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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben
auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in
ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln -- gemäss § 19.

Ebenso können Subsumtionen A B nachgerechnet werden, indem
man zuerst das "Gewicht" A1 B derselben aufsucht, und sich überzeugt,
dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor A (d. i. zu der "Voraus-
setzung" des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in
der That diejenige des Major B (oder der "Behauptung" ebendieses
Satzes) liefert.

Bei der Ausführung*) wird dies leicht vollkommen deutlich zu
machen sein.

Prinzip I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss l)):
(a a) = a1 + a = 1;
hier also stimmt die Probe.

Prinzip II lautete: A B, wenn für den Augenblick A diese
Behauptung:
A = (a b) (b c) und wenn B = (a c)
bedeutet. Nach Schema l) wird hier:
A = (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + b c und B = a1 + c.

Nach § 21, e) rechts lässt die Konklusion B sich erreichen, indem
man in A den Eliminanden b tilgt.

Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach-
sehen, dass A1 + B = i ist; in der That wird:
A1 + B = a b1 + b c1 + a1 + c = b1 + b + a1 + c = 1 + a1 + c = 1.

Oder man mag nachsehen, dass A B1 = 0 ist:
A B1 = (a1 b1 + b c) a c1 = 0 + 0 = 0.

Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln:
A = a1 b1 (c + c1) + (a + a1) b c, B = (a1 c + a1 c1 + a c) (b + b1), also
A = a b c + a1 b c + a1 b1 c + a1 b1 c1, B = A + (a b1 c + a1 b c1),
woraus ersichtlich wird, dass in der That A von B um das "Gewicht":
A1 B = a b1 c + a1 b c1
übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo a und c gelten,
aber b nicht gilt, sowie wo a und c nicht gelten, aber b gilt, die-

*) Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei Peirce8
-- mit einer sonderbaren Auffassung -- vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher
noch, bei McColl3.

§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben
auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in
ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln — gemäss § 19.

Ebenso können Subsumtionen A ⊆ B nachgerechnet werden, indem
man zuerst das „Gewicht“ A1 B derselben aufsucht, und sich überzeugt,
dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor A (d. i. zu der „Voraus-
setzung“ des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in
der That diejenige des Major B (oder der „Behauptung“ ebendieses
Satzes) liefert.

Bei der Ausführung*) wird dies leicht vollkommen deutlich zu
machen sein.

Prinzip I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss λ)):
(a ⊆ a) = a1 + a = 1;
hier also stimmt die Probe.

Prinzip II lautete: A ⊆ B, wenn für den Augenblick A diese
Behauptung:
A = (a ⊆ b) (b ⊆ c) und wenn B = (a ⊆ c)
bedeutet. Nach Schema λ) wird hier:
A = (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + b c und B = a1 + c.

Nach § 21, η) rechts lässt die Konklusion B sich erreichen, indem
man in A den Eliminanden b tilgt.

Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach-
sehen, dass A1 + B = i ist; in der That wird:
A1 + B = a b1 + b c1 + a1 + c = b1 + b + a1 + c = 1 + a1 + c = 1.

Oder man mag nachsehen, dass A B1 = 0 ist:
A B1 = (a1 b1 + b c) a c1 = 0 + 0 = 0.

Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln:
A = a1 b1 (c + c1) + (a + a1) b c, B = (a1 c + a1 c1 + a c) (b + b1), also
A = a b c + a1 b c + a1 b1 c + a1 b1 c1, B = A + (a b1 c + a1 b c1),
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A1 B = a b1 c + a1 b c1
übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo a und c gelten,
aber b nicht gilt, sowie wo a und c nicht gelten, aber b gilt, die-

*) Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei Peirce8
— mit einer sonderbaren Auffassung — vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher
noch, bei McColl3.
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[73/0097] § 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen. drücke auch äusserlich kundgebe, zumeist erforderlich sein, dieselben auf ihre einfachste Gestalt zu reduziren, wo nicht, sie nach den in ihnen vorkommenden Symbolen erst beide zu entwickeln — gemäss § 19. Ebenso können Subsumtionen A  B nachgerechnet werden, indem man zuerst das „Gewicht“ A1 B derselben aufsucht, und sich überzeugt, dass dasselbe zur Gültigkeitsklasse des Minor A (d. i. zu der „Voraus- setzung“ des durch die Subsumtion ausgedrückten Satzes) addirt in der That diejenige des Major B (oder der „Behauptung“ ebendieses Satzes) liefert. Bei der Ausführung *) wird dies leicht vollkommen deutlich zu machen sein. Prinzip I gibt die Gültigkeitsklasse (gemäss λ)): (a  a) = a1 + a = 1; hier also stimmt die Probe. Prinzip II lautete: A  B, wenn für den Augenblick A diese Behauptung: A = (a  b) (b  c) und wenn B = (a  c) bedeutet. Nach Schema λ) wird hier: A = (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + b c und B = a1 + c. Nach § 21, η) rechts lässt die Konklusion B sich erreichen, indem man in A den Eliminanden b tilgt. Behufs direkter Verifikation mag man aber auch erstlich nach- sehen, dass A1 + B = i ist; in der That wird: A1 + B = a b1 + b c1 + a1 + c = b1 + b + a1 + c = 1 + a1 + c = 1. Oder man mag nachsehen, dass A B1 = 0 ist: A B1 = (a1 b1 + b c) a c1 = 0 + 0 = 0. Oder endlich man mag Minor und Major für sich entwickeln: A = a1 b1 (c + c1) + (a + a1) b c, B = (a1 c + a1 c1 + a c) (b + b1), also A = a b c + a1 b c + a1 b1 c + a1 b1 c1, B = A + (a b1 c + a1 b c1), woraus ersichtlich wird, dass in der That A von B um das „Gewicht“: A1 B = a b1 c + a1 b c1 übertroffen ist. Dies zeigt (nebenbei), dass die Fälle, wo a und c gelten, aber b nicht gilt, sowie wo a und c nicht gelten, aber b gilt, die- *) Die Keime zu den Entwickelungen finden (wie gesagt) sich schon bei Peirce8 — mit einer sonderbaren Auffassung — vergl. ibid. pag. 192 auf 193, und, früher noch, bei McColl3.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 73. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/97>, abgerufen am 27.04.2024.