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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
sodann letztere Figur, falls sie die Merkmale g und h besitzt, auch alle die-
jenigen Merkmale mit umfassen wird, die aus der Verbindung beider folgen,
d. i. alle Merkmale des Komplexes g + h; -- oder f bedeutet einen Komplex
von Merkmalen aus unserm Denkbereich, welche, als nach den geometrischen
Axiomen mit einander unverträglich, keiner ebenen Figur gleichzeitig zukommen
können, und ist dann hier mit 1 zu bezeichnen, da man aus dem in ihrer
Unverträglichkeit liegenden Widerspruch noch jedes andere erdenkliche Merk-
mal hinzugefolgert denken kann (vergl. Bd. 2, I, S. 18, Z. 13 v. o.), sodass f
alle Merkmale des Denkbereiches umfasst; und dann gilt nach (2) selbst-
verständlich g + h 1 neben g 1 und h 1.

Für die angegebene Deutung der Symbole treffen somit auch die Pro-
positionen (3) zu. Übrigens erscheint hier nur die von mir sogenannte
"extensive Schreibung" mit der "intensiven" vertauscht, -- vergl. Bd. 1,
S. 623, -- d. h. es haben und , 0 und 1, Produkt und Summe, jede
Proposition und deren duales Gegenstück, ihre Rollen gewechselt, -- wobei
indes Inhaltsprodukte bisher hier nicht zur Sprache gekommen.

Sollte das inhaltslogische Produkt g h in gleicher Weise das Gegenstück
sein zur umfangslogischen Summe, so wäre ersteres zu definiren als derjenige
Merkmalkomplex, welcher allen den Figuren gemeinsam ist, die den Merkmal-
komplex g oder den h besitzen. Anders im Voigt'schen Beweis. Hier be-
deutet g · h nur das wirkliche "identische Produkt" der beiden Merkmalkom-
plexe, den Merkmalkomplex, den g und h gemein haben.*) (Vergl. Bd. 1,
S. 627, Fussnote.) Selbstverständlich werden dann die formalen Forderungen
unserer Def. (3x) sich erfüllt erweisen: (f g) (f h) = (f g h).

Ergebniss dieser Überlegungen ist also, dass in der That das
Voigt'sche Apercu beweiskräftig ist für unsern Satz der Nichtbeweis-
barkeit des Distributionssatzes, und dass an der Hand der Betrachtung
idealer Begriffsinhalte naheliegende "Beispiele" ("crucial tests") gefunden
werden können.

Wegen der Deutung, welche Voigt dem Produkt zweier Begriffe bei-
legt, ist der Voigt'sche Kalkul mit idealen Begriffsinhalten allerdings nur
ein Gruppenkalkul; derselbe deckt sich aber auch aus dem gleichen Grunde
keineswegs mit demjenigen inhaltslogischen Kalkul, auf welchen ich Bd. 1,
S. 100 anspielte, der sich durchaus als "identischer" Kalkul darstellt, auch
mit der vollen Geltung des Distributionsgesetzes, lediglich unter durch-
gängiger Vertauschung der "intensiven" mit der "extensiven" Schreibung,
gemäss der bekannten Thatsache, dass mit einer Einordnung zwischen zwei
Begriffsumfängen stets die entgegengesetzte Einordnung zwischen den zu-
gehörigen Begriffsinhalten parallel geht. Darum ist es wol auch nicht so
"auffallend", wie Voigt meint, dass ich die bewusste Bemerkung nicht ge-
macht habe, da diese Bemerkung nur für den Voigt'schen Inhaltskalkul
zutrifft, nicht aber für den meinigen. -- Dem Voigt'schen Inhaltskalkul
jedoch würde eine wichtige, für die Wissenschaft wie für das gemeine Denken
gleich unentbehrliche Operation abgehen: die Operation, welche aus zwei ge-

*) Hiezu auch die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.

§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
sodann letztere Figur, falls sie die Merkmale g und h besitzt, auch alle die-
jenigen Merkmale mit umfassen wird, die aus der Verbindung beider folgen,
d. i. alle Merkmale des Komplexes g + h; — oder f bedeutet einen Komplex
von Merkmalen aus unserm Denkbereich, welche, als nach den geometrischen
Axiomen mit einander unverträglich, keiner ebenen Figur gleichzeitig zukommen
können, und ist dann hier mit 1 zu bezeichnen, da man aus dem in ihrer
Unverträglichkeit liegenden Widerspruch noch jedes andere erdenkliche Merk-
mal hinzugefolgert denken kann (vergl. Bd. 2, I, S. 18, Z. 13 v. o.), sodass f
alle Merkmale des Denkbereiches umfasst; und dann gilt nach (2) selbst-
verständlich g + h 1 neben g 1 und h 1.

Für die angegebene Deutung der Symbole treffen somit auch die Pro-
positionen (3) zu. Übrigens erscheint hier nur die von mir sogenannte
„extensive Schreibung“ mit der „intensiven“ vertauscht, — vergl. Bd. 1,
S. 623, — d. h. es haben und , 0 und 1, Produkt und Summe, jede
Proposition und deren duales Gegenstück, ihre Rollen gewechselt, — wobei
indes Inhaltsprodukte bisher hier nicht zur Sprache gekommen.

Sollte das inhaltslogische Produkt g h in gleicher Weise das Gegenstück
sein zur umfangslogischen Summe, so wäre ersteres zu definiren als derjenige
Merkmalkomplex, welcher allen den Figuren gemeinsam ist, die den Merkmal-
komplex g oder den h besitzen. Anders im Voigt’schen Beweis. Hier be-
deutet g · h nur das wirkliche „identische Produkt“ der beiden Merkmalkom-
plexe, den Merkmalkomplex, den g und h gemein haben.*) (Vergl. Bd. 1,
S. 627, Fussnote.) Selbstverständlich werden dann die formalen Forderungen
unserer Def. (3×) sich erfüllt erweisen: (f g) (f h) = (f g h).

Ergebniss dieser Überlegungen ist also, dass in der That das
Voigt’sche Aperçu beweiskräftig ist für unsern Satz der Nichtbeweis-
barkeit des Distributionssatzes, und dass an der Hand der Betrachtung
idealer Begriffsinhalte naheliegende „Beispiele“ („crucial tests“) gefunden
werden können.

Wegen der Deutung, welche Voigt dem Produkt zweier Begriffe bei-
legt, ist der Voigt’sche Kalkul mit idealen Begriffsinhalten allerdings nur
ein Gruppenkalkul; derselbe deckt sich aber auch aus dem gleichen Grunde
keineswegs mit demjenigen inhaltslogischen Kalkul, auf welchen ich Bd. 1,
S. 100 anspielte, der sich durchaus als „identischer“ Kalkul darstellt, auch
mit der vollen Geltung des Distributionsgesetzes, lediglich unter durch-
gängiger Vertauschung der „intensiven“ mit der „extensiven“ Schreibung,
gemäss der bekannten Thatsache, dass mit einer Einordnung zwischen zwei
Begriffsumfängen stets die entgegengesetzte Einordnung zwischen den zu-
gehörigen Begriffsinhalten parallel geht. Darum ist es wol auch nicht so
„auffallend“, wie Voigt meint, dass ich die bewusste Bemerkung nicht ge-
macht habe, da diese Bemerkung nur für den Voigt’schen Inhaltskalkul
zutrifft, nicht aber für den meinigen. — Dem Voigt’schen Inhaltskalkul
jedoch würde eine wichtige, für die Wissenschaft wie für das gemeine Denken
gleich unentbehrliche Operation abgehen: die Operation, welche aus zwei ge-

*) Hiezu auch die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.
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[413/0057] § 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes. sodann letztere Figur, falls sie die Merkmale g und h besitzt, auch alle die- jenigen Merkmale mit umfassen wird, die aus der Verbindung beider folgen, d. i. alle Merkmale des Komplexes g + h; — oder f bedeutet einen Komplex von Merkmalen aus unserm Denkbereich, welche, als nach den geometrischen Axiomen mit einander unverträglich, keiner ebenen Figur gleichzeitig zukommen können, und ist dann hier mit 1 zu bezeichnen, da man aus dem in ihrer Unverträglichkeit liegenden Widerspruch noch jedes andere erdenkliche Merk- mal hinzugefolgert denken kann (vergl. Bd. 2, I, S. 18, Z. 13 v. o.), sodass f alle Merkmale des Denkbereiches umfasst; und dann gilt nach (2) selbst- verständlich g + h 1 neben g 1 und h 1. Für die angegebene Deutung der Symbole treffen somit auch die Pro- positionen (3) zu. Übrigens erscheint hier nur die von mir sogenannte „extensive Schreibung“ mit der „intensiven“ vertauscht, — vergl. Bd. 1, S. 623, — d. h. es haben und , 0 und 1, Produkt und Summe, jede Proposition und deren duales Gegenstück, ihre Rollen gewechselt, — wobei indes Inhaltsprodukte bisher hier nicht zur Sprache gekommen. Sollte das inhaltslogische Produkt g h in gleicher Weise das Gegenstück sein zur umfangslogischen Summe, so wäre ersteres zu definiren als derjenige Merkmalkomplex, welcher allen den Figuren gemeinsam ist, die den Merkmal- komplex g oder den h besitzen. Anders im Voigt’schen Beweis. Hier be- deutet g · h nur das wirkliche „identische Produkt“ der beiden Merkmalkom- plexe, den Merkmalkomplex, den g und h gemein haben. *) (Vergl. Bd. 1, S. 627, Fussnote.) Selbstverständlich werden dann die formalen Forderungen unserer Def. (3×) sich erfüllt erweisen: (f g) (f h) = (f g h). Ergebniss dieser Überlegungen ist also, dass in der That das Voigt’sche Aperçu beweiskräftig ist für unsern Satz der Nichtbeweis- barkeit des Distributionssatzes, und dass an der Hand der Betrachtung idealer Begriffsinhalte naheliegende „Beispiele“ („crucial tests“) gefunden werden können. Wegen der Deutung, welche Voigt dem Produkt zweier Begriffe bei- legt, ist der Voigt’sche Kalkul mit idealen Begriffsinhalten allerdings nur ein Gruppenkalkul; derselbe deckt sich aber auch aus dem gleichen Grunde keineswegs mit demjenigen inhaltslogischen Kalkul, auf welchen ich Bd. 1, S. 100 anspielte, der sich durchaus als „identischer“ Kalkul darstellt, auch mit der vollen Geltung des Distributionsgesetzes, lediglich unter durch- gängiger Vertauschung der „intensiven“ mit der „extensiven“ Schreibung, gemäss der bekannten Thatsache, dass mit einer Einordnung zwischen zwei Begriffsumfängen stets die entgegengesetzte Einordnung zwischen den zu- gehörigen Begriffsinhalten parallel geht. Darum ist es wol auch nicht so „auffallend“, wie Voigt meint, dass ich die bewusste Bemerkung nicht ge- macht habe, da diese Bemerkung nur für den Voigt’schen Inhaltskalkul zutrifft, nicht aber für den meinigen. — Dem Voigt’schen Inhaltskalkul jedoch würde eine wichtige, für die Wissenschaft wie für das gemeine Denken gleich unentbehrliche Operation abgehen: die Operation, welche aus zwei ge- *) Hiezu auch die Anmerkung des Herausgebers am Schlusse des Bandes.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 413. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/57>, abgerufen am 03.05.2024.