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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

bekanntlich auch für die Zahlengleichheit. Und dazu treten die folgenden
Analoga unsrer Theoreme 2), 3) und des Prinzips II:
d) (a > b) (b = c) (a > c), (a = b) (b > c) (a > c)
e) (a > b) (b > c) (a > c)
nach denen es gestattet ist, in einer Ungleichung Gleiches durch Gleiches,
und den Numerus major durch einen major desselben, den Numerus minor
ebenso durch einen minor des letzteren zu ersetzen.

Bekanntlich ist ferner:
(a > b) (a + c > b + c).

Von diesem Analogon des Th. 15+) ausgehend wollen wir dasselbe zu-
nächst erweitern. Um rechnerisch zu zeigen, dass die Subsumtion auch
rückwärts gelten muss, bemerken wir, dass durch Rückwärtslesen der Un-
gleichungen nach a) und Vertauschung von a mit b auch entsteht:
(a < b) (a + c < b + c)
und dass bekanntlich zudem:
(a = b) (a + c = b + c).
Nach Th. 20x) können diese beiden Subsumtionen auch als die Gleichungen
geschrieben werden:
(a = b) = (a = b) (a + c = b + c), (a < b) = (a < b) (a + c b + c) = (a + c > b + c) {(a > b) + (a = b) + (a < b)}
nach b), und multiplizirt man aus, indem man für die beiden letzten
Gliederaussagen ihre vorhergehenden Werte nimmt, so erkennt man mit Rück-
sicht auf g), dass die beiden letzten Teilprodukte verschwinden und nur das
erste stehen bleibt, d. h. dass: (a + c > b + c) = (a + c > b + c) (a > b),
oder nach Th. 20x):
(a + c > b + c) (a > b).
Diese Subsumtion zieht sich nun mit der obigen nach Def. (1) zusammen
zu der Gleichung:
z) (a > b) = (a + c > b + c).

[Im Grunde wurde der Beweis der Umkehrbarkeit jener erstern Sub-
sumtion, wie man sieht, in der bekannten Weise indirekt geleistet, indem
wir zeigten, dass aus a = b sowie a b + c folgen würde: a + c = b + c resp. a + c b als einzig möglicher übrig bleibt. Mit Ab-
sicht haben wir dieses Räsonnement aber in der aussagenrechnerischen
Fassung gegeben -- nicht, weil die letztere unbedingt den Vorzug verdiente,
sondern damit ersichtlich wird, wie die verbale Überlegung doch lediglich
die Gesetze des Aussagenkalkuls zur Richtschnur hat.]

Sagt man in z) a -- c für a und b -- c für b und liest die Gleichung
rückwärts, so hat man auch:
(a > b) = (a -- c > b -- c),

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

bekanntlich auch für die Zahlengleichheit. Und dazu treten die folgenden
Analoga unsrer Theoreme 2), 3) und des Prinzips II:
δ) (a > b) (b = c) (a > c), (a = b) (b > c) (a > c)
ε) (a > b) (b > c) (a > c)
nach denen es gestattet ist, in einer Ungleichung Gleiches durch Gleiches,
und den Numerus major durch einen major desselben, den Numerus minor
ebenso durch einen minor des letzteren zu ersetzen.

Bekanntlich ist ferner:
(a > b) (a + c > b + c).

Von diesem Analogon des Th. 15+) ausgehend wollen wir dasselbe zu-
nächst erweitern. Um rechnerisch zu zeigen, dass die Subsumtion auch
rückwärts gelten muss, bemerken wir, dass durch Rückwärtslesen der Un-
gleichungen nach α) und Vertauschung von a mit b auch entsteht:
(a < b) (a + c < b + c)
und dass bekanntlich zudem:
(a = b) (a + c = b + c).
Nach Th. 20×) können diese beiden Subsumtionen auch als die Gleichungen
geschrieben werden:
(a = b) = (a = b) (a + c = b + c), (a < b) = (a < b) (a + c b + c) = (a + c > b + c) {(a > b) + (a = b) + (a < b)}
nach β), und multiplizirt man aus, indem man für die beiden letzten
Gliederaussagen ihre vorhergehenden Werte nimmt, so erkennt man mit Rück-
sicht auf γ), dass die beiden letzten Teilprodukte verschwinden und nur das
erste stehen bleibt, d. h. dass: (a + c > b + c) = (a + c > b + c) (a > b),
oder nach Th. 20×):
(a + c > b + c) (a > b).
Diese Subsumtion zieht sich nun mit der obigen nach Def. (1) zusammen
zu der Gleichung:
ζ) (a > b) = (a + c > b + c).

[Im Grunde wurde der Beweis der Umkehrbarkeit jener erstern Sub-
sumtion, wie man sieht, in der bekannten Weise indirekt geleistet, indem
wir zeigten, dass aus a = b sowie a b + c folgen würde: a + c = b + c resp. a + c b als einzig möglicher übrig bleibt. Mit Ab-
sicht haben wir dieses Räsonnement aber in der aussagenrechnerischen
Fassung gegeben — nicht, weil die letztere unbedingt den Vorzug verdiente,
sondern damit ersichtlich wird, wie die verbale Überlegung doch lediglich
die Gesetze des Aussagenkalkuls zur Richtschnur hat.]

Sagt man in ζ) a — c für a und b — c für b und liest die Gleichung
rückwärts, so hat man auch:
(a > b) = (a — c > b — c),

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[519/0163] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. bekanntlich auch für die Zahlengleichheit. Und dazu treten die folgenden Analoga unsrer Theoreme 2), 3) und des Prinzips II: δ) (a > b) (b = c) (a > c), (a = b) (b > c) (a > c) ε) (a > b) (b > c) (a > c) nach denen es gestattet ist, in einer Ungleichung Gleiches durch Gleiches, und den Numerus major durch einen major desselben, den Numerus minor ebenso durch einen minor des letzteren zu ersetzen. Bekanntlich ist ferner: (a > b) (a + c > b + c). Von diesem Analogon des Th. 15+) ausgehend wollen wir dasselbe zu- nächst erweitern. Um rechnerisch zu zeigen, dass die Subsumtion auch rückwärts gelten muss, bemerken wir, dass durch Rückwärtslesen der Un- gleichungen nach α) und Vertauschung von a mit b auch entsteht: (a < b) (a + c < b + c) und dass bekanntlich zudem: (a = b) (a + c = b + c). Nach Th. 20×) können diese beiden Subsumtionen auch als die Gleichungen geschrieben werden: (a = b) = (a = b) (a + c = b + c), (a < b) = (a < b) (a + c b + c) = (a + c > b + c) {(a > b) + (a = b) + (a < b)} nach β), und multiplizirt man aus, indem man für die beiden letzten Gliederaussagen ihre vorhergehenden Werte nimmt, so erkennt man mit Rück- sicht auf γ), dass die beiden letzten Teilprodukte verschwinden und nur das erste stehen bleibt, d. h. dass: (a + c > b + c) = (a + c > b + c) (a > b), oder nach Th. 20×): (a + c > b + c) (a > b). Diese Subsumtion zieht sich nun mit der obigen nach Def. (1) zusammen zu der Gleichung: ζ) (a > b) = (a + c > b + c). [Im Grunde wurde der Beweis der Umkehrbarkeit jener erstern Sub- sumtion, wie man sieht, in der bekannten Weise indirekt geleistet, indem wir zeigten, dass aus a = b sowie a b + c folgen würde: a + c = b + c resp. a + c b als einzig möglicher übrig bleibt. Mit Ab- sicht haben wir dieses Räsonnement aber in der aussagenrechnerischen Fassung gegeben — nicht, weil die letztere unbedingt den Vorzug verdiente, sondern damit ersichtlich wird, wie die verbale Überlegung doch lediglich die Gesetze des Aussagenkalkuls zur Richtschnur hat.] Sagt man in ζ) a — c für a und b — c für b und liest die Gleichung rückwärts, so hat man auch: (a > b) = (a — c > b — c),

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 519. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/163>, abgerufen am 08.05.2024.

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