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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 7.
d. h. nachdem die Gleichung z) für positive c erwiesen ist, so muss sie
auch für negative, somit überhaupt im reellen Zahlengebiet gelten.

Insbesondere ergibt sich für c = b die Regel:
e) (a > b) = (a -- b > 0),
nach welcher jede Ungleichung auf der einen Seite auf Null gebracht werden
kann.

Für c = a + b hätte sich ergeben:
th) (a > b) = (-- b > -- a) = (-- a < -- b)
wonach es gestattet ist, beide Seiten einer Ungleichung mit -- 1 zu multi-
pliziren, wofern man nur zugleich das Ungleichheitszeichen umkehrt. Ins-
besondre ist auch:
(a > 0) = (-- a < 0), (a < 0) = (-- a > 0).

Als nahliegende Anwendungen von e) haben wir überhaupt:
(a > b + c) = (a -- b > c), (a + c > b) = (a > b -- c)
woraus man ersieht, dass es bei Ungleichungen geradeso wie bei Zahlen-
gleichungen gestattet ist, Aggregatglieder (Summanden oder Subtrahenden)
der einen Seite mit entgegengesetztem Zeichen auf die andre Seite des
Vergleichungszeichens zu schaffen, zu "transponiren."

Formell noch etwas allgemeiner als z) sind die Sätze:
i) (a > b) (c = d) (a + c > b + d), (a > b) (c = d) (a -- c > b -- d)
welche -- analog zu den Theoremen 18) des identischen Kalkuls -- die
Erlaubniss aussprechen, eine Gleichung mit einer Ungleichung durch Addition
oder Subtraktion überschiebend zu verknüpfen, wo im letzteren Falle aber
die Gleichung passives Operationsglied sein muss. Mit Rücksicht auf
(c = d) = (-- c = -- d) und a + (-- c) = a -- c
geht der zweite Satz i) auch in den ersten über; und dieser wird seiner-
seits aus z) mit Rücksicht auf (c = d) = (b + c = b + d) gemäss d) leicht
bewiesen.

Auf welche Weise die Ungleichung als passives Operationsglied sub-
traktiv mit der Gleichung zu verknüpfen sei, zeigen die Sätze:
k) (a = b) (c > d) (a -- c < b -- d), (a = b) (c < d) (a -- c > b -- d),
welche mittelst a) auf einander und mittelst th) auf i) leicht zurück-
zuführen sind.

Endlich sind noch bezüglich der Verknüpfung von Ungleichungen
miteinander durch überschiebendes Addiren oder Subtrahiren die Sätze an-
zuführen:
l) (a > b) (c > d) (a + c > b + d), (a < b) (c < d) (a + c < b + d),
m) (a > b) (c < d) (a -- c > b -- d), (a < b) (c > d) (a -- c < b -- d)
deren eine (rechtseitige) Hälfte aus der andern hervorgeht, indem man
durchweg die Ungleichheitszeichen umkehrt, mithin auf sie gemäss a) mittelst
Buchstabenvertauschung zurückkommt; wogegen die zweite Zeile mittelst th)
auf die erste zurückzuführen ist, sodass nur mehr die erste von diesen vier

Anhang 7.
d. h. nachdem die Gleichung ζ) für positive c erwiesen ist, so muss sie
auch für negative, somit überhaupt im reellen Zahlengebiet gelten.

Insbesondere ergibt sich für c = b die Regel:
η) (a > b) = (a — b > 0),
nach welcher jede Ungleichung auf der einen Seite auf Null gebracht werden
kann.

Für c = a + b hätte sich ergeben:
ϑ) (a > b) = (— b > — a) = (— a < — b)
wonach es gestattet ist, beide Seiten einer Ungleichung mit — 1 zu multi-
pliziren, wofern man nur zugleich das Ungleichheitszeichen umkehrt. Ins-
besondre ist auch:
(a > 0) = (— a < 0), (a < 0) = (— a > 0).

Als nahliegende Anwendungen von η) haben wir überhaupt:
(a > b + c) = (a — b > c), (a + c > b) = (a > b — c)
woraus man ersieht, dass es bei Ungleichungen geradeso wie bei Zahlen-
gleichungen gestattet ist, Aggregatglieder (Summanden oder Subtrahenden)
der einen Seite mit entgegengesetztem Zeichen auf die andre Seite des
Vergleichungszeichens zu schaffen, zu „transponiren.“

Formell noch etwas allgemeiner als ζ) sind die Sätze:
ι) (a > b) (c = d) (a + c > b + d), (a > b) (c = d) (a — c > b — d)
welche — analog zu den Theoremen 18) des identischen Kalkuls — die
Erlaubniss aussprechen, eine Gleichung mit einer Ungleichung durch Addition
oder Subtraktion überschiebend zu verknüpfen, wo im letzteren Falle aber
die Gleichung passives Operationsglied sein muss. Mit Rücksicht auf
(c = d) = (— c = — d) und a + (— c) = a — c
geht der zweite Satz ι) auch in den ersten über; und dieser wird seiner-
seits aus ζ) mit Rücksicht auf (c = d) = (b + c = b + d) gemäss δ) leicht
bewiesen.

Auf welche Weise die Ungleichung als passives Operationsglied sub-
traktiv mit der Gleichung zu verknüpfen sei, zeigen die Sätze:
ϰ) (a = b) (c > d) (a — c < b — d), (a = b) (c < d) (a — c > b — d),
welche mittelst α) auf einander und mittelst ϑ) auf ι) leicht zurück-
zuführen sind.

Endlich sind noch bezüglich der Verknüpfung von Ungleichungen
miteinander durch überschiebendes Addiren oder Subtrahiren die Sätze an-
zuführen:
λ) (a > b) (c > d) (a + c > b + d), (a < b) (c < d) (a + c < b + d),
μ) (a > b) (c < d) (a — c > b — d), (a < b) (c > d) (a — c < b — d)
deren eine (rechtseitige) Hälfte aus der andern hervorgeht, indem man
durchweg die Ungleichheitszeichen umkehrt, mithin auf sie gemäss α) mittelst
Buchstabenvertauschung zurückkommt; wogegen die zweite Zeile mittelst ϑ)
auf die erste zurückzuführen ist, sodass nur mehr die erste von diesen vier

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[520/0164] Anhang 7. d. h. nachdem die Gleichung ζ) für positive c erwiesen ist, so muss sie auch für negative, somit überhaupt im reellen Zahlengebiet gelten. Insbesondere ergibt sich für c = b die Regel: η) (a > b) = (a — b > 0), nach welcher jede Ungleichung auf der einen Seite auf Null gebracht werden kann. Für c = a + b hätte sich ergeben: ϑ) (a > b) = (— b > — a) = (— a < — b) wonach es gestattet ist, beide Seiten einer Ungleichung mit — 1 zu multi- pliziren, wofern man nur zugleich das Ungleichheitszeichen umkehrt. Ins- besondre ist auch: (a > 0) = (— a < 0), (a < 0) = (— a > 0). Als nahliegende Anwendungen von η) haben wir überhaupt: (a > b + c) = (a — b > c), (a + c > b) = (a > b — c) woraus man ersieht, dass es bei Ungleichungen geradeso wie bei Zahlen- gleichungen gestattet ist, Aggregatglieder (Summanden oder Subtrahenden) der einen Seite mit entgegengesetztem Zeichen auf die andre Seite des Vergleichungszeichens zu schaffen, zu „transponiren.“ Formell noch etwas allgemeiner als ζ) sind die Sätze: ι) (a > b) (c = d) (a + c > b + d), (a > b) (c = d) (a — c > b — d) welche — analog zu den Theoremen 18) des identischen Kalkuls — die Erlaubniss aussprechen, eine Gleichung mit einer Ungleichung durch Addition oder Subtraktion überschiebend zu verknüpfen, wo im letzteren Falle aber die Gleichung passives Operationsglied sein muss. Mit Rücksicht auf (c = d) = (— c = — d) und a + (— c) = a — c geht der zweite Satz ι) auch in den ersten über; und dieser wird seiner- seits aus ζ) mit Rücksicht auf (c = d) = (b + c = b + d) gemäss δ) leicht bewiesen. Auf welche Weise die Ungleichung als passives Operationsglied sub- traktiv mit der Gleichung zu verknüpfen sei, zeigen die Sätze: ϰ) (a = b) (c > d) (a — c < b — d), (a = b) (c < d) (a — c > b — d), welche mittelst α) auf einander und mittelst ϑ) auf ι) leicht zurück- zuführen sind. Endlich sind noch bezüglich der Verknüpfung von Ungleichungen miteinander durch überschiebendes Addiren oder Subtrahiren die Sätze an- zuführen: λ) (a > b) (c > d) (a + c > b + d), (a < b) (c < d) (a + c < b + d), μ) (a > b) (c < d) (a — c > b — d), (a < b) (c > d) (a — c < b — d) deren eine (rechtseitige) Hälfte aus der andern hervorgeht, indem man durchweg die Ungleichheitszeichen umkehrt, mithin auf sie gemäss α) mittelst Buchstabenvertauschung zurückkommt; wogegen die zweite Zeile mittelst ϑ) auf die erste zurückzuführen ist, sodass nur mehr die erste von diesen vier

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 520. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/164>, abgerufen am 08.05.2024.