gültigkeitsklasse verschwinden -- im Einklang mit Th. 39x) -- die Gültigkeitsklasse aber muss = i sein, nämlich die ganze Mannigfaltig- keit der Gelegenheiten, resp. die ganze Zeit repräsentiren.
In der siebzehnten und folgenden Vorlesung werden wir alle denk- baren Beziehungen zwischen Gebieten zurückführen auf Gleichungen und Ungleichungen. Und da im eigentlichen Aussagenkalkul nach Th. k) die Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben liess, so ist es jedenfalls schon ausreichend, die gestellte Aufgabe für die Gleichung gelöst zu haben in Gestalt des Theorems m) -- und zum Überfluss für die Subsumtion durch Th. l) -- um sich ihrer Lösung auch für alle denkbaren Propositionen zu versichern.
Nach § 28 durften nun in den Formeln des identischen Kalkuls, wie sie in § 29 sich rekapitulirt finden, alle Gebiete 1, a, b, ... auch ausgelegt werden als Aussagen i, A, B, ... und mussten die Formeln dabei ihre Gültigkeit behalten.
Für jedes richtige Theorem, jede gültige Formel aber muss dann die Gültigkeitsklasse sich = i erweisen -- oder was auf dasselbe hinaus- kommt, muss die Ungültigkeitsklasse verschwinden.
Indem wir dieses nachsehen, haben wir ein bequemes Mittel, die Gültigkeit jedes Satzes zu kontroliren, die Sätze des identischen Kal- kuls vermittelst mechanischen Rechnens durch diesen selbst zu bewahr- heiten und durch solche Verifikation sie als Sätze des Aussagenkalkuls direkt zu beweisen.
Wir schreiten dazu, die Formeln des § 29 nochmals, nämlich jetzt auch in dieser Hinsicht durchzunehmen. Dabei wollen wir aber die kleinen Buchstaben von früher beibehalten (inklusive der 1 ohne Tupfen) obzwar wir unter denselben jetzt nicht mehr beliebige Gebiete, sondern beliebige Aussagen (von festem Sinne) uns vorzustellen haben.
Zur Anwendung zu kommen brauchen lediglich die Schemata e) nebst Korollar oder l) und m), oder im Überblick: n) (A = i) = A, (A = 0) = A1, (AB) = A1 + B, (A = B) = A B + A1B1.
Doch kann man statt der Berufung auf das letzte Schema m) sich auch begnügen, gewissermassen die "Komparationsmethode" anzuwenden, nämlich bei einer behaupteten Äquivalenz zweier Aussagen die Gültig- keitsklasse der einen sowie der andern für sich aufstellen, um sich von der Übereinstimmung, Identität der beiden Klassen durch den blossen Anblick (durch Inspektion) ihrer Ausdrücke zu überzeugen. Dabei wird -- damit diese Identität sich in der Form der beiden Aus-
Sechzehnte Vorlesung.
gültigkeitsklasse verschwinden — im Einklang mit Th. 39×) — die Gültigkeitsklasse aber muss = i sein, nämlich die ganze Mannigfaltig- keit der Gelegenheiten, resp. die ganze Zeit repräsentiren.
In der siebzehnten und folgenden Vorlesung werden wir alle denk- baren Beziehungen zwischen Gebieten zurückführen auf Gleichungen und Ungleichungen. Und da im eigentlichen Aussagenkalkul nach Th. ϰ) die Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben liess, so ist es jedenfalls schon ausreichend, die gestellte Aufgabe für die Gleichung gelöst zu haben in Gestalt des Theorems μ) — und zum Überfluss für die Subsumtion durch Th. λ) — um sich ihrer Lösung auch für alle denkbaren Propositionen zu versichern.
Nach § 28 durften nun in den Formeln des identischen Kalkuls, wie sie in § 29 sich rekapitulirt finden, alle Gebiete 1, a, b, … auch ausgelegt werden als Aussagen i, A, B, … und mussten die Formeln dabei ihre Gültigkeit behalten.
Für jedes richtige Theorem, jede gültige Formel aber muss dann die Gültigkeitsklasse sich = i erweisen — oder was auf dasselbe hinaus- kommt, muss die Ungültigkeitsklasse verschwinden.
Indem wir dieses nachsehen, haben wir ein bequemes Mittel, die Gültigkeit jedes Satzes zu kontroliren, die Sätze des identischen Kal- kuls vermittelst mechanischen Rechnens durch diesen selbst zu bewahr- heiten und durch solche Verifikation sie als Sätze des Aussagenkalkuls direkt zu beweisen.
Wir schreiten dazu, die Formeln des § 29 nochmals, nämlich jetzt auch in dieser Hinsicht durchzunehmen. Dabei wollen wir aber die kleinen Buchstaben von früher beibehalten (inklusive der 1 ohne Tupfen) obzwar wir unter denselben jetzt nicht mehr beliebige Gebiete, sondern beliebige Aussagen (von festem Sinne) uns vorzustellen haben.
Zur Anwendung zu kommen brauchen lediglich die Schemata ε) nebst Korollar oder λ) und μ), oder im Überblick: ν) (A = i) = A, (A = 0) = A1, (A⊆B) = A1 + B, (A = B) = A B + A1B1.
Doch kann man statt der Berufung auf das letzte Schema μ) sich auch begnügen, gewissermassen die „Komparationsmethode“ anzuwenden, nämlich bei einer behaupteten Äquivalenz zweier Aussagen die Gültig- keitsklasse der einen sowie der andern für sich aufstellen, um sich von der Übereinstimmung, Identität der beiden Klassen durch den blossen Anblick (durch Inspektion) ihrer Ausdrücke zu überzeugen. Dabei wird — damit diese Identität sich in der Form der beiden Aus-
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Sechzehnte Vorlesung.
gültigkeitsklasse verschwinden — im Einklang mit Th. 39×) — die
Gültigkeitsklasse aber muss = i sein, nämlich die ganze Mannigfaltig-
keit der Gelegenheiten, resp. die ganze Zeit repräsentiren.
In der siebzehnten und folgenden Vorlesung werden wir alle denk-
baren Beziehungen zwischen Gebieten zurückführen auf Gleichungen
und Ungleichungen. Und da im eigentlichen Aussagenkalkul nach Th. ϰ)
die Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben liess, so ist
es jedenfalls schon ausreichend, die gestellte Aufgabe für die Gleichung
gelöst zu haben in Gestalt des Theorems μ) — und zum Überfluss für
die Subsumtion durch Th. λ) — um sich ihrer Lösung auch für alle
denkbaren Propositionen zu versichern.
Nach § 28 durften nun in den Formeln des identischen Kalkuls,
wie sie in § 29 sich rekapitulirt finden, alle Gebiete 1, a, b, … auch
ausgelegt werden als Aussagen i, A, B, … und mussten die Formeln
dabei ihre Gültigkeit behalten.
Für jedes richtige Theorem, jede gültige Formel aber muss dann
die Gültigkeitsklasse sich = i erweisen — oder was auf dasselbe hinaus-
kommt, muss die Ungültigkeitsklasse verschwinden.
Indem wir dieses nachsehen, haben wir ein bequemes Mittel, die
Gültigkeit jedes Satzes zu kontroliren, die Sätze des identischen Kal-
kuls vermittelst mechanischen Rechnens durch diesen selbst zu bewahr-
heiten und durch solche Verifikation sie als Sätze des Aussagenkalkuls
direkt zu beweisen.
Wir schreiten dazu, die Formeln des § 29 nochmals, nämlich jetzt
auch in dieser Hinsicht durchzunehmen. Dabei wollen wir aber die
kleinen Buchstaben von früher beibehalten (inklusive der 1 ohne Tupfen)
obzwar wir unter denselben jetzt nicht mehr beliebige Gebiete, sondern
beliebige Aussagen (von festem Sinne) uns vorzustellen haben.
Zur Anwendung zu kommen brauchen lediglich die Schemata ε)
nebst Korollar oder λ) und μ), oder im Überblick:
ν) (A = i) = A, (A = 0) = A1, (A  B) = A1 + B, (A = B) = A B + A1 B1.
Doch kann man statt der Berufung auf das letzte Schema μ) sich
auch begnügen, gewissermassen die „Komparationsmethode“ anzuwenden,
nämlich bei einer behaupteten Äquivalenz zweier Aussagen die Gültig-
keitsklasse der einen sowie der andern für sich aufstellen, um sich
von der Übereinstimmung, Identität der beiden Klassen durch den
blossen Anblick (durch Inspektion) ihrer Ausdrücke zu überzeugen.
Dabei wird — damit diese Identität sich in der Form der beiden Aus-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 72. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/96>, abgerufen am 27.04.2024.
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