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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Dass unsere Aufzählung*) der Möglichkeiten eine vollständige ist, wird
man leicht erkennen, und somit ist die Geltung der Sätze (3), mithin sämt-
licher Grundlagen der Theorie, nun für Herrn Korselt's Denkbereich ver-
bürgt. Es gelten daher auch alle in Bd. 1 aus diesen abgeleiteten Sätze,
und insbesondere die erste Subsumtion des Distributionsgesetzes: a b + a c
a (b + c).

Nun seien p1, p2, p3 drei verschiedene Punkte einer Geraden g, also
p1 p2 = p1 p3 = 0, p1 g = p1, p2 + p3 = g.
Dann ist
p1 (p2 + p3) = p1 g = p1, p1 p2 + p1 p3 = 0 + 0 = 0,
also
p1 (p2 + p3) p1 p2 + p1 p3, q. e. d.

Der Beweis 3 von Lüroth1 nimmt das Gebiet der natürlichen
Zahlen zum Substrat und verwendet die arithmetischen Rechnungsarten.
Es sollen die Buchstabensymbole a, b, g, ..., p, q, r, ... stets positive
ganze Zahlen, die Null zugelassen, vorstellen. Sodann sei eine "Klasse" a
ebensolcher Zahlen definirt als die Gesamtheit aller Zahlen, (der
Elemente dieser Klasse a), die durch eine bestimmte Linearform
a p + b q + g r + ... + l z
dargestellt sind, worin die Koeffizienten a, b, g, ..., l bestimmt ge-
geben und für alle Elemente der Klasse a dieselben seien, dagegen die
Konstituenten p, q, r, ..., z zunächst unbestimmte Zahlen oder Para-
meter vorstellen, denen einzeln und unabhängig von einander die
Werte 0, 1, 2, 3, ... der Reihe nach beizulegen sind, wenn man sämt-
liche Elemente der Klasse a bilden will. Diese Elemente sind hiernach
nebst 0 die Zahlen a, b, g, ... l, sodann deren Vielfache, endlich alle
Zahlen, die durch arithmetische Addition aus zwei oder mehreren unter
den genannten Elementen, oder überhaupt aus irgend welchen Elementen
der Klasse a entstehen. -- Während somit die p, q, ... innerhalb
einer Klasse von Element zu Element ihre Werte wechseln, sind die
für alle Elemente einer Klasse konstanten, erst von Klasse zu Klasse
sich ändernden a, b, ... für eine Klasse a charakteristisch oder "be-
stimmend"; die Klasse kann auch durch (a, b, g, ... l) bezeichnet werden.

Beispielsweise wird (3, 2, 0) die Zahlen von der Form 3 p + 2 q + 0 r,
also die: 0, 2, 3, 4, 5, ..., alle Zahlen ausgenommen 1 enthalten, die
Klasse (0, 3, 0) oder (3) die Vielfachen 0, 3, 6, 9, ... von 3, die
Klasse (4, 5) die Zahlen 0, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, ... und von 15
ab alle Zahlen umfassen.

*) Die Aufzählung wäre wol durch Berufung auf gewisse geometrische Sätze von
allgemeinerer Natur (über Raumelemente, deren Schnittgebilde und Bestimmungs-
stücke) ersetzbar, welche zu formuliren ich aber hier nicht für meine Aufgabe halte.
Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 27
§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Dass unsere Aufzählung*) der Möglichkeiten eine vollständige ist, wird
man leicht erkennen, und somit ist die Geltung der Sätze (3), mithin sämt-
licher Grundlagen der Theorie, nun für Herrn Korselt’s Denkbereich ver-
bürgt. Es gelten daher auch alle in Bd. 1 aus diesen abgeleiteten Sätze,
und insbesondere die erste Subsumtion des Distributionsgesetzes: a b + a c
a (b + c).

Nun seien p1, p2, p3 drei verschiedene Punkte einer Geraden g, also
p1 p2 = p1 p3 = 0, p1 g = p1, p2 + p3 = g.
Dann ist
p1 (p2 + p3) = p1 g = p1, p1 p2 + p1 p3 = 0 + 0 = 0,
also
p1 (p2 + p3) ≠ p1 p2 + p1 p3, q. e. d.

Der Beweis 3 von Lüroth1 nimmt das Gebiet der natürlichen
Zahlen zum Substrat und verwendet die arithmetischen Rechnungsarten.
Es sollen die Buchstabensymbole α, β, γ, …, p, q, r, … stets positive
ganze Zahlen, die Null zugelassen, vorstellen. Sodann sei eine „Klasse“ a
ebensolcher Zahlen definirt als die Gesamtheit aller Zahlen, (der
Elemente dieser Klasse a), die durch eine bestimmte Linearform
α p + β q + γ r + … + λ z
dargestellt sind, worin die Koeffizienten α, β, γ, …, λ bestimmt ge-
geben und für alle Elemente der Klasse a dieselben seien, dagegen die
Konstituenten p, q, r, …, z zunächst unbestimmte Zahlen oder Para-
meter vorstellen, denen einzeln und unabhängig von einander die
Werte 0, 1, 2, 3, … der Reihe nach beizulegen sind, wenn man sämt-
liche Elemente der Klasse a bilden will. Diese Elemente sind hiernach
nebst 0 die Zahlen α, β, γ, … λ, sodann deren Vielfache, endlich alle
Zahlen, die durch arithmetische Addition aus zwei oder mehreren unter
den genannten Elementen, oder überhaupt aus irgend welchen Elementen
der Klasse a entstehen. — Während somit die p, q, … innerhalb
einer Klasse von Element zu Element ihre Werte wechseln, sind die
für alle Elemente einer Klasse konstanten, erst von Klasse zu Klasse
sich ändernden α, β, … für eine Klasse a charakteristisch oder „be-
stimmend“; die Klasse kann auch durch (α, β, γ, … λ) bezeichnet werden.

Beispielsweise wird (3, 2, 0) die Zahlen von der Form 3 p + 2 q + 0 r,
also die: 0, 2, 3, 4, 5, …, alle Zahlen ausgenommen 1 enthalten, die
Klasse (0, 3, 0) oder (3) die Vielfachen 0, 3, 6, 9, … von 3, die
Klasse (4, 5) die Zahlen 0, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, … und von 15
ab alle Zahlen umfassen.

*) Die Aufzählung wäre wol durch Berufung auf gewisse geometrische Sätze von
allgemeinerer Natur (über Raumelemente, deren Schnittgebilde und Bestimmungs-
stücke) ersetzbar, welche zu formuliren ich aber hier nicht für meine Aufgabe halte.
Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 27
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[417/0061] § 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes. Dass unsere Aufzählung *) der Möglichkeiten eine vollständige ist, wird man leicht erkennen, und somit ist die Geltung der Sätze (3), mithin sämt- licher Grundlagen der Theorie, nun für Herrn Korselt’s Denkbereich ver- bürgt. Es gelten daher auch alle in Bd. 1 aus diesen abgeleiteten Sätze, und insbesondere die erste Subsumtion des Distributionsgesetzes: a b + a c a (b + c). Nun seien p1, p2, p3 drei verschiedene Punkte einer Geraden g, also p1 p2 = p1 p3 = 0, p1 g = p1, p2 + p3 = g. Dann ist p1 (p2 + p3) = p1 g = p1, p1 p2 + p1 p3 = 0 + 0 = 0, also p1 (p2 + p3) ≠ p1 p2 + p1 p3, q. e. d. Der Beweis 3 von Lüroth1 nimmt das Gebiet der natürlichen Zahlen zum Substrat und verwendet die arithmetischen Rechnungsarten. Es sollen die Buchstabensymbole α, β, γ, …, p, q, r, … stets positive ganze Zahlen, die Null zugelassen, vorstellen. Sodann sei eine „Klasse“ a ebensolcher Zahlen definirt als die Gesamtheit aller Zahlen, (der Elemente dieser Klasse a), die durch eine bestimmte Linearform α p + β q + γ r + … + λ z dargestellt sind, worin die Koeffizienten α, β, γ, …, λ bestimmt ge- geben und für alle Elemente der Klasse a dieselben seien, dagegen die Konstituenten p, q, r, …, z zunächst unbestimmte Zahlen oder Para- meter vorstellen, denen einzeln und unabhängig von einander die Werte 0, 1, 2, 3, … der Reihe nach beizulegen sind, wenn man sämt- liche Elemente der Klasse a bilden will. Diese Elemente sind hiernach nebst 0 die Zahlen α, β, γ, … λ, sodann deren Vielfache, endlich alle Zahlen, die durch arithmetische Addition aus zwei oder mehreren unter den genannten Elementen, oder überhaupt aus irgend welchen Elementen der Klasse a entstehen. — Während somit die p, q, … innerhalb einer Klasse von Element zu Element ihre Werte wechseln, sind die für alle Elemente einer Klasse konstanten, erst von Klasse zu Klasse sich ändernden α, β, … für eine Klasse a charakteristisch oder „be- stimmend“; die Klasse kann auch durch (α, β, γ, … λ) bezeichnet werden. Beispielsweise wird (3, 2, 0) die Zahlen von der Form 3 p + 2 q + 0 r, also die: 0, 2, 3, 4, 5, …, alle Zahlen ausgenommen 1 enthalten, die Klasse (0, 3, 0) oder (3) die Vielfachen 0, 3, 6, 9, … von 3, die Klasse (4, 5) die Zahlen 0, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, … und von 15 ab alle Zahlen umfassen. *) Die Aufzählung wäre wol durch Berufung auf gewisse geometrische Sätze von allgemeinerer Natur (über Raumelemente, deren Schnittgebilde und Bestimmungs- stücke) ersetzbar, welche zu formuliren ich aber hier nicht für meine Aufgabe halte. Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 27

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 417. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/61>, abgerufen am 16.02.2025.