Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Anhang 7.

Zur Übung fordert McColl auf, für das positive Zahlengebiet die folgenden
Aussagenäquivalenzen zu beweisen:
p (x² + y² — a²) = p (y — [Formel 1] ) p' (x — a) + p (x — a),
p' (x² + y² — a²) = p' (y — [Formel 2] ) p' (x — a).

Andeutung des Beweises. Entweder ist x > a, d. h. es gilt p (x — a).
Weil ohnehin a > 0 gedacht wurde, gilt dann nach ο) auch x x > a a oder
x² — a² > 0, um so mehr auch x² + y² — a² > 0, d. h. p (x² + y² — a²).

Oder es ist x < a; dann gilt p' (x — a) und kann man zerlegen:
x² + y² — a² = (y + [Formel 3] ) (y — [Formel 4] ),
die dann reelle Wurzel positiv verstanden. Da der erste Faktor rechts von
selbst positiv, somit p (y + [Formel 5] ) = 1̇ ist, so ist das Positivsein des
zweiten Faktors notwendige und hinreichende Bedingung für das der linken
Seite. Etc.

Soll dagegen x² + y² — a² < 0 sein, so muss um so mehr auch
x² — a² < 0, und wie leicht indirekt zu beweisen, dann jedenfalls auch
x — a < 0, d. h. p' (x — a) gelten. Ausserdem muss aber nach der obigen
Zerlegung auch y — [Formel 6] < 0 sein oder p' (y — [Formel 7] ) gelten. Und
umgekehrt, wenn diese beiden Annahmen zugleich gelten, so gilt auch
p' (x² + y² — a²). Etc. Nach diesen Andeutungen ist der Beweis der beiden
Sätze leicht aussagenrechnerisch in aller Form — wenn man will, ganz
pedantisch — durchzuführen.

Eine andre Übungsaufgabe McColl’s: für das reelle Zahlengebiet die
Äquivalenz darzuthun
p (x + y) = p (x) p (y) + p' (x) p (y² — x²) + p' (y) p (x² — y²)
überlassen wir ganz dem Leser. —

Besteht für eine Variable x bei gegebenem a die Bedingung:
p (x — a), oder also: x > a,
so nennen wir a eine „untere Grenze“ für (oder von) x. Besteht dagegen
eine Bedingung:
p' (x — b), oder also: x < b,
so nennen wir b eine „obere Grenze“ für x.

Weil x = x — 0, so wird insbesondere, wenn x die Anforderung
p (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine untere, und wenn es die Anforderung
p' (x) zu erfüllen hat, die 0 als seine obere Grenze zu bezeichnen sein.

Ist x Integrationsvariable in einem mehrfachen Integrale, so werden
für dieselbe zumeist mehrere untere und mehrere obere Grenzen an-
gebbar sein als von x nicht unterschreitbare, resp. nicht zu über-
schreitende Zahlen, und diese „konkurrirenden“ Grenzen einer jeden
Sorte (die unteren sowol als die oberen) werden selbst mannigfach