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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.
Denkbereich gar nicht existirt, und somit auch kein im Schnittgebilde "ent-
haltenes Element höchster Dimension", kein Produkt a b; wogegen bezüglich
des durch a und b bestimmten und "beide enthaltenden Raumelements
niedrigster Dimension", d. i. bezüglich a + b, dieselben Fälle des Parallelis-
mus mit denen des Schneidens zusammenrangiren werden.

Ist a ein Punkt ausserhalb b,
(welches ein anderer Punkt oder eine
Gerade oder eine Ebene sein mag,)
so muss c, um in a und b zugleich
enthalten sein zu können, selbst = 0
sein; dann gilt aber c a b kraft (2).		Ist a eine Ebene ausserhalb b,
(welches eine andre Ebene oder eine
Gerade oder ein Punkt sein mag,
jene beiden die Ebene a schneidend
oder auch nicht schneidend), so muss c,
um sowol a als b enthalten zu können,
= 1, nämlich der ganze Raum sein,
und dann gilt a + b c kraft (2).

Damit ist links vom Mittelstrich der Punkt, rechts die Ebene als zu-
lässige Bedeutung von a und b abgethan.

Stellen a und b zwei einander
nicht schneidende (und auseinander-
gelegene) Raumelemente vor, nämlich
entweder zwei windschiefe oder auch
zwei parallele Gerade, oder auch eine
Gerade und eine zu ihre parallele Ebene,
oder endlich zwei parallele Ebenen,
so muss c, um in beiden zugleich
liegen zu können, wiederum = 0 sein,
und dann gilt c a b kraft (2), und
übrigens auch kraft I, da auch a b
hier 0 bedeuten wird. Somit bleiben
(links) nur noch schnittige Raum-
elemente in's Auge zu fassen.		Sind a und b zwei windschiefe
Gerade, so muss c als beide enthalten-
des Raumelement der ganze Raum 1
sein; desgleichen ist dann auch a + b
= 1 und es gilt a + b c kraft (2)
und I.
Sind a und b zwei schneidende
Geraden, oder eine Ebene und eine
sie schneidende Gerade, so stellt a b
deren Schnittpunkt vor, und c muss,
um als ein "Raumelement" in a und
b zugleich liegen zu können, (sofern
c nicht 0 ist,) eben dieser Schnitt-
punkt sein. Dann gilt c a b kraft I.		Sind a und b zwei einander
schneidende oder auch zwei parallele
Gerade, oder eine Gerade und ein
Punkt ausserhalb, so stellt a + b die
dadurch bestimmte Ebene vor, und c
muss, um a sowol als b zu enthalten,
als ein "Raumelement" entweder selbst
diese Ebene oder der ganze Raum 1
sein, so dass a + b c nach I oder
(2) gilt.
Sind endlich a und b zwei schnit-
tige Ebenen, so ist a b die Schnitt-
linie beider. Hier muss c, um in a
und b zugleich enthalten zu sein, auch
in dieser Schnittlinie liegen als dem
geometrischen Ort, dem Inbegriff der
den beiden Ebenen gemeinsamen Punk-
te, -- mag c nun (= 0 sein oder)
einen Punkt (der Schnittgeraden) oder
eine Gerade (diese Schnittgerade
selbst) bedeuten: es muss c a b sein.		Sind a und b zwei verschiedene
Punkte, so stellt a + b deren Ver-
bindungsgerade vor. Dann kann c,
worin beide enthalten sein sollen, kein
Punkt und auch nicht 0 sein. Eine
Gerade, Ebene oder ein (Euklid'scher)
Raum dagegen, der beide enthält,
wird immer auch deren Verbindungs-
gerade enthalten, und es muss a + b
c für die genannten drei Bedeu-
tungen von c zutreffen.

Vierundzwanzigste Vorlesung.
Denkbereich gar nicht existirt, und somit auch kein im Schnittgebilde „ent-
haltenes Element höchster Dimension“, kein Produkt a b; wogegen bezüglich
des durch a und b bestimmten und „beide enthaltenden Raumelements
niedrigster Dimension“, d. i. bezüglich a + b, dieselben Fälle des Parallelis-
mus mit denen des Schneidens zusammenrangiren werden.

Ist a ein Punkt ausserhalb b,
(welches ein anderer Punkt oder eine
Gerade oder eine Ebene sein mag,)
so muss c, um in a und b zugleich
enthalten sein zu können, selbst = 0
sein; dann gilt aber c a b kraft (2).		Ist a eine Ebene ausserhalb b,
(welches eine andre Ebene oder eine
Gerade oder ein Punkt sein mag,
jene beiden die Ebene a schneidend
oder auch nicht schneidend), so muss c,
um sowol a als b enthalten zu können,
= 1, nämlich der ganze Raum sein,
und dann gilt a + b c kraft (2).

Damit ist links vom Mittelstrich der Punkt, rechts die Ebene als zu-
lässige Bedeutung von a und b abgethan.

Stellen a und b zwei einander
nicht schneidende (und auseinander-
gelegene) Raumelemente vor, nämlich
entweder zwei windschiefe oder auch
zwei parallele Gerade, oder auch eine
Gerade und eine zu ihre parallele Ebene,
oder endlich zwei parallele Ebenen,
so muss c, um in beiden zugleich
liegen zu können, wiederum = 0 sein,
und dann gilt c a b kraft (2), und
übrigens auch kraft I, da auch a b
hier 0 bedeuten wird. Somit bleiben
(links) nur noch schnittige Raum-
elemente in’s Auge zu fassen.		Sind a und b zwei windschiefe
Gerade, so muss c als beide enthalten-
des Raumelement der ganze Raum 1
sein; desgleichen ist dann auch a + b
= 1 und es gilt a + b c kraft (2)
und I.
Sind a und b zwei schneidende
Geraden, oder eine Ebene und eine
sie schneidende Gerade, so stellt a b
deren Schnittpunkt vor, und c muss,
um als ein „Raumelement“ in a und
b zugleich liegen zu können, (sofern
c nicht 0 ist,) eben dieser Schnitt-
punkt sein. Dann gilt c a b kraft I.		Sind a und b zwei einander
schneidende oder auch zwei parallele
Gerade, oder eine Gerade und ein
Punkt ausserhalb, so stellt a + b die
dadurch bestimmte Ebene vor, und c
muss, um a sowol als b zu enthalten,
als ein „Raumelement“ entweder selbst
diese Ebene oder der ganze Raum 1
sein, so dass a + b c nach I oder
(2) gilt.
Sind endlich a und b zwei schnit-
tige Ebenen, so ist a b die Schnitt-
linie beider. Hier muss c, um in a
und b zugleich enthalten zu sein, auch
in dieser Schnittlinie liegen als dem
geometrischen Ort, dem Inbegriff der
den beiden Ebenen gemeinsamen Punk-
te, — mag c nun (= 0 sein oder)
einen Punkt (der Schnittgeraden) oder
eine Gerade (diese Schnittgerade
selbst) bedeuten: es muss c a b sein.		Sind a und b zwei verschiedene
Punkte, so stellt a + b deren Ver-
bindungsgerade vor. Dann kann c,
worin beide enthalten sein sollen, kein
Punkt und auch nicht 0 sein. Eine
Gerade, Ebene oder ein (Euklid’scher)
Raum dagegen, der beide enthält,
wird immer auch deren Verbindungs-
gerade enthalten, und es muss a + b
c für die genannten drei Bedeu-
tungen von c zutreffen.
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[416/0060] Vierundzwanzigste Vorlesung. Denkbereich gar nicht existirt, und somit auch kein im Schnittgebilde „ent- haltenes Element höchster Dimension“, kein Produkt a b; wogegen bezüglich des durch a und b bestimmten und „beide enthaltenden Raumelements niedrigster Dimension“, d. i. bezüglich a + b, dieselben Fälle des Parallelis- mus mit denen des Schneidens zusammenrangiren werden. Ist a ein Punkt ausserhalb b, (welches ein anderer Punkt oder eine Gerade oder eine Ebene sein mag,) so muss c, um in a und b zugleich enthalten sein zu können, selbst = 0 sein; dann gilt aber c a b kraft (2). Ist a eine Ebene ausserhalb b, (welches eine andre Ebene oder eine Gerade oder ein Punkt sein mag, jene beiden die Ebene a schneidend oder auch nicht schneidend), so muss c, um sowol a als b enthalten zu können, = 1, nämlich der ganze Raum sein, und dann gilt a + b c kraft (2). Damit ist links vom Mittelstrich der Punkt, rechts die Ebene als zu- lässige Bedeutung von a und b abgethan. Stellen a und b zwei einander nicht schneidende (und auseinander- gelegene) Raumelemente vor, nämlich entweder zwei windschiefe oder auch zwei parallele Gerade, oder auch eine Gerade und eine zu ihre parallele Ebene, oder endlich zwei parallele Ebenen, so muss c, um in beiden zugleich liegen zu können, wiederum = 0 sein, und dann gilt c a b kraft (2), und übrigens auch kraft I, da auch a b hier 0 bedeuten wird. Somit bleiben (links) nur noch schnittige Raum- elemente in’s Auge zu fassen. Sind a und b zwei windschiefe Gerade, so muss c als beide enthalten- des Raumelement der ganze Raum 1 sein; desgleichen ist dann auch a + b = 1 und es gilt a + b c kraft (2) und I. Sind a und b zwei schneidende Geraden, oder eine Ebene und eine sie schneidende Gerade, so stellt a b deren Schnittpunkt vor, und c muss, um als ein „Raumelement“ in a und b zugleich liegen zu können, (sofern c nicht 0 ist,) eben dieser Schnitt- punkt sein. Dann gilt c a b kraft I. Sind a und b zwei einander schneidende oder auch zwei parallele Gerade, oder eine Gerade und ein Punkt ausserhalb, so stellt a + b die dadurch bestimmte Ebene vor, und c muss, um a sowol als b zu enthalten, als ein „Raumelement“ entweder selbst diese Ebene oder der ganze Raum 1 sein, so dass a + b c nach I oder (2) gilt. Sind endlich a und b zwei schnit- tige Ebenen, so ist a b die Schnitt- linie beider. Hier muss c, um in a und b zugleich enthalten zu sein, auch in dieser Schnittlinie liegen als dem geometrischen Ort, dem Inbegriff der den beiden Ebenen gemeinsamen Punk- te, — mag c nun (= 0 sein oder) einen Punkt (der Schnittgeraden) oder eine Gerade (diese Schnittgerade selbst) bedeuten: es muss c a b sein. Sind a und b zwei verschiedene Punkte, so stellt a + b deren Ver- bindungsgerade vor. Dann kann c, worin beide enthalten sein sollen, kein Punkt und auch nicht 0 sein. Eine Gerade, Ebene oder ein (Euklid’scher) Raum dagegen, der beide enthält, wird immer auch deren Verbindungs- gerade enthalten, und es muss a + b c für die genannten drei Bedeu- tungen von c zutreffen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 416. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/60>, abgerufen am 04.05.2024.