Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.

welchen schon Peirce⁸ gegeben, und zuvor McColl³ — indessen blos
als eine Subsumtion (implication), statt Gleichung. Man kann ihn
dahin aussprechen:

Die „Gültigkeitsklasse“ der Subsumtion A ⊆ B ist die Klasse der
Gelegenheiten, wo A nicht gilt, oder auch B gilt.

Anstatt den Satz, wie hier ausgeführt, auf das Prinzip ε) zurück-
zuführen, rechtfertigt Peirce denselben direkt durch eine Überlegung,
die wir jetzt ebenfalls anstellen wollen.

Wegen der Allgemeingültigkeit der Formel 0 ⊆ B — kraft
Def. (2̄_×) — ist die Subsumtion A ⊆ B jedenfalls immer dann richtig,
wenn A = 0 ist, d. h. wenn die Aussage A ungültig ist; dies ist der
Fall in welchem A₁ = i ist, oder die Aussage A₁ gilt.

Ferner gilt die Subsumtion A ⊆ B auch, sobald die Aussage B
gilt. Für B = i kommt sie nämlich auf die kraft Def. (2̄₊) anzuer-
kennende Formel A ⊆ i hinaus. Mit andern Worten: gilt B über-
haupt, gilt es stets, so gilt es auch dann, wenn A gilt.

Die Gültigkeitsklasse unsrer Subsumtion ist darnach allerminde-
stens A₁ + B.

Wenn A gilt und zugleich B nicht gilt, d. h. also in den durch
den Ausdruck A B₁ zusammengefassten Fällen, ist die Subsumtion jeden-
falls ungültig.

Da aber:
A₁ + B + A B₁ = i
nach Th. 33₊) Zusatz ist, so sind hiermit alle denkbaren Fälle erschöpft
und ist dargethan, dass A₁ + B die volle Gültigkeitsklasse der Subsum-
tion A ⊆ B sein muss, wie zu zeigen war.

Aus dem so gewonnenen Satze λ), wofern er als allgemeingültig
zugelassen wird, fliesst umgekehrt auch wieder das Prinzip ε), indem
nach bekannten Sätzen — cf. Th. 5̄₊) etc. — sein muss:
(A = i) = (i ⊆ A) = i₁ + A = 0 + A = A.

Die Aussage A B₁ ist die Klasse für die Fälle der Ungültigkeit der
Subsumtion A ⊆ B; sie ist die Negation der Gültigkeitsklasse A₁ + B
indem A B₁ = (A₁ + B)₁. Dieselbe muss verschwinden, wenn die Sub-
sumtion (stets) wahr sein soll — in Übereinstimmung mit Th. 3̅8̅_×);
die Gültigkeitsklasse A₁ + B der Subsumtion dagegen muss alsdann
gleich i sein (und umgekehrt). Zur Verifikation der Aussage genügt
es jedoch, nur das eine von beiden nachzusehen.

Von Interesse ist aber noch eine dritte Aussage oder Klasse,
nämlich die A₁ B.