Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Die ganze Aufgabe spitzt sich also dahin zu: aus der ersten, gegebenen
Form der Aussage A die zweite Form derselben abzuleiten, jene Aussage
in diese zu transformiren. Und beide Aussagen werden äquivalent sein
müssen auf Grund nicht nur der Gesetze des Aussagenkalkuls, sondern auch
der Regeln der Arithmetik, welche das Schliessen und Denken mit Un-
gleichungen sowie das Rechnen mit Zahlen beherrschen.

Wir beginnen damit, die elementaren Regeln der Denkoperationen
mit Ungleichungen in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls über-
sichtlich darzustellen.

Von den drei Beziehungszeichen der Zahlenvergleichung:
> , = , <
können die beiden äusseren nur zwischen reellen Zahlen angewendet werden.
Speziell hat man:
(a > b) (a ist reell) (b ist reelle Zahl).

Von vornherein werden wir uns darum mit unsern Betrachtungen auf
das Gebiet der reellen Zahlen beschränken; zu diesen gehört die (arith-
metische) Null, nicht aber das Symbol infinity der absoluten Unendlich, indessen
wohl "unendlich grosse" positive oder negative Zahlen, die wir als
Integrationsgrenzen durch + infinity resp. -- infinity darstellen. Unter a, b, c,
d, .. x, y, ... denken wir uns hinfort stets Zahlen, welche diesem Gebiet
angehören.

Wir haben sodann zunächst die als Definition hinzustellende Aussagen-
äquivalenz:
a) (a > b) = (b < a)
durch welche der Begriff "kleiner" auf den als bekannt vorauszusetzenden
Begriff "größer" zurückgeführt wird.

Weiter gilt die fundamentale Aussagengleichung:
b) 1 = (a > b) + (a = b) + (a < b)
in welcher, wie hier stets, die Eins mit dem Tupfen: 1 nicht die Zahl 1,
sondern die identische Eins des Aussagenkalkuls vorstellt. Das heisst also:
Zwischen zwei reellen Zahlen a und b findet immer eine der drei Beziehungen
rechterhand statt.

Und zwar sind die drei Glieder der Aussagenalternative rechterhand
gegenseitig disjunkt ("mutually exclusive" oder unverträglich, inkonsistent
miteinander), die Summe rechts ist eine reduzirte, wie dies die Formeln
aussprechen:
g) (a > b) (a = b) = 0, (a > b) (a < b) = 0, (a = b) (a < b) = 0.
Gleich, grösser und kleiner sein schliesst sich gegenseitig aus.

Als der Satz: "Wenn zwei Zahlen einer dritten gleich sind, so sind
sie auch unter sich gleich", gilt das Th. 4) des identischen Kalkuls:
(a = b) (b = c) (a = c)

Die ganze Aufgabe spitzt sich also dahin zu: aus der ersten, gegebenen
Form der Aussage A die zweite Form derselben abzuleiten, jene Aussage
in diese zu transformiren. Und beide Aussagen werden äquivalent sein
müssen auf Grund nicht nur der Gesetze des Aussagenkalkuls, sondern auch
der Regeln der Arithmetik, welche das Schliessen und Denken mit Un-
gleichungen sowie das Rechnen mit Zahlen beherrschen.

Wir beginnen damit, die elementaren Regeln der Denkoperationen
mit Ungleichungen in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls über-
sichtlich darzustellen.

Von den drei Beziehungszeichen der Zahlenvergleichung:
> , = , <
können die beiden äusseren nur zwischen reellen Zahlen angewendet werden.
Speziell hat man:
(a > b) (a ist reell) (b ist reelle Zahl).

Von vornherein werden wir uns darum mit unsern Betrachtungen auf
das Gebiet der reellen Zahlen beschränken; zu diesen gehört die (arith-
metische) Null, nicht aber das Symbol ∞ der absoluten Unendlich, indessen
wohl „unendlich grosse“ positive oder negative Zahlen, die wir als
Integrationsgrenzen durch + ∞ resp. — ∞ darstellen. Unter a, b, c,
d, ‥ x, y, … denken wir uns hinfort stets Zahlen, welche diesem Gebiet
angehören.

Wir haben sodann zunächst die als Definition hinzustellende Aussagen-
äquivalenz:
α) (a > b) = (b < a)
durch welche der Begriff „kleiner“ auf den als bekannt vorauszusetzenden
Begriff „größer“ zurückgeführt wird.

Weiter gilt die fundamentale Aussagengleichung:
β) 1̇ = (a > b) + (a = b) + (a < b)
in welcher, wie hier stets, die Eins mit dem Tupfen: 1̇ nicht die Zahl 1,
sondern die identische Eins des Aussagenkalkuls vorstellt. Das heisst also:
Zwischen zwei reellen Zahlen a und b findet immer eine der drei Beziehungen
rechterhand statt.

Und zwar sind die drei Glieder der Aussagenalternative rechterhand
gegenseitig disjunkt („mutually exclusive“ oder unverträglich, inkonsistent
miteinander), die Summe rechts ist eine reduzirte, wie dies die Formeln
aussprechen:
γ) (a > b) (a = b) = 0, (a > b) (a < b) = 0, (a = b) (a < b) = 0.
Gleich, grösser und kleiner sein schliesst sich gegenseitig aus.

Als der Satz: „Wenn zwei Zahlen einer dritten gleich sind, so sind
sie auch unter sich gleich“, gilt das Th. 4) des identischen Kalkuls:
(a = b) (b = c) (a = c)