Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst
der Erklärungen:
s) p (x) = (x > 0), p' (x) = (x < 0)
wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un-
gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden --
in Anbetracht, dass nach e) eine jede Ungleichung sich auf der einen
Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns
das Aussagensymbol p (x) hinfort genau dasselbe wie die Redensart:
x ist positiv, und p' (x) wird bedeuten: x ist negativ (nicht positiv).

Nach dem unter x) gesagten gilt alsdann unbedingt:
t) p (x) p' (x) = 0,
und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch
u) p (x) + p' (x) = 1
sodass p' (x) als Negation von p (x) zu bezeichnen ist, hier also der Accent
unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum
zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor-
zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal
nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des
Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche
Gleichungen zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter-
suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1 von Aussagen mit Ausschluss
aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen)
beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung p1 (x) exakter zu reserviren
für die Beziehung:
p1 (x) = (x 0) = (x < 0) + (x = 0) = p' (x) + (x = 0).

Nach th) gilt nun also auch:
ph) p (x) = p' (-- x), p (-- x) = p' (x),
ps) p (x) p (-- x) = 0 = p' (x) p' (-- x), p (x) + p (-- x) = 1 = p' (x) + p' (-- x)
und zwar -- dürfen wir sagen -- für das ganze Gebiet der reellen Zahlen x,
weil die Möglichkeit x = 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann,
vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten x > 0 und x < 0 zu berück-
sichtigen bleiben.

Die "Zeichenregel" -- der Multiplikation z. B. -- wird in der neuen
Symbolik lauten:

kh)	p (x y) = p (x) p (y) + p' (x) p' (y), p' (x y) = p (x) p' (y) + p' (x) p (y).

Nimmt man in ihr y = x an, so folgt nach u) und t) nebst Th. 14
insbesondere:
o) p (x2) = 1, p' (x2) = 0, sonach auch p (-- x2) = 0, p' (-- x2) = 1
als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst
der Erklärungen:
σ) p (x) = (x > 0), p' (x) = (x < 0)
wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un-
gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden —
in Anbetracht, dass nach η) eine jede Ungleichung sich auf der einen
Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns
das Aussagensymbol p (x) hinfort genau dasselbe wie die Redensart:
x ist positiv, und p' (x) wird bedeuten: x ist negativ (nicht positiv).

Nach dem unter ξ) gesagten gilt alsdann unbedingt:
τ) p (x) p' (x) = 0,
und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch
υ) p (x) + p' (x) = 1̇
sodass p' (x) als Negation von p (x) zu bezeichnen ist, hier also der Accent
unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum
zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor-
zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal
nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des
Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche
Gleichungen zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter-
suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1̇ von Aussagen mit Ausschluss
aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen)
beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung p1 (x) exakter zu reserviren
für die Beziehung:
p1 (x) = (x 0) = (x < 0) + (x = 0) = p' (x) + (x = 0).

Nach ϑ) gilt nun also auch:
φ) p (x) = p' (— x), p (— x) = p' (x),
ψ) p (x) p (— x) = 0 = p' (x) p' (— x), p (x) + p (— x) = 1̇ = p' (x) + p' (— x)
und zwar — dürfen wir sagen — für das ganze Gebiet der reellen Zahlen x,
weil die Möglichkeit x = 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann,
vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten x > 0 und x < 0 zu berück-
sichtigen bleiben.

Die „Zeichenregel“ — der Multiplikation z. B. — wird in der neuen
Symbolik lauten:

χ)	p (x y) = p (x) p (y) + p' (x) p' (y), p' (x y) = p (x) p' (y) + p' (x) p (y).

Nimmt man in ihr y = x an, so folgt nach υ) und τ) nebst Th. 1̅4̅
insbesondere:
ω) p (x2) = 1̇, p' (x2) = 0, sonach auch p (— x2) = 0, p' (— x2) = 1̇
als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0169" n="525"/><fw place="top" type="header">McColl&#x2019;s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.</fw><lb/>
tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst<lb/>
der Erklärungen:<lb/><hi rendition="#i">&#x03C3;</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> &gt; 0), <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> &lt; 0)</hi><lb/>
wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un-<lb/>
gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden &#x2014;<lb/>
in Anbetracht, dass nach <hi rendition="#i">&#x03B7;</hi>) eine jede Ungleichung sich auf der einen<lb/>
Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns<lb/>
das Aussagensymbol <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) hinfort genau dasselbe wie die Redensart:<lb/><hi rendition="#i">x</hi> ist positiv, und <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) wird bedeuten: <hi rendition="#i">x</hi> ist negativ (nicht positiv).</p><lb/>
          <p>Nach dem unter <hi rendition="#i">&#x03BE;</hi>) gesagten gilt alsdann unbedingt:<lb/><hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) = 0,</hi><lb/>
und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch<lb/><hi rendition="#i">&#x03C5;</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) + <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) = 1&#x0307;</hi><lb/>
sodass <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) als Negation von <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) zu bezeichnen ist, hier also der Accent<lb/>
unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum<lb/>
zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor-<lb/>
zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal<lb/>
nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des<lb/>
Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche<lb/><hi rendition="#i">Gleichungen</hi> zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter-<lb/>
suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1&#x0307; von Aussagen mit Ausschluss<lb/>
aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen)<lb/>
beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung <hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) exakter zu reserviren<lb/>
für die Beziehung:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> <g ref="eqless"/> 0) = (<hi rendition="#i">x</hi> &lt; 0) + (<hi rendition="#i">x</hi> = 0) = <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) + (<hi rendition="#i">x</hi> = 0).</hi></p><lb/>
          <p>Nach <hi rendition="#i">&#x03D1;</hi>) gilt nun also auch:<lb/><hi rendition="#i">&#x03C6;</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">p</hi>' (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi>), <hi rendition="#i">p</hi> (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi>) = <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>),</hi><lb/><hi rendition="#i">&#x03C8;</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi>) = 0 = <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">p</hi>' (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi>), <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) + <hi rendition="#i">p</hi> (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi>) = 1&#x0307; = <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) + <hi rendition="#i">p</hi>' (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi>)<lb/>
und zwar &#x2014; dürfen wir sagen &#x2014; für das <hi rendition="#i">ganze</hi> Gebiet der reellen Zahlen <hi rendition="#i">x</hi>,<lb/>
weil die Möglichkeit <hi rendition="#i">x</hi> = 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann,<lb/>
vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten <hi rendition="#i">x</hi> &gt; 0 und <hi rendition="#i">x</hi> &lt; 0 zu berück-<lb/>
sichtigen bleiben.</p><lb/>
          <p>Die &#x201E;Zeichenregel&#x201C; &#x2014; der Multiplikation z. B. &#x2014; wird in der neuen<lb/>
Symbolik lauten:<lb/><list rend="braced"><head><hi rendition="#i">&#x03C7;</hi>)</head><item><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x y</hi>) = <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">y</hi>) + <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">y</hi>),<lb/><hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x y</hi>) = <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">y</hi>) + <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">y</hi>).</hi></item></list></p><lb/>
          <p>Nimmt man in ihr <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> an, so folgt nach <hi rendition="#i">&#x03C5;</hi>) und <hi rendition="#i">&#x03C4;</hi>) nebst Th. 1&#x0305;4&#x0305;<lb/>
insbesondere:<lb/><hi rendition="#i">&#x03C9;</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sup">2</hi>) = 1&#x0307;, <hi rendition="#i">p</hi>' (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sup">2</hi>) = 0, sonach auch <hi rendition="#i">p</hi> (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sup">2</hi>) = 0, <hi rendition="#i">p</hi>' (&#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sup">2</hi>) = 1&#x0307;</hi><lb/>
als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.</p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[525/0169] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst der Erklärungen: σ) p (x) = (x > 0), p' (x) = (x < 0) wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un- gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden — in Anbetracht, dass nach η) eine jede Ungleichung sich auf der einen Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns das Aussagensymbol p (x) hinfort genau dasselbe wie die Redensart: x ist positiv, und p' (x) wird bedeuten: x ist negativ (nicht positiv). Nach dem unter ξ) gesagten gilt alsdann unbedingt: τ) p (x) p' (x) = 0, und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch υ) p (x) + p' (x) = 1̇ sodass p' (x) als Negation von p (x) zu bezeichnen ist, hier also der Accent unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor- zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche Gleichungen zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter- suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1̇ von Aussagen mit Ausschluss aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen) beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung p1 (x) exakter zu reserviren für die Beziehung: p1 (x) = (x 0) = (x < 0) + (x = 0) = p' (x) + (x = 0). Nach ϑ) gilt nun also auch: φ) p (x) = p' (— x), p (— x) = p' (x), ψ) p (x) p (— x) = 0 = p' (x) p' (— x), p (x) + p (— x) = 1̇ = p' (x) + p' (— x) und zwar — dürfen wir sagen — für das ganze Gebiet der reellen Zahlen x, weil die Möglichkeit x = 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann, vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten x > 0 und x < 0 zu berück- sichtigen bleiben. Die „Zeichenregel“ — der Multiplikation z. B. — wird in der neuen Symbolik lauten: χ)p (x y) = p (x) p (y) + p' (x) p' (y), p' (x y) = p (x) p' (y) + p' (x) p (y). Nimmt man in ihr y = x an, so folgt nach υ) und τ) nebst Th. 1̅4̅ insbesondere: ω) p (x2) = 1̇, p' (x2) = 0, sonach auch p (— x2) = 0, p' (— x2) = 1̇ als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/169
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 525. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/169>, abgerufen am 22.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.