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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.
jenigen sind, wo die Behauptung B des Satzes gilt, aber die Voraus-
setzung A desselben nicht gilt. Die Behauptung a c gilt immer,
wann die Voraussetzung (a b) (b c) zutrifft, aber ausserdem auch
noch in den erwähnten das Gewicht der Aussage II zusammensetzenden
Fällen.

In ähnlicher Weise, wie vorstehend, wollen wir immer die linke Seite
einer Subsumtion oder Gleichung mit A, ihre rechte mit B bezeichnen und
zunächst nur diejenigen Formeln des § 29 nachrechnen, bei denen kein
Produkten- oder Summenzeichen vorkommt.

Für die Def. (1) der Gleichheit haben wir dann:
A = (a b) (b a) = (a1 + b) (b1 + a) und B = (a = b) = a b + a1 b1,
was übereinstimmt.

Bei Th. °1) würden wir als Gültigkeitsklasse nach Schema m) erhalten:
(a = a) = a a + a1 a1 = 1; doch genügt bereits vergleichendes Inspiziren
der beiden Seiten der in ihm behaupteten Gleichung.

Bei Th. 2) ist A = (a b) (b = c) = (a1 + b) (b c + b1 c1) = b c + a1 b1 c1
und b1 c + a1 b c1 das Gewicht, mithin die Summe beider gleich dem Major:
B = (a c) = a1 + c. Ebenso:

Bei Th. 3) ist: A = (a = b) (b c) = a b c + a1 b1 und a1 b + a b1 c das
Gewicht.

Bei Th. 4) ist: A = (a = b) (b = c) = (a b + a1 b1) (b c + b1 c1) = a b c + a1 b1 c1
und B = (a = c) = a c + a1 c1 = A + (a b1 c + a1 b c1), woraus das Gewicht
ersichtlich ist als ein mit dem von Pr. II übereinstimmendes.

Def. °(2) gibt (0 a) = 01 + a = 1 + a = 1, (a 1) = a1 + 1 = 1,
wie es sein soll.

Zu Th. 5) bekommen wir bei

5x) A = (a 0) = a1 + 0 = a1,5+) A = (1 a) = 11 + a = 0 + a = a,
B = (a = 0) = (a1 = 1) = a1B = (a = 1) = a,
was übereinstimmt. Man kann aber auch rein mechanisch sogleich die
Gültigkeitsklasse des ganzen Theorems ansetzen:
{(a 0) = (a = 0)} = (a1 + 0 = a · 0 + a1 · 01) = (a1 = a1) = a1 a1 + a a = a1 + a = 1,
{(1 a) = (a = 1)} = (11 + a = a · 1 + a1 · 11) = (a = a) = 1.

Zu Def. (3) haben wir bei

(3x) A = (c a) (c b) = (c1 + a) (c1 + b) =
= c1 + a b		(3x) A = (a c) (b c) = (a1 + c) (b1 + c) =
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Zu Th. °6) bei 6x): (a b a) = (a b)1 + a = a1 + b1 + a = 1 + b1 = 1,
bei 6+): (a a + b) = a1 + a + b = 1 + b = 1.

Gleicherweise wie vorhin bei Th. °1), Def. °(2) und Th. °6) ist bei
allen Sätzen des § 29, die eine mit Ringelchen versehene Chiffre haben,

Sechzehnte Vorlesung.
jenigen sind, wo die Behauptung B des Satzes gilt, aber die Voraus-
setzung A desselben nicht gilt. Die Behauptung a ⊆ c gilt immer,
wann die Voraussetzung (a ⊆ b) (b ⊆ c) zutrifft, aber ausserdem auch
noch in den erwähnten das Gewicht der Aussage II zusammensetzenden
Fällen.

In ähnlicher Weise, wie vorstehend, wollen wir immer die linke Seite
einer Subsumtion oder Gleichung mit A, ihre rechte mit B bezeichnen und
zunächst nur diejenigen Formeln des § 29 nachrechnen, bei denen kein
Produkten- oder Summenzeichen vorkommt.

Für die Def. (1) der Gleichheit haben wir dann:
A = (a ⊆ b) (b ⊆ a) = (a1 + b) (b1 + a) und B = (a = b) = a b + a1 b1,
was übereinstimmt.

Bei Th. °1) würden wir als Gültigkeitsklasse nach Schema μ) erhalten:
(a = a) = a a + a1 a1 = 1; doch genügt bereits vergleichendes Inspiziren
der beiden Seiten der in ihm behaupteten Gleichung.

Bei Th. 2) ist A = (a ⊆ b) (b = c) = (a1 + b) (b c + b1 c1) = b c + a1 b1 c1
und b1 c + a1 b c1 das Gewicht, mithin die Summe beider gleich dem Major:
B = (a ⊆ c) = a1 + c. Ebenso:

Bei Th. 3) ist: A = (a = b) (b ⊆ c) = a b c + a1 b1 und a1 b + a b1 c das
Gewicht.

Bei Th. 4) ist: A = (a = b) (b = c) = (a b + a1 b1) (b c + b1 c1) = a b c + a1 b1 c1
und B = (a = c) = a c + a1 c1 = A + (a b1 c + a1 b c1), woraus das Gewicht
ersichtlich ist als ein mit dem von Pr. II übereinstimmendes.

Def. °(2) gibt (0 ⊆ a) = 01 + a = 1 + a = 1, (a ⊆ 1) = a1 + 1 = 1,
wie es sein soll.

Zu Th. 5) bekommen wir bei

5×) A = (a ⊆ 0) = a1 + 0 = a1,5+) A = (1 ⊆ a) = 11 + a = 0 + a = a,
B = (a = 0) = (a1 = 1) = a1B = (a = 1) = a,
was übereinstimmt. Man kann aber auch rein mechanisch sogleich die
Gültigkeitsklasse des ganzen Theorems ansetzen:
{(a ⊆ 0) = (a = 0)} = (a1 + 0 = a · 0 + a1 · 01) = (a1 = a1) = a1 a1 + a a = a1 + a = 1,
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Zu Def. (3) haben wir bei

(3×) A = (c ⊆ a) (c ⊆ b) = (c1 + a) (c1 + b) =
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Zu Th. °6) bei 6×): (a b ⊆ a) = (a b)1 + a = a1 + b1 + a = 1 + b1 = 1,
bei 6+): (a ⊆ a + b) = a1 + a + b = 1 + b = 1.

Gleicherweise wie vorhin bei Th. °1), Def. °(2) und Th. °6) ist bei
allen Sätzen des § 29, die eine mit Ringelchen versehene Chiffre haben,

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[74/0098] Sechzehnte Vorlesung. jenigen sind, wo die Behauptung B des Satzes gilt, aber die Voraus- setzung A desselben nicht gilt. Die Behauptung a  c gilt immer, wann die Voraussetzung (a  b) (b  c) zutrifft, aber ausserdem auch noch in den erwähnten das Gewicht der Aussage II zusammensetzenden Fällen. In ähnlicher Weise, wie vorstehend, wollen wir immer die linke Seite einer Subsumtion oder Gleichung mit A, ihre rechte mit B bezeichnen und zunächst nur diejenigen Formeln des § 29 nachrechnen, bei denen kein Produkten- oder Summenzeichen vorkommt. Für die Def. (1) der Gleichheit haben wir dann: A = (a  b) (b  a) = (a1 + b) (b1 + a) und B = (a = b) = a b + a1 b1, was übereinstimmt. Bei Th. °1) würden wir als Gültigkeitsklasse nach Schema μ) erhalten: (a = a) = a a + a1 a1 = 1; doch genügt bereits vergleichendes Inspiziren der beiden Seiten der in ihm behaupteten Gleichung. Bei Th. 2) ist A = (a  b) (b = c) = (a1 + b) (b c + b1 c1) = b c + a1 b1 c1 und b1 c + a1 b c1 das Gewicht, mithin die Summe beider gleich dem Major: B = (a  c) = a1 + c. Ebenso: Bei Th. 3) ist: A = (a = b) (b  c) = a b c + a1 b1 und a1 b + a b1 c das Gewicht. Bei Th. 4) ist: A = (a = b) (b = c) = (a b + a1 b1) (b c + b1 c1) = a b c + a1 b1 c1 und B = (a = c) = a c + a1 c1 = A + (a b1 c + a1 b c1), woraus das Gewicht ersichtlich ist als ein mit dem von Pr. II übereinstimmendes. Def. °(2) gibt (0  a) = 01 + a = 1 + a = 1, (a  1) = a1 + 1 = 1, wie es sein soll. Zu Th. 5) bekommen wir bei 5×) A = (a  0) = a1 + 0 = a1, 5+) A = (1  a) = 11 + a = 0 + a = a, B = (a = 0) = (a1 = 1) = a1 B = (a = 1) = a, was übereinstimmt. Man kann aber auch rein mechanisch sogleich die Gültigkeitsklasse des ganzen Theorems ansetzen: {(a  0) = (a = 0)} = (a1 + 0 = a · 0 + a1 · 01) = (a1 = a1) = a1 a1 + a a = a1 + a = 1, {(1  a) = (a = 1)} = (11 + a = a · 1 + a1 · 11) = (a = a) = 1. Zu Def. (3) haben wir bei (3×) A = (c  a) (c  b) = (c1 + a) (c1 + b) = = c1 + a b (3×) A = (a  c) (b  c) = (a1 + c) (b1 + c) = = a1 b1 + c B = (c  a b) = c1 + a b B = (a + b  c) = (a + b)1 + c = a1 b1 + c. Zu Th. °6) bei 6×): (a b  a) = (a b)1 + a = a1 + b1 + a = 1 + b1 = 1, bei 6+): (a  a + b) = a1 + a + b = 1 + b = 1. Gleicherweise wie vorhin bei Th. °1), Def. °(2) und Th. °6) ist bei allen Sätzen des § 29, die eine mit Ringelchen versehene Chiffre haben,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 74. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/98>, abgerufen am 27.04.2024.