, ...) oder (0), welche blos
die Zahl 0 enthält, ist eingeordnet einer jeden Klasse a, und jede
Klasse a ist eingeordnet der das Zahlengebiet selbst repräsentirenden
Klasse (1, 1, 1, ...) oder (1, 0, 0, ...) oder (1), so dass die Klassen (0)
und (1) hier die Moduln 0 und 1 unserer theorie vertreten.

a b sei die Klasse der Zahlen, welche gleichzeitig die durch a und b
verlangte Form haben; a + b dagegen enthalte alle Zahlen, die durch
(arithmetische) Addition einer Zahl der Form a zu einer der Form b
entstehen.

"Dass die zu a + b gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi-
nirten Sinne bilden, ist leicht zu sehen." Die allgemeine Form dieser
Zahlen ist nämlich die arithmetische Summe der a und b repräsentirenden
beiden Linearformen, nachdem man die Konstituenten p, q, ... in der
einen von beiden Linearformen, wenn nötig, durch neue in der andern
nicht vorkommende Parameterbuchstaben ersetzt hat.

"Der Beweis, dass auch die zu a b gehörigen Zahlen eine Klasse bilden,
der nicht so einfach ist, sei der Kürze wegen fortgelassen." Derselbe wird
nämlich leicht erbracht werden speziell für die Klassenprodukte des nach-
herigen ausschlaggebenden Beispiels, ist also im übrigen hier entbehrlich.*)

Ist dann c a und c b, so ist auch c a b, und umgekehrt.
Und ist a c und b c, so ist auch a + b c, da c die Elemente
von a und diejenigen von b nicht gleichzeitig enthalten kann, ohne
auch die durch additive Vereinigung der beiderseitigen Elemente zu ge-
winnenden Zahlen mit zu umfassen. Endlich ist auch selbstverständlich
a c und b c, wenn a + b c, und die formalen Grundgesetze der
Theorie sind hiermit erfüllt.

Sei nun a = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p, die
Klasse der Vielfachen von 3 : 0, 3, 6, 9, ..., ferner b = (2) die der
Zahlen von der Form 2 q : 0, 2, 4, 6, ..., der geraden Zahlen, endlich
c = (5) die der Form 5 r : 0, 5, 10, 15, ...; dann ist a + b = (3) + (2) = (3, 2)
die Klasse der Zahlen von der Form 3 p + 2 q : 0, 2, 3, 4, ..., aller
ganzen Zahlen von 0 an aufwärts, ausgenommen die Zahl 1, --
worunter auch die Zahlen der Klasse c = (5) sich befinden; es ist also
c a + b, (5) (3) + (2), oder auch (a + b) c = c, (3, 2) · (5) = (5),
d. h. die Klasse (a + b) c wird gebildet von denjenigen Zahlen, welche
zugleich von der Form 3 p + 2 q und von der Form 5 r sind, was bei
allen der letzten Form zutrifft. Andererseits sind die Zahlen a c = (3) · (5),

*) Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.
Vierundzwanzigste Vorlesung.

a b bedeute, dass die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b
gehören. Dann werden die Aussagen „a b nebst b a“ und „a = b“
einander gegenseitig bedingen. Ferner folgt aus a b und b c
auch a c, und die Klasse (0, 0, 0, …) oder (0), welche blos
die Zahl 0 enthält, ist eingeordnet einer jeden Klasse a, und jede
Klasse a ist eingeordnet der das Zahlengebiet selbst repräsentirenden
Klasse (1, 1, 1, …) oder (1, 0, 0, …) oder (1), so dass die Klassen (0)
und (1) hier die Moduln 0 und 1 unserer theorie vertreten.

a b sei die Klasse der Zahlen, welche gleichzeitig die durch a und b
verlangte Form haben; a + b dagegen enthalte alle Zahlen, die durch
(arithmetische) Addition einer Zahl der Form a zu einer der Form b
entstehen.

„Dass die zu a + b gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi-
nirten Sinne bilden, ist leicht zu sehen.“ Die allgemeine Form dieser
Zahlen ist nämlich die arithmetische Summe der a und b repräsentirenden
beiden Linearformen, nachdem man die Konstituenten p, q, … in der
einen von beiden Linearformen, wenn nötig, durch neue in der andern
nicht vorkommende Parameterbuchstaben ersetzt hat.

„Der Beweis, dass auch die zu a b gehörigen Zahlen eine Klasse bilden,
der nicht so einfach ist, sei der Kürze wegen fortgelassen.“ Derselbe wird
nämlich leicht erbracht werden speziell für die Klassenprodukte des nach-
herigen ausschlaggebenden Beispiels, ist also im übrigen hier entbehrlich.*)

Ist dann c a und c b, so ist auch c a b, und umgekehrt.
Und ist a c und b c, so ist auch a + b c, da c die Elemente
von a und diejenigen von b nicht gleichzeitig enthalten kann, ohne
auch die durch additive Vereinigung der beiderseitigen Elemente zu ge-
winnenden Zahlen mit zu umfassen. Endlich ist auch selbstverständlich
a c und b c, wenn a + b c, und die formalen Grundgesetze der
Theorie sind hiermit erfüllt.

Sei nun a = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p, die
Klasse der Vielfachen von 3 : 0, 3, 6, 9, …, ferner b = (2) die der
Zahlen von der Form 2 q : 0, 2, 4, 6, …, der geraden Zahlen, endlich
c = (5) die der Form 5 r : 0, 5, 10, 15, …; dann ist a + b = (3) + (2) = (3, 2)
die Klasse der Zahlen von der Form 3 p + 2 q : 0, 2, 3, 4, …, aller
ganzen Zahlen von 0 an aufwärts, ausgenommen die Zahl 1, —
worunter auch die Zahlen der Klasse c = (5) sich befinden; es ist also
c a + b, (5) (3) + (2), oder auch (a + b) c = c, (3, 2) · (5) = (5),
d. h. die Klasse (a + b) c wird gebildet von denjenigen Zahlen, welche
zugleich von der Form 3 p + 2 q und von der Form 5 r sind, was bei
allen der letzten Form zutrifft. Andererseits sind die Zahlen a c = (3) · (5),

*) Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.
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[418/0062] Vierundzwanzigste Vorlesung. a b bedeute, dass die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b gehören. Dann werden die Aussagen „a b nebst b a“ und „a = b“ einander gegenseitig bedingen. Ferner folgt aus a b und b c auch a c, und die Klasse (0, 0, 0, …) oder (0), welche blos die Zahl 0 enthält, ist eingeordnet einer jeden Klasse a, und jede Klasse a ist eingeordnet der das Zahlengebiet selbst repräsentirenden Klasse (1, 1, 1, …) oder (1, 0, 0, …) oder (1), so dass die Klassen (0) und (1) hier die Moduln 0 und 1 unserer theorie vertreten. a b sei die Klasse der Zahlen, welche gleichzeitig die durch a und b verlangte Form haben; a + b dagegen enthalte alle Zahlen, die durch (arithmetische) Addition einer Zahl der Form a zu einer der Form b entstehen. „Dass die zu a + b gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi- nirten Sinne bilden, ist leicht zu sehen.“ Die allgemeine Form dieser Zahlen ist nämlich die arithmetische Summe der a und b repräsentirenden beiden Linearformen, nachdem man die Konstituenten p, q, … in der einen von beiden Linearformen, wenn nötig, durch neue in der andern nicht vorkommende Parameterbuchstaben ersetzt hat. „Der Beweis, dass auch die zu a b gehörigen Zahlen eine Klasse bilden, der nicht so einfach ist, sei der Kürze wegen fortgelassen.“ Derselbe wird nämlich leicht erbracht werden speziell für die Klassenprodukte des nach- herigen ausschlaggebenden Beispiels, ist also im übrigen hier entbehrlich. *) Ist dann c a und c b, so ist auch c a b, und umgekehrt. Und ist a c und b c, so ist auch a + b c, da c die Elemente von a und diejenigen von b nicht gleichzeitig enthalten kann, ohne auch die durch additive Vereinigung der beiderseitigen Elemente zu ge- winnenden Zahlen mit zu umfassen. Endlich ist auch selbstverständlich a c und b c, wenn a + b c, und die formalen Grundgesetze der Theorie sind hiermit erfüllt. Sei nun a = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p, die Klasse der Vielfachen von 3 : 0, 3, 6, 9, …, ferner b = (2) die der Zahlen von der Form 2 q : 0, 2, 4, 6, …, der geraden Zahlen, endlich c = (5) die der Form 5 r : 0, 5, 10, 15, …; dann ist a + b = (3) + (2) = (3, 2) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p + 2 q : 0, 2, 3, 4, …, aller ganzen Zahlen von 0 an aufwärts, ausgenommen die Zahl 1, — worunter auch die Zahlen der Klasse c = (5) sich befinden; es ist also c a + b, (5) (3) + (2), oder auch (a + b) c = c, (3, 2) · (5) = (5), d. h. die Klasse (a + b) c wird gebildet von denjenigen Zahlen, welche zugleich von der Form 3 p + 2 q und von der Form 5 r sind, was bei allen der letzten Form zutrifft. Andererseits sind die Zahlen a c = (3) · (5), *) Anmerkung des Herausgebers, am Schlusse des Bandes.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 418. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/62>, abgerufen am 16.02.2025.