Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Nun ist offenbar das Merkmal c der vierfachen Symmetrie nicht
dem d der zweifachen Symmetrie eingeordnet, (sondern umgekehrt, und
diese umgekehrte Einordnung ist hier eine wirkliche Unterordnung).
Also gilt die Subsumtion (a + b) c a c + b c hier nicht, q. e. d.

Um diese wol unanfechtbaren Überlegungen beweiskräftig zu finden,
scheint mir der Nachweis doch unerlässlich, dass diejenigen Prinzipien, in
denen der identische Kalkul mit dem Gruppenkalkul übereinstimmt, auch
wirklich Geltung haben für die vorstehend adoptirten Deutungen von Ein-
ordnung, Produkt und Summe zweier Merkmalkomplexe.

Ein Merkmalkomplex g war hier eingeordnet genannt einem Merkmal-
komplex h, wenn sich jedes Merkmal des ersteren unter den Merkmalen des
letzteren vorfindet. (Der Subsumtion g h würde also entsprechen die
umgekehrte Subsumtion zwischen den Umfängen der Begriffe, die durch unsere
Merkmalkomplexe bestimmt sind.) Trifft auch das Umgekehrte zu, d. h. ist
sowol g h als h g, so besteht zweifellos Identität zwischen den beiden
Merkmalkomplexen, d. h. es besteht hier unsere Def. (1) der Gleichheit, g = h,
zu Rechte. Ebenso müssen offenbar Prinzip I g g und II: Wenn f g
und g h, so ist auch f h, allgemein gelten.

Ferner musste der Merkmalkomplex 0, welcher sich in jedem Merkmal-
komplex mit vorfinden soll, bei uneingeschränktem Denkbereich als völlig
leer vorgestellt werden, -- dem Begriff "Etwas" entsprechend, -- bei Be-
schränkung des Denkbereiches, z. B. auf die Merkmale ebener Figuren dagegen
als dieses Merkmal selbst, eben zu sein, während 1 den Komplex aller er-
denklichen, -- darunter auch kontradiktorisch entgegengesetzter -- Merkmale --
irgendwelcher oder bezw. ebener -- Figuren bedeutet, -- dem Begriffe des
"Nichts" entsprechend. Dann sind die Formeln (2) erfüllt.

g + h sollte sodann bedeuten den Merkmalkomplex, der allen denjenigen
Figuren gemeinschaftlich zukommt, die sowol die Merkmale g als auch die h
besitzen, nnd dieser wird gebildet nicht nur von den Merkmalen g und h
selber, sondern auch von allen denjenigen Merkmalen, die nach den Axiomen
der Geometrie aus der Verbindung dieser beiden Merkmalkomplexe g und h
hinzufolgen. (Der Umfang dieses Begriffes g + h wäre in unserer Umfangs-
logik als das identische Produkt der den Begriffen g und h einzeln zukommenden
Umfänge zu bezeichnen.) Evident ist nun hieraus, dass wenn g + h f ist,
dann auch g f und h f sein muss.

Keineswegs ohne weiteres einleuchtend erscheint dagegen die umgekehrte
Behauptung, dass so oft g f und h f ist, auch g + h f sein müsse.
Der Komplex f könnte in der That zwar die Merkmale g und h für sich
umfassen, aber irgend ein weiteres Merkmal ausschliessen, welches weder
aus g allein, noch aus h allein, wol aber aus der Verbindung beider aufgrund
geometrischer Axiome hergeleitet werden kann und somit zum Komplex g + h
gehört. Und zwar ist dies möglich, so lange man sich den Merkmalkomplex f
ganz ad libitum zusammengesetzt denkt. Wird nun aber der Denkbereich
auf die den geometrischen Axiomen unterworfenen Merkmale der ebenen
Figuren eingeschränkt, so wird auch f entweder einen solchen Merkmalkom-
plex vorstellen, der einer ebenen Figur wirklich zukommen kann, wonach

Nun ist offenbar das Merkmal c der vierfachen Symmetrie nicht
dem d der zweifachen Symmetrie eingeordnet, (sondern umgekehrt, und
diese umgekehrte Einordnung ist hier eine wirkliche Unterordnung).
Also gilt die Subsumtion (a + b) c a c + b c hier nicht, q. e. d.

Um diese wol unanfechtbaren Überlegungen beweiskräftig zu finden,
scheint mir der Nachweis doch unerlässlich, dass diejenigen Prinzipien, in
denen der identische Kalkul mit dem Gruppenkalkul übereinstimmt, auch
wirklich Geltung haben für die vorstehend adoptirten Deutungen von Ein-
ordnung, Produkt und Summe zweier Merkmalkomplexe.

Ein Merkmalkomplex g war hier eingeordnet genannt einem Merkmal-
komplex h, wenn sich jedes Merkmal des ersteren unter den Merkmalen des
letzteren vorfindet. (Der Subsumtion g h würde also entsprechen die
umgekehrte Subsumtion zwischen den Umfängen der Begriffe, die durch unsere
Merkmalkomplexe bestimmt sind.) Trifft auch das Umgekehrte zu, d. h. ist
sowol g h als h g, so besteht zweifellos Identität zwischen den beiden
Merkmalkomplexen, d. h. es besteht hier unsere Def. (1) der Gleichheit, g = h,
zu Rechte. Ebenso müssen offenbar Prinzip I g g und II: Wenn f g
und g h, so ist auch f h, allgemein gelten.

Ferner musste der Merkmalkomplex 0, welcher sich in jedem Merkmal-
komplex mit vorfinden soll, bei uneingeschränktem Denkbereich als völlig
leer vorgestellt werden, — dem Begriff „Etwas“ entsprechend, — bei Be-
schränkung des Denkbereiches, z. B. auf die Merkmale ebener Figuren dagegen
als dieses Merkmal selbst, eben zu sein, während 1 den Komplex aller er-
denklichen, — darunter auch kontradiktorisch entgegengesetzter — Merkmale —
irgendwelcher oder bezw. ebener — Figuren bedeutet, — dem Begriffe des
„Nichts“ entsprechend. Dann sind die Formeln (2) erfüllt.

g + h sollte sodann bedeuten den Merkmalkomplex, der allen denjenigen
Figuren gemeinschaftlich zukommt, die sowol die Merkmale g als auch die h
besitzen, nnd dieser wird gebildet nicht nur von den Merkmalen g und h
selber, sondern auch von allen denjenigen Merkmalen, die nach den Axiomen
der Geometrie aus der Verbindung dieser beiden Merkmalkomplexe g und h
hinzufolgen. (Der Umfang dieses Begriffes g + h wäre in unserer Umfangs-
logik als das identische Produkt der den Begriffen g und h einzeln zukommenden
Umfänge zu bezeichnen.) Evident ist nun hieraus, dass wenn g + h f ist,
dann auch g f und h f sein muss.

Keineswegs ohne weiteres einleuchtend erscheint dagegen die umgekehrte
Behauptung, dass so oft g f und h f ist, auch g + h f sein müsse.
Der Komplex f könnte in der That zwar die Merkmale g und h für sich
umfassen, aber irgend ein weiteres Merkmal ausschliessen, welches weder
aus g allein, noch aus h allein, wol aber aus der Verbindung beider aufgrund
geometrischer Axiome hergeleitet werden kann und somit zum Komplex g + h
gehört. Und zwar ist dies möglich, so lange man sich den Merkmalkomplex f
ganz ad libitum zusammengesetzt denkt. Wird nun aber der Denkbereich
auf die den geometrischen Axiomen unterworfenen Merkmale der ebenen
Figuren eingeschränkt, so wird auch f entweder einen solchen Merkmalkom-
plex vorstellen, der einer ebenen Figur wirklich zukommen kann, wonach