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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Formeln zu beweisen bleibt. Ihr Beweis ergibt sich durch zweimalige An-
wendung von z) und Th. 6x), wonach
(a > b) (c > d) (a > b) (a + c > b + c)
" (c > d) (b + c > b + d)
und folglich nach Def. (3x) und e):
(a > b) (c > d) (a + c > b + c) (b + c > b + d) (a + c > b + d)
sein wird, q. e. d.
"Gleichstimmige" Ungleichungen können hienach unmittelbar zu einer solchen
vom selben Ungleichheitszeichen durch überschiebendes Addiren verbunden
werden. Und zwei "ungleichstimmige" Ungleichungen liefern durch über-
schiebendes Subtrahiren eine Ungleichung vom Ungleichheitszeichen des
Minuenden; es ist m. a. W. hiebei -- gleichwie auch in d) beim (über-
schiebenden) Subtrahiren einer Ungleichung von einer Gleichung -- jeweils
das Ungleichheitszeichen der Subtrahenden-Ungleichung umzukehren.

Die Ausdehnung der auf additive Verknüpfung bezüglichen Sätze von
zweien auf beliebig viele Operationsglieder ist naheliegend.

Mit vorstehendem aber sind die Schlüsse erledigt, die mit Bezug auf
die Operationen der beiden ersten Spezies an Ungleichungen zu knüpfen sind.

Die Analogie derselben mit auf Subsumtionen bezüglichen Sätzen
war im Bisherigen schon unverkennbar und wurde auch gelegentlich
hervorgehoben. Noch genauer findet das analoge Entsprechen aber
statt zwischen diesen auf die Ungleichung a < b bezüglichen Sätzen,
und jenen, welche wir für die Beziehung der eigentlichen Unter-
ordnung a b in 20 des § 46 Seite 315 f. zusammengestellt haben.
Während andrerseits die auf Subsumtionen a b bezüglichen Sätze ihr
engstanschliessendes Analogon (closest analogy) erst finden würden in
denen, welche die Alternativaussage a b betreffen, die als "a ist
kleiner oder gleich b" zu lesen ist und in der Zeichensprache des
Aussagenkalkuls ihre Definition findet durch den Ansatz:
n) (a b) = (a < b) + (a = b) = (a = b) + (a < b) = (a b)
mittelst dessen man, nach a) und Th. 1) Zusatz: (a = b) = (b = a),
auch leicht ableiten wird:
(a b) = (a > b) + (a = b) = (a = b) + (a > b) = (a b)
und
(a b) = (b a).

Zu meiner Genugthuung habe ich wahrgenommen, dass die von Miller
herausgegebenen Mathematical Questions zuweilen schon a [ - 1 Zeichen fehlt] b statt der
uneleganten Schreibung a b, oder a b, drucken, mithin dasselbe Prinzip
für die rationelle Zusammensetzung der Beziehungszeichen neuerdings zu
verwirklichen beginnen, welches ich 1) 1873 beim Subsumtionszeichen
angewendet und in § 34 sq. bei allen Umfangsbeziehungen durchzuführen
mich bestrebt habe.

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Formeln zu beweisen bleibt. Ihr Beweis ergibt sich durch zweimalige An-
wendung von ζ) und Th. 6̅×), wonach
(a > b) (c > d) (a > b) (a + c > b + c)
„ (c > d) (b + c > b + d)
und folglich nach Def. (3̅×) und ε):
(a > b) (c > d) (a + c > b + c) (b + c > b + d) (a + c > b + d)
sein wird, q. e. d.
„Gleichstimmige“ Ungleichungen können hienach unmittelbar zu einer solchen
vom selben Ungleichheitszeichen durch überschiebendes Addiren verbunden
werden. Und zwei „ungleichstimmige“ Ungleichungen liefern durch über-
schiebendes Subtrahiren eine Ungleichung vom Ungleichheitszeichen des
Minuenden; es ist m. a. W. hiebei — gleichwie auch in ð) beim (über-
schiebenden) Subtrahiren einer Ungleichung von einer Gleichung — jeweils
das Ungleichheitszeichen der Subtrahenden-Ungleichung umzukehren.

Die Ausdehnung der auf additive Verknüpfung bezüglichen Sätze von
zweien auf beliebig viele Operationsglieder ist naheliegend.

Mit vorstehendem aber sind die Schlüsse erledigt, die mit Bezug auf
die Operationen der beiden ersten Spezies an Ungleichungen zu knüpfen sind.

Die Analogie derselben mit auf Subsumtionen bezüglichen Sätzen
war im Bisherigen schon unverkennbar und wurde auch gelegentlich
hervorgehoben. Noch genauer findet das analoge Entsprechen aber
statt zwischen diesen auf die Ungleichung a < b bezüglichen Sätzen,
und jenen, welche wir für die Beziehung der eigentlichen Unter-
ordnung a ⊂ b in 20 des § 46 Seite 315 f. zusammengestellt haben.
Während andrerseits die auf Subsumtionen a b bezüglichen Sätze ihr
engstanschliessendes Analogon (closest analogy) erst finden würden in
denen, welche die Alternativaussage a ≦ b betreffen, die als „a ist
kleiner oder gleich b“ zu lesen ist und in der Zeichensprache des
Aussagenkalkuls ihre Definition findet durch den Ansatz:
ν) (a ≦ b) = (a < b) + (a = b) = (a = b) + (a < b) = (a b)
mittelst dessen man, nach α) und Th. 1) Zusatz: (a = b) = (b = a),
auch leicht ableiten wird:
(a ≧ b) = (a > b) + (a = b) = (a = b) + (a > b) = (a b)
und
(a ≦ b) = (b ≧ a).

Zu meiner Genugthuung habe ich wahrgenommen, dass die von Miller
herausgegebenen Mathematical Questions zuweilen schon a [ – 1 Zeichen fehlt] b statt der
uneleganten Schreibung a ≦ b, oder a b, drucken, mithin dasselbe Prinzip
für die rationelle Zusammensetzung der Beziehungszeichen neuerdings zu
verwirklichen beginnen, welches ich 1) 1873 beim Subsumtionszeichen
angewendet und in § 34 sq. bei allen Umfangsbeziehungen durchzuführen
mich bestrebt habe.

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[521/0165] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. Formeln zu beweisen bleibt. Ihr Beweis ergibt sich durch zweimalige An- wendung von ζ) und Th. 6̅×), wonach (a > b) (c > d) (a > b) (a + c > b + c) „ (c > d) (b + c > b + d) und folglich nach Def. (3̅×) und ε): (a > b) (c > d) (a + c > b + c) (b + c > b + d) (a + c > b + d) sein wird, q. e. d. „Gleichstimmige“ Ungleichungen können hienach unmittelbar zu einer solchen vom selben Ungleichheitszeichen durch überschiebendes Addiren verbunden werden. Und zwei „ungleichstimmige“ Ungleichungen liefern durch über- schiebendes Subtrahiren eine Ungleichung vom Ungleichheitszeichen des Minuenden; es ist m. a. W. hiebei — gleichwie auch in ð) beim (über- schiebenden) Subtrahiren einer Ungleichung von einer Gleichung — jeweils das Ungleichheitszeichen der Subtrahenden-Ungleichung umzukehren. Die Ausdehnung der auf additive Verknüpfung bezüglichen Sätze von zweien auf beliebig viele Operationsglieder ist naheliegend. Mit vorstehendem aber sind die Schlüsse erledigt, die mit Bezug auf die Operationen der beiden ersten Spezies an Ungleichungen zu knüpfen sind. Die Analogie derselben mit auf Subsumtionen bezüglichen Sätzen war im Bisherigen schon unverkennbar und wurde auch gelegentlich hervorgehoben. Noch genauer findet das analoge Entsprechen aber statt zwischen diesen auf die Ungleichung a < b bezüglichen Sätzen, und jenen, welche wir für die Beziehung der eigentlichen Unter- ordnung a ⊂ b in 20 des § 46 Seite 315 f. zusammengestellt haben. Während andrerseits die auf Subsumtionen a b bezüglichen Sätze ihr engstanschliessendes Analogon (closest analogy) erst finden würden in denen, welche die Alternativaussage a ≦ b betreffen, die als „a ist kleiner oder gleich b“ zu lesen ist und in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls ihre Definition findet durch den Ansatz: ν) (a ≦ b) = (a < b) + (a = b) = (a = b) + (a < b) = (a b) mittelst dessen man, nach α) und Th. 1) Zusatz: (a = b) = (b = a), auch leicht ableiten wird: (a ≧ b) = (a > b) + (a = b) = (a = b) + (a > b) = (a b) und (a ≦ b) = (b ≧ a). Zu meiner Genugthuung habe ich wahrgenommen, dass die von Miller herausgegebenen Mathematical Questions zuweilen schon a _ b statt der uneleganten Schreibung a ≦ b, oder a b, drucken, mithin dasselbe Prinzip für die rationelle Zusammensetzung der Beziehungszeichen neuerdings zu verwirklichen beginnen, welches ich 1) 1873 beim Subsumtionszeichen angewendet und in § 34 sq. bei allen Umfangsbeziehungen durchzuführen mich bestrebt habe.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 521. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/165>, abgerufen am 22.12.2024.

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