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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst
der Erklärungen:
s) p (x) = (x > 0), p' (x) = (x < 0)
wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un-
gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden --
in Anbetracht, dass nach e) eine jede Ungleichung sich auf der einen
Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns
das Aussagensymbol p (x) hinfort genau dasselbe wie die Redensart:
x ist positiv, und p' (x) wird bedeuten: x ist negativ (nicht positiv).

Nach dem unter x) gesagten gilt alsdann unbedingt:
t) p (x) p' (x) = 0,
und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch
u) p (x) + p' (x) = 1
sodass p' (x) als Negation von p (x) zu bezeichnen ist, hier also der Accent
unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum
zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor-
zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal
nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des
Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche
Gleichungen zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter-
suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1 von Aussagen mit Ausschluss
aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen)
beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung p1 (x) exakter zu reserviren
für die Beziehung:
p1 (x) = (x 0) = (x < 0) + (x = 0) = p' (x) + (x = 0).

Nach th) gilt nun also auch:
ph) p (x) = p' (-- x), p (-- x) = p' (x),
ps) p (x) p (-- x) = 0 = p' (x) p' (-- x), p (x) + p (-- x) = 1 = p' (x) + p' (-- x)
und zwar -- dürfen wir sagen -- für das ganze Gebiet der reellen Zahlen x,
weil die Möglichkeit x = 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann,
vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten x > 0 und x < 0 zu berück-
sichtigen bleiben.

Die "Zeichenregel" -- der Multiplikation z. B. -- wird in der neuen
Symbolik lauten:

kh)	p (x y) = p (x) p (y) + p' (x) p' (y), p' (x y) = p (x) p' (y) + p' (x) p (y).

Nimmt man in ihr y = x an, so folgt nach u) und t) nebst Th. 14
insbesondere:
o) p (x2) = 1, p' (x2) = 0, sonach auch p (-- x2) = 0, p' (-- x2) = 1
als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst
der Erklärungen:
σ) p (x) = (x > 0), p' (x) = (x < 0)
wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un-
gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden —
in Anbetracht, dass nach η) eine jede Ungleichung sich auf der einen
Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns
das Aussagensymbol p (x) hinfort genau dasselbe wie die Redensart:
x ist positiv, und p' (x) wird bedeuten: x ist negativ (nicht positiv).

Nach dem unter ξ) gesagten gilt alsdann unbedingt:
τ) p (x) p' (x) = 0,
und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch
υ) p (x) + p' (x) = 1̇
sodass p' (x) als Negation von p (x) zu bezeichnen ist, hier also der Accent
unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum
zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor-
zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal
nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des
Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche
Gleichungen zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter-
suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1̇ von Aussagen mit Ausschluss
aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen)
beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung p1 (x) exakter zu reserviren
für die Beziehung:
p1 (x) = (x 0) = (x < 0) + (x = 0) = p' (x) + (x = 0).

Nach ϑ) gilt nun also auch:
φ) p (x) = p' (— x), p (— x) = p' (x),
ψ) p (x) p (— x) = 0 = p' (x) p' (— x), p (x) + p (— x) = 1̇ = p' (x) + p' (— x)
und zwar — dürfen wir sagen — für das ganze Gebiet der reellen Zahlen x,
weil die Möglichkeit x = 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann,
vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten x > 0 und x < 0 zu berück-
sichtigen bleiben.

Die „Zeichenregel“ — der Multiplikation z. B. — wird in der neuen
Symbolik lauten:

χ)	p (x y) = p (x) p (y) + p' (x) p' (y), p' (x y) = p (x) p' (y) + p' (x) p (y).

Nimmt man in ihr y = x an, so folgt nach υ) und τ) nebst Th. 1̅4̅
insbesondere:
ω) p (x2) = 1̇, p' (x2) = 0, sonach auch p (— x2) = 0, p' (— x2) = 1̇
als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.

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[525/0169] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. tümliche Symbolik auseinanderzusetzen. Dies ist sehr einfach. Mittelst der Erklärungen: σ) p (x) = (x > 0), p' (x) = (x < 0) wird zunächst eine etwas bequemere Schreibweise eingeführt für Un- gleichungen von der rechten Seite 0, die so häufig vorkommen werden — in Anbetracht, dass nach η) eine jede Ungleichung sich auf der einen Seite, z. B. rechterhand, auf 0 bringen lässt. Hienach bedeutet uns das Aussagensymbol p (x) hinfort genau dasselbe wie die Redensart: x ist positiv, und p' (x) wird bedeuten: x ist negativ (nicht positiv). Nach dem unter ξ) gesagten gilt alsdann unbedingt: τ) p (x) p' (x) = 0, und wenigstens für die uns vorschwebende Untersuchung auch υ) p (x) + p' (x) = 1̇ sodass p' (x) als Negation von p (x) zu bezeichnen ist, hier also der Accent unsern Negationsstrich vertritt. Obwol ich letztern bislang als Suffixum zu setzen pflegte, muss ich hier selber dem Gebrauch des Accentes den Vor- zug geben, um eben darauf hinzuweisen, dass der Negationsbegriff diesmal nicht auf die normale Weise zustande kommt, sondern erst auf Grund des Umstandes zulässig wird, dass man von allen Aussagen absehen darf, welche Gleichungen zwischen Zahlen statuiren, dass m. a. W. die unsern Unter- suchungen zugrunde liegende Mannigfaltigkeit 1̇ von Aussagen mit Ausschluss aller Gleichungen sich auf das Gebiet der Ungleichungen (zwischen Zahlen) beschränkt. Demgemäss wäre dann die Bezeichnung p1 (x) exakter zu reserviren für die Beziehung: p1 (x) = (x 0) = (x < 0) + (x = 0) = p' (x) + (x = 0). Nach ϑ) gilt nun also auch: φ) p (x) = p' (— x), p (— x) = p' (x), ψ) p (x) p (— x) = 0 = p' (x) p' (— x), p (x) + p (— x) = 1̇ = p' (x) + p' (— x) und zwar — dürfen wir sagen — für das ganze Gebiet der reellen Zahlen x, weil die Möglichkeit x = 0 gar nicht für uns in Betracht kommen kann, vielmehr nur immer die beiden Möglichkeiten x > 0 und x < 0 zu berück- sichtigen bleiben. Die „Zeichenregel“ — der Multiplikation z. B. — wird in der neuen Symbolik lauten: χ)p (x y) = p (x) p (y) + p' (x) p' (y), p' (x y) = p (x) p' (y) + p' (x) p (y). Nimmt man in ihr y = x an, so folgt nach υ) und τ) nebst Th. 1̅4̅ insbesondere: ω) p (x2) = 1̇, p' (x2) = 0, sonach auch p (— x2) = 0, p' (— x2) = 1̇ als der bekannte Satz, dass das Quadrat jeder reellen Zahl positiv ist.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 525. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/169>, abgerufen am 08.05.2024.

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