Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Auf Grund der Definition n) und der schon bekannten Sätze über
Gleichungen (zwischen Zahlen) hält es nicht schwer, die vorstehend
und noch weiterhin aufgestellten Sätze über Ungleichungen, unter
Zuzug der Gleichheit als einer in ihre Voraussetzungen aufzunehmenden
Alternative, umzuschreiben in die wahren Analoga der auf die Sub-
sumtion bezüglichen Sätze.

Für unsern hier vorliegenden Zweck jedoch können wir dies
unterlassen auf Grund eines glücklichen Umstandes, welcher von Herrn
McColl, soviel ich zu entdecken vermag, nicht hervorgehoben wurde,
nämlich, dass es bei jedem (ein- oder mehrfachen) Integrale bekannt-
lich gleichgültig ist, ob man die Grenzen des Hauptintervalles resp. die
Umgrenzung des Integrationsbereiches in dieses mit einrechnet oder
nicht. Mag man z. B. beim einfachen Integrale:
[Formel 1] das Integrationsintervall durch den Ansatz:
a < x < b
oder mag man es durch den Ansatz
a x b
definiren, so wird der Wert des Integrales immer der nämliche sein
müssen. Die Fortlassung eines unendlich kleinen Elementes f (x) d x
aus der Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Gliedern, als
welche das Integral bekanntlich erklärt wird, ist allemal ohne Belang,
ohne Einfluss auf den Grenzwert dieser Summe -- und gilt dies sogar,
wenn f (x) in einer der Grenzen, z. B. bei b absolut infinity sein sollte,
weil in diesem Falle das Integral, wofern es überhaupt existirt, (kon-
vergirt, eines Sinnes fähig ist,) bekanntlich nur definirt werden kann
als der Grenzwert eines von a bis unendlich nahe an diese Grenze b
hin und mit Ausschluss derselben genommenen Integrales.

Sonach dürfen wir -- und dies wird sich zur Vereinfachung der
Betrachtungen empfehlen -- die Integrationsgrenzen immer exclusive
(als nicht zum Integrationsbereich selbst gehörige) rechnen.

Die Wirkung dieses Verfahrens ist ganz dieselbe, als ob in der
fundamentalen Aussagengleichheit b) der mittlere Term, die Gleichung
(a = b) fehlte, jene vielmehr nur so lautete:
x) 1 = (a > b) + (a < b)
wonach statt drei Möglichkeiten bei jeder Zahlenvergleichung immer
nur zweie zu diskutiren sein werden.

Auf Grund der Definition ν) und der schon bekannten Sätze über
Gleichungen (zwischen Zahlen) hält es nicht schwer, die vorstehend
und noch weiterhin aufgestellten Sätze über Ungleichungen, unter
Zuzug der Gleichheit als einer in ihre Voraussetzungen aufzunehmenden
Alternative, umzuschreiben in die wahren Analoga der auf die Sub-
sumtion bezüglichen Sätze.

Für unsern hier vorliegenden Zweck jedoch können wir dies
unterlassen auf Grund eines glücklichen Umstandes, welcher von Herrn
McColl, soviel ich zu entdecken vermag, nicht hervorgehoben wurde,
nämlich, dass es bei jedem (ein- oder mehrfachen) Integrale bekannt-
lich gleichgültig ist, ob man die Grenzen des Hauptintervalles resp. die
Umgrenzung des Integrationsbereiches in dieses mit einrechnet oder
nicht. Mag man z. B. beim einfachen Integrale:
[Formel 1] das Integrationsintervall durch den Ansatz:
a < x < b
oder mag man es durch den Ansatz
a x ≦ b
definiren, so wird der Wert des Integrales immer der nämliche sein
müssen. Die Fortlassung eines unendlich kleinen Elementes f (x) d x
aus der Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Gliedern, als
welche das Integral bekanntlich erklärt wird, ist allemal ohne Belang,
ohne Einfluss auf den Grenzwert dieser Summe — und gilt dies sogar,
wenn f (x) in einer der Grenzen, z. B. bei b absolut ∞ sein sollte,
weil in diesem Falle das Integral, wofern es überhaupt existirt, (kon-
vergirt, eines Sinnes fähig ist,) bekanntlich nur definirt werden kann
als der Grenzwert eines von a bis unendlich nahe an diese Grenze b
hin und mit Ausschluss derselben genommenen Integrales.

Sonach dürfen wir — und dies wird sich zur Vereinfachung der
Betrachtungen empfehlen — die Integrationsgrenzen immer exclusive
(als nicht zum Integrationsbereich selbst gehörige) rechnen.

Die Wirkung dieses Verfahrens ist ganz dieselbe, als ob in der
fundamentalen Aussagengleichheit β) der mittlere Term, die Gleichung
(a = b) fehlte, jene vielmehr nur so lautete:
ξ) 1̇ = (a > b) + (a < b)
wonach statt drei Möglichkeiten bei jeder Zahlenvergleichung immer
nur zweie zu diskutiren sein werden.