Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Sechsundzwanzigste Vorlesung.
welches die Geltung von A = B verlangt, wie immer auch die sechs
Punkte a, b, c, a', b', c' als Ecken von zwei Dreiecken im Raum ge-
wählt werden mögen.

Nun erweist sich aber die Negation dieser vollständig angesetzten
Behauptung in allen ihren Formen als richtig, nämlich nach Satz 1) in
der Form
P (A = B) = 0,
wo das Produkt schon verschwindet, weil mindestens der auf Fig. 32
bezügliche Faktor (A = B) gleich 0 ist; oder gemäss 2), indem man
das Produkt links negirt:
S (A B) = 1
oder
S (A1 = B) = 1, S (A = B1) = 1,
nach Th. 22+), schon weil mindestens der auf Fig. 32 bezügliche Summand
(A B) etc. erfüllt, = 1 ist.

e) Ein interessantes Gegenstück zum vorigen bildet der folgende Ein-
wurf, dessen Grundgedanken von Frau Franklin herrührt.

Eine samt ihren beiden Umkehrungen eindeutige Knüpfung, welche
jeweils aus zwei in bestimmter Ordnung genommenen Elementen eines Zahlen-
gebietes ein drittes erzeugt, werde einfachst dargestellt als a b, und ihre eine
Umkehrung als a : b -- vergl. Schröder8.

Alsdann wird, wenn die Knüpfung etwa das Gesetz befolgt:
e1) a b = a : b,
dieselbe augenscheinlich auch dem Gesetz unterliegen:
e2) (a b) c = (a : b) : c,
das heisst: aus der ersten Gleichung, als allgemeine Formel aufgefasst, folgt
jedenfalls die zweite.

Es war die Frage, ob auch das umgekehrte der Fall ist, ob also beide
Gleichungen allgemein äquivalent sein müssen.

Der wirkliche (the real) Dr. Schröder -- meint Frau Franklin --
hat gezeigt, dass diese Frage zu verneinen ist, indem er in Bd. 1, S. 640
eine Funktionstafel nachwies mit einer Knüpfung, welche wol der zweiten
e2), nicht aber der ersten Formel e1) Genüge leistet.

Ein theoretischer (an imaginary) Dr. Schröder, -- der nämlich auf
dem Prinzip 3) nebst Konsequenzen 1) und 2) herumreitend gedacht wird, --
ist genötigt, die Verneinung der Frage von der Äquivalenz beider Formeln
auszudrücken durch
{(a b) c = (a : b) : c} = {a b a : b},
wonach die Geltung der (zweiten) Formel e2) links die notwendige und
hinreichende Bedingung dafür wäre, dass die erste e1) nicht gelte, also dass,
wo immer jene zutrifft, diese nicht gilt, und umgekehrt, -- in offenbarem
Widerspruch mit voraus bemerktem.

Sechsundzwanzigste Vorlesung.
welches die Geltung von A = B verlangt, wie immer auch die sechs
Punkte a, b, c, a', b', c' als Ecken von zwei Dreiecken im Raum ge-
wählt werden mögen.

Nun erweist sich aber die Negation dieser vollständig angesetzten
Behauptung in allen ihren Formen als richtig, nämlich nach Satz 1) in
der Form
Π (A = B) = 0,
wo das Produkt schon verschwindet, weil mindestens der auf Fig. 32
bezügliche Faktor (A = B) gleich 0 ist; oder gemäss 2), indem man
das Produkt links negirt:
Σ (A ≠ B) = 1̇
oder
Σ (A1 = B) = 1̇, Σ (A = B1) = 1̇,
nach Th. 22+), schon weil mindestens der auf Fig. 32 bezügliche Summand
(A ≠ B) etc. erfüllt, = 1̇ ist.

ε) Ein interessantes Gegenstück zum vorigen bildet der folgende Ein-
wurf, dessen Grundgedanken von Frau Franklin herrührt.

Eine samt ihren beiden Umkehrungen eindeutige Knüpfung, welche
jeweils aus zwei in bestimmter Ordnung genommenen Elementen eines Zahlen-
gebietes ein drittes erzeugt, werde einfachst dargestellt als a b, und ihre eine
Umkehrung als a : b — vergl. Schröder8.

Alsdann wird, wenn die Knüpfung etwa das Gesetz befolgt:
ε1) a b = a : b,
dieselbe augenscheinlich auch dem Gesetz unterliegen:
ε2) (a b) c = (a : b) : c,
das heisst: aus der ersten Gleichung, als allgemeine Formel aufgefasst, folgt
jedenfalls die zweite.

Es war die Frage, ob auch das umgekehrte der Fall ist, ob also beide
Gleichungen allgemein äquivalent sein müssen.

Der wirkliche (the real) Dr. Schröder — meint Frau Franklin —
hat gezeigt, dass diese Frage zu verneinen ist, indem er in Bd. 1, S. 640
eine Funktionstafel nachwies mit einer Knüpfung, welche wol der zweiten
ε2), nicht aber der ersten Formel ε1) Genüge leistet.

Ein theoretischer (an imaginary) Dr. Schröder, — der nämlich auf
dem Prinzip 3) nebst Konsequenzen 1) und 2) herumreitend gedacht wird, —
ist genötigt, die Verneinung der Frage von der Äquivalenz beider Formeln
auszudrücken durch
{(a b) c = (a : b) : c} = {a b ≠ a : b},
wonach die Geltung der (zweiten) Formel ε2) links die notwendige und
hinreichende Bedingung dafür wäre, dass die erste ε1) nicht gelte, also dass,
wo immer jene zutrifft, diese nicht gilt, und umgekehrt, — in offenbarem
Widerspruch mit voraus bemerktem.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0114" n="470"/><fw place="top" type="header">Sechsundzwanzigste Vorlesung.</fw><lb/>
welches die Geltung von <hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi> verlangt, wie immer auch die sechs<lb/>
Punkte <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">a</hi>', <hi rendition="#i">b</hi>', <hi rendition="#i">c</hi>' als Ecken von zwei Dreiecken im Raum ge-<lb/>
wählt werden mögen.</p><lb/>
            <p>Nun erweist sich aber die Negation dieser vollständig angesetzten<lb/>
Behauptung in allen ihren Formen als richtig, nämlich nach Satz 1) in<lb/>
der Form<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03A0;</hi> (<hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi>) = 0,</hi><lb/>
wo das Produkt schon verschwindet, weil mindestens der auf Fig. 32<lb/>
bezügliche Faktor (<hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi>) gleich 0 ist; oder gemäss 2), indem man<lb/>
das Produkt links negirt:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03A3;</hi> (<hi rendition="#i">A</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">B</hi>) = 1&#x0307;</hi><lb/>
oder<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03A3;</hi> (<hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">B</hi>) = 1&#x0307;, <hi rendition="#i">&#x03A3;</hi> (<hi rendition="#i">A</hi> = <hi rendition="#i">B</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) = 1&#x0307;,</hi><lb/>
nach Th. 22<hi rendition="#sub">+</hi>), schon weil mindestens der auf Fig. 32 bezügliche Summand<lb/>
(<hi rendition="#i">A</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">B</hi>) etc. erfüllt, = 1&#x0307; ist.</p><lb/>
            <p><hi rendition="#i">&#x03B5;</hi>) Ein interessantes Gegenstück zum vorigen bildet der folgende <hi rendition="#g">Ein-<lb/>
wurf</hi>, dessen Grundgedanken von Frau <hi rendition="#g">Franklin</hi> herrührt.</p><lb/>
            <p>Eine samt ihren beiden Umkehrungen eindeutige Knüpfung, welche<lb/>
jeweils aus zwei in bestimmter Ordnung genommenen Elementen eines Zahlen-<lb/>
gebietes ein drittes erzeugt, werde einfachst dargestellt als <hi rendition="#i">a b</hi>, und ihre eine<lb/>
Umkehrung als <hi rendition="#i">a</hi> : <hi rendition="#i">b</hi> &#x2014; vergl. <hi rendition="#g">Schröder</hi><hi rendition="#sup">8</hi>.</p><lb/>
            <p>Alsdann wird, wenn die Knüpfung etwa das Gesetz befolgt:<lb/><hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> : <hi rendition="#i">b</hi>,</hi><lb/>
dieselbe augenscheinlich auch dem Gesetz unterliegen:<lb/><hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">2</hi>) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> : <hi rendition="#i">b</hi>) : <hi rendition="#i">c</hi>,</hi><lb/>
das heisst: aus der ersten Gleichung, als allgemeine Formel aufgefasst, folgt<lb/>
jedenfalls die zweite.</p><lb/>
            <p>Es war die Frage, ob auch das umgekehrte der Fall ist, ob also beide<lb/>
Gleichungen allgemein äquivalent sein müssen.</p><lb/>
            <p>Der wirkliche (the real) Dr. <hi rendition="#g">Schröder</hi> &#x2014; meint Frau <hi rendition="#g">Franklin</hi> &#x2014;<lb/>
hat gezeigt, dass diese Frage zu verneinen ist, indem er in Bd. 1, S. 640<lb/>
eine Funktionstafel nachwies mit einer Knüpfung, welche wol der zweiten<lb/><hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">2</hi>), nicht aber der ersten Formel <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) Genüge leistet.</p><lb/>
            <p>Ein theoretischer (an imaginary) Dr. <hi rendition="#g">Schröder</hi>, &#x2014; der nämlich auf<lb/>
dem Prinzip 3) nebst Konsequenzen 1) und 2) herumreitend gedacht wird, &#x2014;<lb/>
ist genötigt, die Verneinung der Frage von der Äquivalenz beider Formeln<lb/>
auszudrücken durch<lb/><hi rendition="#c">{(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> : <hi rendition="#i">b</hi>) : <hi rendition="#i">c</hi>} = {<hi rendition="#i">a b</hi> &#x2260; <hi rendition="#i">a</hi> : <hi rendition="#i">b</hi>},</hi><lb/>
wonach die Geltung der (zweiten) Formel <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">2</hi>) links die notwendige und<lb/>
hinreichende Bedingung dafür wäre, dass die erste <hi rendition="#i">&#x03B5;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) nicht gelte, also dass,<lb/>
wo immer jene zutrifft, diese nicht gilt, und umgekehrt, &#x2014; in offenbarem<lb/>
Widerspruch mit voraus bemerktem.</p><lb/>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[470/0114] Sechsundzwanzigste Vorlesung. welches die Geltung von A = B verlangt, wie immer auch die sechs Punkte a, b, c, a', b', c' als Ecken von zwei Dreiecken im Raum ge- wählt werden mögen. Nun erweist sich aber die Negation dieser vollständig angesetzten Behauptung in allen ihren Formen als richtig, nämlich nach Satz 1) in der Form Π (A = B) = 0, wo das Produkt schon verschwindet, weil mindestens der auf Fig. 32 bezügliche Faktor (A = B) gleich 0 ist; oder gemäss 2), indem man das Produkt links negirt: Σ (A ≠ B) = 1̇ oder Σ (A1 = B) = 1̇, Σ (A = B1) = 1̇, nach Th. 22+), schon weil mindestens der auf Fig. 32 bezügliche Summand (A ≠ B) etc. erfüllt, = 1̇ ist. ε) Ein interessantes Gegenstück zum vorigen bildet der folgende Ein- wurf, dessen Grundgedanken von Frau Franklin herrührt. Eine samt ihren beiden Umkehrungen eindeutige Knüpfung, welche jeweils aus zwei in bestimmter Ordnung genommenen Elementen eines Zahlen- gebietes ein drittes erzeugt, werde einfachst dargestellt als a b, und ihre eine Umkehrung als a : b — vergl. Schröder8. Alsdann wird, wenn die Knüpfung etwa das Gesetz befolgt: ε1) a b = a : b, dieselbe augenscheinlich auch dem Gesetz unterliegen: ε2) (a b) c = (a : b) : c, das heisst: aus der ersten Gleichung, als allgemeine Formel aufgefasst, folgt jedenfalls die zweite. Es war die Frage, ob auch das umgekehrte der Fall ist, ob also beide Gleichungen allgemein äquivalent sein müssen. Der wirkliche (the real) Dr. Schröder — meint Frau Franklin — hat gezeigt, dass diese Frage zu verneinen ist, indem er in Bd. 1, S. 640 eine Funktionstafel nachwies mit einer Knüpfung, welche wol der zweiten ε2), nicht aber der ersten Formel ε1) Genüge leistet. Ein theoretischer (an imaginary) Dr. Schröder, — der nämlich auf dem Prinzip 3) nebst Konsequenzen 1) und 2) herumreitend gedacht wird, — ist genötigt, die Verneinung der Frage von der Äquivalenz beider Formeln auszudrücken durch {(a b) c = (a : b) : c} = {a b ≠ a : b}, wonach die Geltung der (zweiten) Formel ε2) links die notwendige und hinreichende Bedingung dafür wäre, dass die erste ε1) nicht gelte, also dass, wo immer jene zutrifft, diese nicht gilt, und umgekehrt, — in offenbarem Widerspruch mit voraus bemerktem.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/114
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 470. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/114>, abgerufen am 28.04.2024.