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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.

Zu Th. 24) ist

(a b = 1) = a b und	(a + b = 0) = a1 b1 und
(a = 1) (b = 1) = a b	(a = 0) (b = 0) = a1 b1.

Zu Prinzip IIIx haben wir als Minor:
A = (b c = 0) = b1 + c1, und als Major B = 1, nämlich
B = {a (b + c) a b + a c} = a1 + b1 c1 + a b + a c = a1 + b + c + b1 c1 = a1 + 1,
sonach läuft dasselbe auf: b1 + c1 1 hinaus und erweist sich als richtig.

Zum Hülfstheorem 29) haben wir:
A = (a b = 0) (a c = 0) (a + b = 1) (a + c = 1) = (a1 + b1) (a1 + c1) (a + b) (a + c) =
= (a b1 + a1 b) (a c1 + a1 c) oder (a1 + b1 c1) (a + b c) = a b1 c1 + a1 b c,
und B = (b = c) = b c + b1 c1 = A + (a b c + a1 b1 c1),
wie durch Entwickelung des B auch nach a zu erkennen ist. Zudem ist
die Unterordnung von A unter B aus a1 b c b c und a b1 c1 b1 c1 nach
Th. 6x) und 17+) ersichtlich.

Zu Def. (6) ist A = (a x 0) (1 a + x) = (a1 + x1) (a + x) = a1 x + a x1,
desgleichen B = (x = a1) = x a1 + x1 a. Denselben Wert ergäbe:
A = (a x = 0) (a + x = 1).
Zu Th. 32) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, B = (a1 = b1) = a1 b1 + a b.
Zu Th. 37) A = (a b) = a1 + b, B = (b1 a1) = b + a1.
Zu Th. 38) ist: (a b1 = 0) = a1 + b, (a b) = a1 + b, (a1 + b = 1) = a1 + b.
Zu Th. 39) (a b1 + a1 b = 0) = (a b + a1 b1 = 1) = a b + a1 b1, und
(a = b) = a b + a1 b1.
Zu Th. 40) ist A = (a c b c) (a + c b + c) = (a1 + c1 + b c) (a1 c1 + b + c) =
= a1 c1 + a1 b + a1 c + b c1 + b c = a1 · 1 + b · 1 = a1 + b und B = (a b) = a1 + b.
Ebenso bei Zus. 2 ist A = (a c b) (a b + c) = (a1 + c1 + b) (a1 + b + c) = a1 + b.
Ferner bei Zus. 1 ist: A = (a c = b c) (a + c = b + c) =
= {a c · b c + (a1 + c1) (b1 + c1)} {(a + c) (b + c) + a1 c1 · b1 c1} = (a b c + a1 b1 + c1) (a b + c + a1 b1 c1) =
= a b c + a1 b1 c + a b c1 + a1 b1 c1 = a b + a1 b1, desgl. B = (a = b) = a b + a1 b1.

Zu Th. 41) haben wir:
(a b c) = a1 + b1 + c = (a b1 + c), etc., (a b + c) = a1 + b + c = (a b1 c) etc.

Beim Hülfstheorem zu Th. 47+) ist
A = (a x b) = (a x) (x b) = (a1 + x) (x1 + b) = a1 x1 + b x
und B = (a x1 + b x = x) = (a x1 + b x) x + (a1 x1 + b1 x) x1 = b x + a1 x1.

Beim Th. 49x): (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1,
und (b x a1) = (b x) (x a1) = (b1 + x) (x1 + a1) = b1 x1 + a1 x;

Sechzehnte Vorlesung.

Zu Th. 24) ist

(a b = 1) = a b und	(a + b = 0) = a1 b1 und
(a = 1) (b = 1) = a b	(a = 0) (b = 0) = a1 b1.

Zu Prinzip III× haben wir als Minor:
A = (b c = 0) = b1 + c1, und als Major B = 1, nämlich
B = {a (b + c) ⊆ a b + a c} = a1 + b1 c1 + a b + a c = a1 + b + c + b1 c1 = a1 + 1,
sonach läuft dasselbe auf: b1 + c1 ⊆ 1 hinaus und erweist sich als richtig.

Zum Hülfstheorem 29) haben wir:
A = (a b = 0) (a c = 0) (a + b = 1) (a + c = 1) = (a1 + b1) (a1 + c1) (a + b) (a + c) =
= (a b1 + a1 b) (a c1 + a1 c) oder (a1 + b1 c1) (a + b c) = a b1 c1 + a1 b c,
und B = (b = c) = b c + b1 c1 = A + (a b c + a1 b1 c1),
wie durch Entwickelung des B auch nach a zu erkennen ist. Zudem ist
die Unterordnung von A unter B aus a1 b c ⊆ b c und a b1 c1 ⊆ b1 c1 nach
Th. 6×) und 17+) ersichtlich.

Zu Def. (6) ist A = (a x ⊆ 0) (1 ⊆ a + x) = (a1 + x1) (a + x) = a1 x + a x1,
desgleichen B = (x = a1) = x a1 + x1 a. Denselben Wert ergäbe:
A = (a x = 0) (a + x = 1).
Zu Th. 32) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, B = (a1 = b1) = a1 b1 + a b.
Zu Th. 37) A = (a ⊆ b) = a1 + b, B = (b1 ⊆ a1) = b + a1.
Zu Th. 38) ist: (a b1 = 0) = a1 + b, (a ⊆ b) = a1 + b, (a1 + b = 1) = a1 + b.
Zu Th. 39) (a b1 + a1 b = 0) = (a b + a1 b1 = 1) = a b + a1 b1, und
(a = b) = a b + a1 b1.
Zu Th. 40) ist A = (a c ⊆ b c) (a + c ⊆ b + c) = (a1 + c1 + b c) (a1 c1 + b + c) =
= a1 c1 + a1 b + a1 c + b c1 + b c = a1 · 1 + b · 1 = a1 + b und B = (a ⊆ b) = a1 + b.
Ebenso bei Zus. 2 ist A = (a c ⊆ b) (a ⊆ b + c) = (a1 + c1 + b) (a1 + b + c) = a1 + b.
Ferner bei Zus. 1 ist: A = (a c = b c) (a + c = b + c) =
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Zu Th. 41) haben wir:
(a b ⊆ c) = a1 + b1 + c = (a ⊆ b1 + c), etc., (a ⊆ b + c) = a1 + b + c = (a b1 ⊆ c) etc.

Beim Hülfstheorem zu Th. 47+) ist
A = (a ⊆ x ⊆ b) = (a ⊆ x) (x ⊆ b) = (a1 + x) (x1 + b) = a1 x1 + b x
und B = (a x1 + b x = x) = (a x1 + b x) x + (a1 x1 + b1 x) x1 = b x + a1 x1.

Beim Th. 49×): (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1,
und (b ⊆ x ⊆ a1) = (b ⊆ x) (x ⊆ a1) = (b1 + x) (x1 + a1) = b1 x1 + a1 x;

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[76/0100] Sechzehnte Vorlesung. Zu Th. 24) ist (a b = 1) = a b und (a + b = 0) = a1 b1 und (a = 1) (b = 1) = a b (a = 0) (b = 0) = a1 b1. Zu Prinzip III× haben wir als Minor: A = (b c = 0) = b1 + c1, und als Major B = 1, nämlich B = {a (b + c) a b + a c} = a1 + b1 c1 + a b + a c = a1 + b + c + b1 c1 = a1 + 1, sonach läuft dasselbe auf: b1 + c1 1 hinaus und erweist sich als richtig. Zum Hülfstheorem 29) haben wir: A = (a b = 0) (a c = 0) (a + b = 1) (a + c = 1) = (a1 + b1) (a1 + c1) (a + b) (a + c) = = (a b1 + a1 b) (a c1 + a1 c) oder (a1 + b1 c1) (a + b c) = a b1 c1 + a1 b c, und B = (b = c) = b c + b1 c1 = A + (a b c + a1 b1 c1), wie durch Entwickelung des B auch nach a zu erkennen ist. Zudem ist die Unterordnung von A unter B aus a1 b c b c und a b1 c1 b1 c1 nach Th. 6×) und 17+) ersichtlich. Zu Def. (6) ist A = (a x 0) (1 a + x) = (a1 + x1) (a + x) = a1 x + a x1, desgleichen B = (x = a1) = x a1 + x1 a. Denselben Wert ergäbe: A = (a x = 0) (a + x = 1). Zu Th. 32) ist A = (a = b) = a b + a1 b1, B = (a1 = b1) = a1 b1 + a b. Zu Th. 37) A = (a b) = a1 + b, B = (b1 a1) = b + a1. Zu Th. 38) ist: (a b1 = 0) = a1 + b, (a b) = a1 + b, (a1 + b = 1) = a1 + b. Zu Th. 39) (a b1 + a1 b = 0) = (a b + a1 b1 = 1) = a b + a1 b1, und (a = b) = a b + a1 b1. Zu Th. 40) ist A = (a c b c) (a + c b + c) = (a1 + c1 + b c) (a1 c1 + b + c) = = a1 c1 + a1 b + a1 c + b c1 + b c = a1 · 1 + b · 1 = a1 + b und B = (a b) = a1 + b. Ebenso bei Zus. 2 ist A = (a c b) (a b + c) = (a1 + c1 + b) (a1 + b + c) = a1 + b. Ferner bei Zus. 1 ist: A = (a c = b c) (a + c = b + c) = = {a c · b c + (a1 + c1) (b1 + c1)} {(a + c) (b + c) + a1 c1 · b1 c1} = (a b c + a1 b1 + c1) (a b + c + a1 b1 c1) = = a b c + a1 b1 c + a b c1 + a1 b1 c1 = a b + a1 b1, desgl. B = (a = b) = a b + a1 b1. Zu Th. 41) haben wir: (a b c) = a1 + b1 + c = (a b1 + c), etc., (a b + c) = a1 + b + c = (a b1 c) etc. Beim Hülfstheorem zu Th. 47+) ist A = (a x b) = (a x) (x b) = (a1 + x) (x1 + b) = a1 x1 + b x und B = (a x1 + b x = x) = (a x1 + b x) x + (a1 x1 + b1 x) x1 = b x + a1 x1. Beim Th. 49×): (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, und (b x a1) = (b x) (x a1) = (b1 + x) (x1 + a1) = b1 x1 + a1 x;

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 76. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/100>, abgerufen am 24.11.2024.

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