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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.

Diese stellt dasjenige vor, was allermindestens (das Minimum
dessen, was) zum Minor der Subsumtion addirt werden muss, damit
der Major herauskomme. In der That wird sein:
A · A1 B = 0 und A + A1 B = A + B = B
nach Th. 33+) Zus. und Th. 20+).

Durch die beiden Anforderungen, dass
A · X = 0 und A + X = B
sei, ist die Aussage, resp. Klasse X vollkommen bestimmt; es berechnet
sich X = A1 B und ergibt sich daneben als Valenzbedingung für X oder
Bedingung für die Auflösbarkeit des vorstehenden Gleichungenpaares, dass
A B1 = 0, das heisst A B sein müsse.

Die vereinigte Gleichung heisst in der That:
0 = A B1 + (A + B1) X + A1 B X1
und muss der arbiträre Term der Lösung, nämlich U (A + B1)1 = U A1 B
im andern aufgehn, von A1 B verschluckt werden -- vergl. das Th. 51x)
in § 29.

Diese Klasse A1 B kann füglich das "Gewicht" der Subsumtion, des
Urteils oder der Aussage A B genannt werden --
-- gleichwie man auch in der Arithmetik als "Gewicht einer Ungleichung"
A < B bezeichnet: den Überschuss B -- A des grösseren Membrums über
das kleinere.

Nach § 23 hätte in der That auch im identischen Kalkul B -- A = B A1 = A1 B
als Bedeutung dieser Differenz zu gelten, welche indessen hier nur unter
der Bedingung A B1 = 0 oder A B überhaupt einen Sinn hat.

Folgert man (hier wie dort) aus einer Subsumtion (resp. Un-
gleichung) eine andere von noch "grösserem" Gewichte, so sagt man:
die Folgerung finde "a fortiori" statt, die Konklusion gelte "um so
mehr", sobald die Prämisse gilt. Vergleichbar können freilich die Ge-
wichte zweier Aussagen nur dann genannt werden, wenn das eine der-
selben im andern als ein Teil enthalten ist, wo dann das dem andern
übergeordnete als das "grössere" Gewicht zu bezeichnen sein wird.
(Exempel siehe nachstehend bei Pr. II.)

Ist das Gewicht einer Subsumtion gleich 0, so muss dieselbe eine
Gleichung sein.

In der That gilt dann neben der Valenzbedingung A B1 = 0 auch noch
die Gleichung X = A1 B = 0, woraus nach Th. 24+) folgt:
A B1 + A1 B = 0, oder gemäss Th. 39): A = B.
In diese Gleichung muss dann also die Subsumtion A B degeneriren.

Umgekehrt ist 0 das Gewicht jeder Gleichung, mag man diese vor-

Sechzehnte Vorlesung.

Diese stellt dasjenige vor, was allermindestens (das Minimum
dessen, was) zum Minor der Subsumtion addirt werden muss, damit
der Major herauskomme. In der That wird sein:
A · A1 B = 0 und A + A1 B = A + B = B
nach Th. 33+) Zus. und Th. 20+).

Durch die beiden Anforderungen, dass
A · X = 0 und A + X = B
sei, ist die Aussage, resp. Klasse X vollkommen bestimmt; es berechnet
sich X = A1 B und ergibt sich daneben als Valenzbedingung für X oder
Bedingung für die Auflösbarkeit des vorstehenden Gleichungenpaares, dass
A B1 = 0, das heisst A ⊆ B sein müsse.

Die vereinigte Gleichung heisst in der That:
0 = A B1 + (A + B1) X + A1 B X1
und muss der arbiträre Term der Lösung, nämlich U (A + B1)1 = U A1 B
im andern aufgehn, von A1 B verschluckt werden — vergl. das Th. 51×)
in § 29.

Diese Klasse A1 B kann füglich das „Gewicht“ der Subsumtion, des
Urteils oder der Aussage A ⊆ B genannt werden —
— gleichwie man auch in der Arithmetik als „Gewicht einer Ungleichung“
A < B bezeichnet: den Überschuss B — A des grösseren Membrums über
das kleinere.

Nach § 23 hätte in der That auch im identischen Kalkul B — A = B A1 = A1 B
als Bedeutung dieser Differenz zu gelten, welche indessen hier nur unter
der Bedingung A B1 = 0 oder A ⊆ B überhaupt einen Sinn hat.

Folgert man (hier wie dort) aus einer Subsumtion (resp. Un-
gleichung) eine andere von noch „grösserem“ Gewichte, so sagt man:
die Folgerung finde „a fortiori“ statt, die Konklusion gelte „um so
mehr“, sobald die Prämisse gilt. Vergleichbar können freilich die Ge-
wichte zweier Aussagen nur dann genannt werden, wenn das eine der-
selben im andern als ein Teil enthalten ist, wo dann das dem andern
übergeordnete als das „grössere“ Gewicht zu bezeichnen sein wird.
(Exempel siehe nachstehend bei Pr. II.)

Ist das Gewicht einer Subsumtion gleich 0, so muss dieselbe eine
Gleichung sein.

In der That gilt dann neben der Valenzbedingung A B1 = 0 auch noch
die Gleichung X = A1 B = 0, woraus nach Th. 24+) folgt:
A B1 + A1 B = 0, oder gemäss Th. 39): A = B.
In diese Gleichung muss dann also die Subsumtion A ⊆ B degeneriren.

Umgekehrt ist 0 das Gewicht jeder Gleichung, mag man diese vor-

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[70/0094] Sechzehnte Vorlesung. Diese stellt dasjenige vor, was allermindestens (das Minimum dessen, was) zum Minor der Subsumtion addirt werden muss, damit der Major herauskomme. In der That wird sein: A · A1 B = 0 und A + A1 B = A + B = B nach Th. 33+) Zus. und Th. 20+). Durch die beiden Anforderungen, dass A · X = 0 und A + X = B sei, ist die Aussage, resp. Klasse X vollkommen bestimmt; es berechnet sich X = A1 B und ergibt sich daneben als Valenzbedingung für X oder Bedingung für die Auflösbarkeit des vorstehenden Gleichungenpaares, dass A B1 = 0, das heisst A  B sein müsse. Die vereinigte Gleichung heisst in der That: 0 = A B1 + (A + B1) X + A1 B X1 und muss der arbiträre Term der Lösung, nämlich U (A + B1)1 = U A1 B im andern aufgehn, von A1 B verschluckt werden — vergl. das Th. 51×) in § 29. Diese Klasse A1 B kann füglich das „Gewicht“ der Subsumtion, des Urteils oder der Aussage A  B genannt werden — — gleichwie man auch in der Arithmetik als „Gewicht einer Ungleichung“ A < B bezeichnet: den Überschuss B — A des grösseren Membrums über das kleinere. Nach § 23 hätte in der That auch im identischen Kalkul B — A = B A1 = A1 B als Bedeutung dieser Differenz zu gelten, welche indessen hier nur unter der Bedingung A B1 = 0 oder A  B überhaupt einen Sinn hat. Folgert man (hier wie dort) aus einer Subsumtion (resp. Un- gleichung) eine andere von noch „grösserem“ Gewichte, so sagt man: die Folgerung finde „a fortiori“ statt, die Konklusion gelte „um so mehr“, sobald die Prämisse gilt. Vergleichbar können freilich die Ge- wichte zweier Aussagen nur dann genannt werden, wenn das eine der- selben im andern als ein Teil enthalten ist, wo dann das dem andern übergeordnete als das „grössere“ Gewicht zu bezeichnen sein wird. (Exempel siehe nachstehend bei Pr. II.) Ist das Gewicht einer Subsumtion gleich 0, so muss dieselbe eine Gleichung sein. In der That gilt dann neben der Valenzbedingung A B1 = 0 auch noch die Gleichung X = A1 B = 0, woraus nach Th. 24+) folgt: A B1 + A1 B = 0, oder gemäss Th. 39): A = B. In diese Gleichung muss dann also die Subsumtion A  B degeneriren. Umgekehrt ist 0 das Gewicht jeder Gleichung, mag man diese vor-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 70. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/94>, abgerufen am 27.04.2024.