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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Würde z. B. das obige Integral für ein zwischen a und b gelegenes c
"zerteilt" nach dem bekannten Schema:
[Formel 1] f (x) d x = [Formel 2] f (x) d x + [Formel 3] f (x) d x,
so hätten wir auf Grund der Voraussetzung a < c < b die das Integrations-
bereich statuirende Aussage linkerhand:
(a < x < b) = (a < x < c) + (c < x < b)
umgewandelt in die Alternative zur Rechten, mit Fug und Recht den Zwischen-
wert x = c auslassend, wogegen an sich, d. h. ohne Rücksicht auf jenen
Umstand, beim Ausmultipliziren von
(a < x) (x < b) {(x < c) + (x = c) + (c < x)}
zu obigen beiden äussersten Termen noch ein mittlerer Term hinzutreten
würde. Etc.

Der Ausfall der Gleichung aus b), oder die Geltung von x) bringt
uns weiter den Vorteil, dass wir jetzt eine Ungleichung a < b gerade-
zu als die Negation der andern a > b vom umgekehrten Ungleichheits-
zeichen hinstellen dürfen, in Formeln, dass uns
(a > b)1 = (a < b), (a < b)1 = (a > b)
zu gelten haben wird -- wie dies kraft Th. 30) aus x) in Verbindung
mit der mittleren Inkonsistenz g) in der That folgt. --.

Obwol wir hiernach mit Gleichungen als aussagenrechnerischen
Elementen überhaupt nicht mehr zu thun haben werden, sondern immer
nur mit Ungleichungen, so werden wir doch im Texte und etwaigen
Tafeln für die Integrationsgrenzen die Angabe dieser Grenzen nach wie
vor in Gleichungenform vollziehen und z. B. wie üblich sagen, dass die
Integrationsvariable x von x = a (als unterer) bis zu x = b (als oberer
Grenze) zu gehen habe.

Nach dieser Zwischenbemerkung fahren wir fort, die Gesetze der Un-
gleichung uns in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls in Erinnerung
zu bringen, nunmehr auch die beiden Spezies der zweiten Stufe be-
rücksichtigend.

Hier ist nur zweierlei anzuführen: Erstens, der als bekannt angenommene
Satz, dass im Gebiet der positiven Zahlen eine Ungleichung mit einer Zahl
beiderseits multiplizirt oder dividirt werden darf. Für die Multiplikation
spricht ihn die Formel aus
o) (a > b > 0) (c > 0) (a c > b c)
und für die Division die Formel
(a > b > 0) (c > 0) ( [Formel 4] > [Formel 5] )

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Würde z. B. das obige Integral für ein zwischen a und b gelegenes c
„zerteilt“ nach dem bekannten Schema:
[Formel 1] f (x) d x = [Formel 2] f (x) d x + [Formel 3] f (x) d x,
so hätten wir auf Grund der Voraussetzung a < c < b die das Integrations-
bereich statuirende Aussage linkerhand:
(a < x < b) = (a < x < c) + (c < x < b)
umgewandelt in die Alternative zur Rechten, mit Fug und Recht den Zwischen-
wert x = c auslassend, wogegen an sich, d. h. ohne Rücksicht auf jenen
Umstand, beim Ausmultipliziren von
(a < x) (x < b) {(x < c) + (x = c) + (c < x)}
zu obigen beiden äussersten Termen noch ein mittlerer Term hinzutreten
würde. Etc.

Der Ausfall der Gleichung aus β), oder die Geltung von ξ) bringt
uns weiter den Vorteil, dass wir jetzt eine Ungleichung a < b gerade-
zu als die Negation der andern a > b vom umgekehrten Ungleichheits-
zeichen hinstellen dürfen, in Formeln, dass uns
(a > b)1 = (a < b), (a < b)1 = (a > b)
zu gelten haben wird — wie dies kraft Th. 3̅0̅) aus ξ) in Verbindung
mit der mittleren Inkonsistenz γ) in der That folgt. —.

Obwol wir hiernach mit Gleichungen als aussagenrechnerischen
Elementen überhaupt nicht mehr zu thun haben werden, sondern immer
nur mit Ungleichungen, so werden wir doch im Texte und etwaigen
Tafeln für die Integrationsgrenzen die Angabe dieser Grenzen nach wie
vor in Gleichungenform vollziehen und z. B. wie üblich sagen, dass die
Integrationsvariable x von x = a (als unterer) bis zu x = b (als oberer
Grenze) zu gehen habe.

Nach dieser Zwischenbemerkung fahren wir fort, die Gesetze der Un-
gleichung uns in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls in Erinnerung
zu bringen, nunmehr auch die beiden Spezies der zweiten Stufe be-
rücksichtigend.

Hier ist nur zweierlei anzuführen: Erstens, der als bekannt angenommene
Satz, dass im Gebiet der positiven Zahlen eine Ungleichung mit einer Zahl
beiderseits multiplizirt oder dividirt werden darf. Für die Multiplikation
spricht ihn die Formel aus
ο) (a > b > 0) (c > 0) (a c > b c)
und für die Division die Formel
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[523/0167] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. Würde z. B. das obige Integral für ein zwischen a und b gelegenes c „zerteilt“ nach dem bekannten Schema: [FORMEL] f (x) d x = [FORMEL] f (x) d x + [FORMEL] f (x) d x, so hätten wir auf Grund der Voraussetzung a < c < b die das Integrations- bereich statuirende Aussage linkerhand: (a < x < b) = (a < x < c) + (c < x < b) umgewandelt in die Alternative zur Rechten, mit Fug und Recht den Zwischen- wert x = c auslassend, wogegen an sich, d. h. ohne Rücksicht auf jenen Umstand, beim Ausmultipliziren von (a < x) (x < b) {(x < c) + (x = c) + (c < x)} zu obigen beiden äussersten Termen noch ein mittlerer Term hinzutreten würde. Etc. Der Ausfall der Gleichung aus β), oder die Geltung von ξ) bringt uns weiter den Vorteil, dass wir jetzt eine Ungleichung a < b gerade- zu als die Negation der andern a > b vom umgekehrten Ungleichheits- zeichen hinstellen dürfen, in Formeln, dass uns (a > b)1 = (a < b), (a < b)1 = (a > b) zu gelten haben wird — wie dies kraft Th. 3̅0̅) aus ξ) in Verbindung mit der mittleren Inkonsistenz γ) in der That folgt. —. Obwol wir hiernach mit Gleichungen als aussagenrechnerischen Elementen überhaupt nicht mehr zu thun haben werden, sondern immer nur mit Ungleichungen, so werden wir doch im Texte und etwaigen Tafeln für die Integrationsgrenzen die Angabe dieser Grenzen nach wie vor in Gleichungenform vollziehen und z. B. wie üblich sagen, dass die Integrationsvariable x von x = a (als unterer) bis zu x = b (als oberer Grenze) zu gehen habe. Nach dieser Zwischenbemerkung fahren wir fort, die Gesetze der Un- gleichung uns in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls in Erinnerung zu bringen, nunmehr auch die beiden Spezies der zweiten Stufe be- rücksichtigend. Hier ist nur zweierlei anzuführen: Erstens, der als bekannt angenommene Satz, dass im Gebiet der positiven Zahlen eine Ungleichung mit einer Zahl beiderseits multiplizirt oder dividirt werden darf. Für die Multiplikation spricht ihn die Formel aus ο) (a > b > 0) (c > 0) (a c > b c) und für die Division die Formel (a > b > 0) (c > 0) ([FORMEL] > [FORMEL])

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 523. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/167>, abgerufen am 08.05.2024.