Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.

oder rückwärts als Subsumtion lesen, denn 0 ist immer die zur einen
Seite disjunkte Ergänzung von ebendieser zur andern Seite der Gleichung.

Übrigens brauchen äquivalente Subsumtionen nicht gleiches Ge-
wicht zu haben [und vice versā: Subsumtionen von gleichem Gewicht
brauchen nicht äquivalent zu sein, abgesehen von der engeren Geltung].

Denn ist (A ⊆ B) = (C ⊆ D) so folgt zwar A₁ + B = C₁ + D nach
λ), und hieraus durch beiderseitiges Negiren auch A B₁ = C D₁; dagegen

[Abbildung]

[Abbildung] Fig. 8.

können diese Relationen doch sehr wohl bestehen,
ohne dass A₁ B = C₁ D sein müsste, sowie umgekehrt.

Ersteres zeigt die Figur 8, worin A ein Kreis,
B und D (überhalbkreisgrosse) Segmente, und C das
symmetrische Doppelsegment vorstellt.

Eine vierte Klasse: A + B₁, die Negation
des Gewichts, als eine bei der Subsumtion
A ⊆ B belangreiche zu betrachten, wird durch
die Betrachtung des Gewichts selbst überflüssig gemacht.

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Nachdem für jede Subsumtion die gestellte Aufgabe der Ermit-
telung ihrer Gültigkeitsklasse gelöst ist, lässt sich die Frage auch für
jede Gleichung leicht beantworten. Nach Def. (1) ist ja die Gleichung
nichts als das Produkt zweier Subsumtionen:
(A = B) = (A ⊆ B) (B ⊆ A)
und setzt man hier für die Subsumtionen rechterhand ihre Gültigkeits-
klassen, gebildet nach dem Schema des Th. λ), ein, so ergibt sich nach
Ausmultiplizirung von (A₁ + B) (B₁ + A) als die gesuchte Darstellung:
μ) (A = B) = A B + A₁ B₁
und damit zugleich ist auch gewonnen:
(A ≠ B) = A B₁ + A₁ B.

Jenes heisst: die Gleichung zwischen zwei Aussagen ist immer dann
und nur dann erfüllt, wenn sie beide zugleich gelten, oder alle beide nicht
gelten — was sich bei der für uns maassgebenden Fassung der Aus-
sagenäquivalenz ohnehin versteht.

Ungültig ist die Gleichung in den Fällen A B₁ + A₁ B, d. h. sobald
die eine Aussage gilt, die andere aber nicht gilt.

Soll die Gleichung wahr sein, sonach also — in Anbetracht ihres
konstanten Sinnes — stets wahr sein, so muss die letztere oder Un-