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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.
-- die erstere besagend, dass im positiven Zahlengebiete Grösseres mit
Gleichem multiplizirt Grösseres gibt (mithin auch Kleineres mit Gleichem
multiplizirt Kleineres).

Der analoge Satz für die Division kommt auf den vorigen hinaus,
wenn man bedenkt, dass Division mit einer Zahl c als Multiplikation
mit der reciproken Zahl [Formel 1] sich ansehen lässt, indem [Formel 2] = a · [Formel 3] , und dass:
p) (c > 0) = ( [Formel 4] > 0)
eine Zahl nämlich mit ihrem umgekehrten Wert immer zugleich positiv
(oder negativ), kurz von einerlei Vorzeichen ist.

Man ersieht aus dem Vorstehenden nebenher, dass die identische
Multiplikation mit spezifizirten Aussagen ganz harmlos neben der arith-
metischen Multiplikation mit Zahlensymbolen verwendet werden kann
und sich stets von selbst schon von dieser unterscheidet. Erst wenn
die Aussagen gleich den Zahlen durch einfache Buchstabensymbole dar-
gestellt würden, und man diese von jenen nicht hinlänglich auseinander-
hielte, könnten Verwechselungen zu besorgen sein.

Um fortzufahren, so können, indem man --c für c nimmt, gemäss den
Sätzen unter th) dem Satze o) auch noch weitere Korollare angereiht
werden, wie
(a > b > 0) (c < 0) (a c < b c)
Man erweitert den Satz o) ferner noch leicht zu:
o) (a > b > 0) (c > d > 0) (a c > b d > 0)
und zwar mittelst des Zwischenschlusses a c > b c, b c > b d, ergo a c > b d --
wonach denn im positiven Zahlengebiete auch Grösseres mit Grösserem
multiplizirt Grösseres (Positives) gibt. Dies wollen wir als ein nahe-
liegendes Korollar zu o) in dieses Theorem selbst noch mit einrechnen.

Zweitens ist es die "Zeichenregel" der Multiplikation (und der Division),
die wir noch anzuführen haben. Dieselbe wird durch die beiden Aussagen-
äquivalenzen (genauer also, oder vollständig, durch das Produkt derselben)
dargestellt:

r)
(a b > 0) = (a > 0) (b > 0) + (a < 0) (b < 0) = ( [Formel 5] > 0)
(a b < 0) = (a > 0) (b < 0) + (a < 0) (b > 0) = ( [Formel 6] < 0)
wo der auf die Division bezügliche (rechtseitige) Satz wiederum aus dem
auf die Multiplikation bezüglichen gemäss p) ableitbar ist, indem man
[Formel 7] für b in diesem nimmt.

Nachdem wir uns so weit nur im Rahmen des gewöhnlichen Aus-
sagenkalkuls bewegt haben, liegt es mir nun ob, Herrn McColl's eigen-

Anhang 7.
— die erstere besagend, dass im positiven Zahlengebiete Grösseres mit
Gleichem multiplizirt Grösseres gibt (mithin auch Kleineres mit Gleichem
multiplizirt Kleineres).

Der analoge Satz für die Division kommt auf den vorigen hinaus,
wenn man bedenkt, dass Division mit einer Zahl c als Multiplikation
mit der reciproken Zahl [Formel 1] sich ansehen lässt, indem [Formel 2] = a · [Formel 3] , und dass:
π) (c > 0) = ( [Formel 4] > 0)
eine Zahl nämlich mit ihrem umgekehrten Wert immer zugleich positiv
(oder negativ), kurz von einerlei Vorzeichen ist.

Man ersieht aus dem Vorstehenden nebenher, dass die identische
Multiplikation mit spezifizirten Aussagen ganz harmlos neben der arith-
metischen Multiplikation mit Zahlensymbolen verwendet werden kann
und sich stets von selbst schon von dieser unterscheidet. Erst wenn
die Aussagen gleich den Zahlen durch einfache Buchstabensymbole dar-
gestellt würden, und man diese von jenen nicht hinlänglich auseinander-
hielte, könnten Verwechselungen zu besorgen sein.

Um fortzufahren, so können, indem man —c für c nimmt, gemäss den
Sätzen unter ϑ) dem Satze ο) auch noch weitere Korollare angereiht
werden, wie
(a > b > 0) (c < 0) (a c < b c)
Man erweitert den Satz ο) ferner noch leicht zu:
ο) (a > b > 0) (c > d > 0) (a c > b d > 0)
und zwar mittelst des Zwischenschlusses a c > b c, b c > b d, ergo a c > b d —
wonach denn im positiven Zahlengebiete auch Grösseres mit Grösserem
multiplizirt Grösseres (Positives) gibt. Dies wollen wir als ein nahe-
liegendes Korollar zu ο) in dieses Theorem selbst noch mit einrechnen.

Zweitens ist es die „Zeichenregel“ der Multiplikation (und der Division),
die wir noch anzuführen haben. Dieselbe wird durch die beiden Aussagen-
äquivalenzen (genauer also, oder vollständig, durch das Produkt derselben)
dargestellt:

ϱ)
(a b > 0) = (a > 0) (b > 0) + (a < 0) (b < 0) = ( [Formel 5] > 0)
(a b < 0) = (a > 0) (b < 0) + (a < 0) (b > 0) = ( [Formel 6] < 0)
wo der auf die Division bezügliche (rechtseitige) Satz wiederum aus dem
auf die Multiplikation bezüglichen gemäss π) ableitbar ist, indem man
[Formel 7] für b in diesem nimmt.

Nachdem wir uns so weit nur im Rahmen des gewöhnlichen Aus-
sagenkalkuls bewegt haben, liegt es mir nun ob, Herrn McColl’s eigen-

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[524/0168] Anhang 7. — die erstere besagend, dass im positiven Zahlengebiete Grösseres mit Gleichem multiplizirt Grösseres gibt (mithin auch Kleineres mit Gleichem multiplizirt Kleineres). Der analoge Satz für die Division kommt auf den vorigen hinaus, wenn man bedenkt, dass Division mit einer Zahl c als Multiplikation mit der reciproken Zahl [FORMEL] sich ansehen lässt, indem [FORMEL] = a · [FORMEL], und dass: π) (c > 0) = ([FORMEL] > 0) eine Zahl nämlich mit ihrem umgekehrten Wert immer zugleich positiv (oder negativ), kurz von einerlei Vorzeichen ist. Man ersieht aus dem Vorstehenden nebenher, dass die identische Multiplikation mit spezifizirten Aussagen ganz harmlos neben der arith- metischen Multiplikation mit Zahlensymbolen verwendet werden kann und sich stets von selbst schon von dieser unterscheidet. Erst wenn die Aussagen gleich den Zahlen durch einfache Buchstabensymbole dar- gestellt würden, und man diese von jenen nicht hinlänglich auseinander- hielte, könnten Verwechselungen zu besorgen sein. Um fortzufahren, so können, indem man —c für c nimmt, gemäss den Sätzen unter ϑ) dem Satze ο) auch noch weitere Korollare angereiht werden, wie (a > b > 0) (c < 0) (a c < b c) Man erweitert den Satz ο) ferner noch leicht zu: ο) (a > b > 0) (c > d > 0) (a c > b d > 0) und zwar mittelst des Zwischenschlusses a c > b c, b c > b d, ergo a c > b d — wonach denn im positiven Zahlengebiete auch Grösseres mit Grösserem multiplizirt Grösseres (Positives) gibt. Dies wollen wir als ein nahe- liegendes Korollar zu ο) in dieses Theorem selbst noch mit einrechnen. Zweitens ist es die „Zeichenregel“ der Multiplikation (und der Division), die wir noch anzuführen haben. Dieselbe wird durch die beiden Aussagen- äquivalenzen (genauer also, oder vollständig, durch das Produkt derselben) dargestellt: ϱ) (a b > 0) = (a > 0) (b > 0) + (a < 0) (b < 0) = ([FORMEL] > 0) (a b < 0) = (a > 0) (b < 0) + (a < 0) (b > 0) = ([FORMEL] < 0) wo der auf die Division bezügliche (rechtseitige) Satz wiederum aus dem auf die Multiplikation bezüglichen gemäss π) ableitbar ist, indem man [FORMEL] für b in diesem nimmt. Nachdem wir uns so weit nur im Rahmen des gewöhnlichen Aus- sagenkalkuls bewegt haben, liegt es mir nun ob, Herrn McColl’s eigen-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 524. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/168>, abgerufen am 08.05.2024.