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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
direkt leicht nachzurechnen, dass sie die Gültigkeitsdauer resp. -klasse 1 be-
sitzen; nur bietet dies weiter kein Interesse: Beim Distributionsgesetz 27x)
z. B. hätte man blos nachzurechnen, dass:
a (b + c) · (a b + a c) + (a1 + b1 c1) · (a1 + b1) (a1 + c1) = 1
ist, was sich nach den Gesetzen des Kalkuls auf den ersten Blick versteht,
weil der eine Faktor in jedem Gliede links identisch ist mit dem andern,
das eine Glied daselbst aber die Negation ist des andern. So auch bei
Th. °21x) wäre: (a · 1 = a) = a · 1 · a + (a1 + 0) a1 = a + a1 = 1. Etc.

Anders bei den übrigen Sätzen. Bei diesen verlohnt es, die Rechnung
jeweils, wie nachstehend durchzuführen, indem sich eine wirkliche Kontrole
ergibt und auch Aufschluss über das Gewicht des Satzes gewonnen wird
(sofern dasselbe nicht schon von vornherein als verschwindend, gleich 0, er-
kennbar war).

Zu Th. 15) ist A = (a b) = a1 + b, und bei 15x):
B = (a c b c) = a1 + c1 + b c = a1 + b + c1 = A + a b1 c1,
das Gewicht also a b1 c1; zu Th. 15+) analog a b1 c, indem hier:
B = (a + c b + c) = a1 c1 + b + c = a1 + b + c = A + a b1 c.

Zu Th. 16) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, und bei 16x):

B = (a c = b c) = a c · b c + (a1 + c1) (b1 + c1) = a b c + a1 b1 + c1 = a b + a1 b1 + c1 =
= A + (a b1 + a1 b) c1, bei 16+):
B = (a + c = b + c) = (a + c) (b + c) + a1 c1 · b1 c1 = a b + c + a1 b1 c1 = a b + a1 b1 + c =
= A + (a b1 + a1 b) c.

In den Theoremen 17) bis 19) wird man für die vorliegenden Rech-
nungszwecke bequemer a, b statt a', b' schreiben. Dann ist

Zu Th. 17) A = (a b) (a b) = (a1 + b) (a1 + b), und
bei 17x) B = (a a b b) = a1 + a1 + b b = A + (a b1 a1 + a1 a b1),
" 17+) B = (a + a b + b) = a1 a1 + b + b = A + (a b1 b + b a b1).

Zu Th. 18) ist A = (a b) (a = b) = (a1 + b) (a b + a1 b1),
bei 18x) B = (a a b b) = A + (a b1 a1 + a1 a b1 + a1 b),
" 18+) B = (a + a b + b) = A + (a b1 b + b a b1 + a1 b).

Zu Th. 19) ist A = (a = b) (a = b) = (a b + a1 b1) (a b + a1 b1),
bei 19x) B = (a a = b b) = a b a b + (a1 + a1) (b1 + b1) = A + {b1 a1 (a + b) + a1 b1 (b + a)},
" 19+) B = (a + a = b + b) = (a + a) (b + b) + a1 b1 a1 b1 = A + {a b (b1 + a1) + b a (a1 + b1)}.

Zu Th. 20) ist (a b) = a1 + b und ebenso
(a = a b) = a · a b + a1 (a1 + b1) = a b + a1 = a1 + b,
(a + b = b) = (a + b) b + a1 b1 · b1 = b + a1 b1 = a1 + b.

§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
direkt leicht nachzurechnen, dass sie die Gültigkeitsdauer resp. -klasse 1 be-
sitzen; nur bietet dies weiter kein Interesse: Beim Distributionsgesetz 27×)
z. B. hätte man blos nachzurechnen, dass:
a (b + c) · (a b + a c) + (a1 + b1 c1) · (a1 + b1) (a1 + c1) = 1
ist, was sich nach den Gesetzen des Kalkuls auf den ersten Blick versteht,
weil der eine Faktor in jedem Gliede links identisch ist mit dem andern,
das eine Glied daselbst aber die Negation ist des andern. So auch bei
Th. °21×) wäre: (a · 1 = a) = a · 1 · a + (a1 + 0) a1 = a + a1 = 1. Etc.

Anders bei den übrigen Sätzen. Bei diesen verlohnt es, die Rechnung
jeweils, wie nachstehend durchzuführen, indem sich eine wirkliche Kontrole
ergibt und auch Aufschluss über das Gewicht des Satzes gewonnen wird
(sofern dasselbe nicht schon von vornherein als verschwindend, gleich 0, er-
kennbar war).

Zu Th. 15) ist A = (a ⊆ b) = a1 + b, und bei 15×):
B = (a c ⊆ b c) = a1 + c1 + b c = a1 + b + c1 = A + a b1 c1,
das Gewicht also a b1 c1; zu Th. 15+) analog a b1 c, indem hier:
B = (a + c ⊆ b + c) = a1 c1 + b + c = a1 + b + c = A + a b1 c.

Zu Th. 16) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, und bei 16×):

B = (a c = b c) = a c · b c + (a1 + c1) (b1 + c1) = a b c + a1 b1 + c1 = a b + a1 b1 + c1 =
= A + (a b1 + a1 b) c1, bei 16+):
B = (a + c = b + c) = (a + c) (b + c) + a1 c1 · b1 c1 = a b + c + a1 b1 c1 = a b + a1 b1 + c =
= A + (a b1 + a1 b) c.

In den Theoremen 17) bis 19) wird man für die vorliegenden Rech-
nungszwecke bequemer α, β statt a', b' schreiben. Dann ist

Zu Th. 17) A = (a ⊆ b) (α ⊆ β) = (a1 + b) (α1 + β), und
bei 17×) B = (a α ⊆ b β) = a1 + α1 + b β = A + (a b1 α1 + a1 α β1),
„ 17+) B = (a + α ⊆ b + β) = a1 α1 + b + β = A + (a b1 β + b α β1).

Zu Th. 18) ist A = (a ⊆ b) (α = β) = (a1 + b) (α β + α1 β1),
bei 18×) B = (a α ⊆ b β) = A + (a b1 α1 + a1 α β1 + α1 β),
„ 18+) B = (a + α ⊆ b + β) = A + (a b1 β + b α β1 + α1 β).

Zu Th. 19) ist A = (a = b) (α = β) = (a b + a1 b1) (α β + α1 β1),
bei 19×) B = (a α = b β) = a b α β + (a1 + α1) (b1 + β1) = A + {b1 α1 (a + β) + a1 β1 (b + α)},
„ 19+) B = (a + α = b + β) = (a + α) (b + β) + a1 b1 α1 β1 = A + {a β (b1 + α1) + b α (a1 + β1)}.

Zu Th. 20) ist (a ⊆ b) = a1 + b und ebenso
(a = a b) = a · a b + a1 (a1 + b1) = a b + a1 = a1 + b,
(a + b = b) = (a + b) b + a1 b1 · b1 = b + a1 b1 = a1 + b.

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[75/0099] § 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen. direkt leicht nachzurechnen, dass sie die Gültigkeitsdauer resp. -klasse 1 be- sitzen; nur bietet dies weiter kein Interesse: Beim Distributionsgesetz 27×) z. B. hätte man blos nachzurechnen, dass: a (b + c) · (a b + a c) + (a1 + b1 c1) · (a1 + b1) (a1 + c1) = 1 ist, was sich nach den Gesetzen des Kalkuls auf den ersten Blick versteht, weil der eine Faktor in jedem Gliede links identisch ist mit dem andern, das eine Glied daselbst aber die Negation ist des andern. So auch bei Th. °21×) wäre: (a · 1 = a) = a · 1 · a + (a1 + 0) a1 = a + a1 = 1. Etc. Anders bei den übrigen Sätzen. Bei diesen verlohnt es, die Rechnung jeweils, wie nachstehend durchzuführen, indem sich eine wirkliche Kontrole ergibt und auch Aufschluss über das Gewicht des Satzes gewonnen wird (sofern dasselbe nicht schon von vornherein als verschwindend, gleich 0, er- kennbar war). Zu Th. 15) ist A = (a  b) = a1 + b, und bei 15×): B = (a c  b c) = a1 + c1 + b c = a1 + b + c1 = A + a b1 c1, das Gewicht also a b1 c1; zu Th. 15+) analog a b1 c, indem hier: B = (a + c  b + c) = a1 c1 + b + c = a1 + b + c = A + a b1 c. Zu Th. 16) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, und bei 16×): B = (a c = b c) = a c · b c + (a1 + c1) (b1 + c1) = a b c + a1 b1 + c1 = a b + a1 b1 + c1 = = A + (a b1 + a1 b) c1, bei 16+): B = (a + c = b + c) = (a + c) (b + c) + a1 c1 · b1 c1 = a b + c + a1 b1 c1 = a b + a1 b1 + c = = A + (a b1 + a1 b) c. In den Theoremen 17) bis 19) wird man für die vorliegenden Rech- nungszwecke bequemer α, β statt a', b' schreiben. Dann ist Zu Th. 17) A = (a  b) (α  β) = (a1 + b) (α1 + β), und bei 17×) B = (a α  b β) = a1 + α1 + b β = A + (a b1 α1 + a1 α β1), „ 17+) B = (a + α  b + β) = a1 α1 + b + β = A + (a b1 β + b α β1). Zu Th. 18) ist A = (a  b) (α = β) = (a1 + b) (α β + α1 β1), bei 18×) B = (a α  b β) = A + (a b1 α1 + a1 α β1 + α1 β), „ 18+) B = (a + α  b + β) = A + (a b1 β + b α β1 + α1 β). Zu Th. 19) ist A = (a = b) (α = β) = (a b + a1 b1) (α β + α1 β1), bei 19×) B = (a α = b β) = a b α β + (a1 + α1) (b1 + β1) = A + {b1 α1 (a + β) + a1 β1 (b + α)}, „ 19+) B = (a + α = b + β) = (a + α) (b + β) + a1 b1 α1 β1 = A + {a β (b1 + α1) + b α (a1 + β1)}. Zu Th. 20) ist (a  b) = a1 + b und ebenso (a = a b) = a · a b + a1 (a1 + b1) = a b + a1 = a1 + b, (a + b = b) = (a + b) b + a1 b1 · b1 = b + a1 b1 = a1 + b.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 75. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/99>, abgerufen am 27.04.2024.