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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.
welches durch Anwendung des Th. 32) auf sich selbst zu gewinnen ist,
und auch als Formel des Gebietekalkuls gilt, nämlich aus Th. 32) kraft
32) hervorgeht.

Man kann die beiden Satzgruppen th) und i) zusammenfassend,
das Ergebniss noch formell verallgemeinern zu:
*k) (A1 B1) = (A B) = (A = B1) = (A1 = B)
oder auch:
(A1 B) = (A B1) = (A = B) = (A1 = B1)
denn in Anbetracht, dass B gleichwie jede Aussage konstanten Sinnes
nur entweder gleich 0 oder gleich i sein kann, gehen die Formeln k)
das eine mal in th) das andremal in i) über.

Hier ist das erste und das dritte Gleichheitszeichen auch im Gebiete-
kalkul rechtskräftig, das zweite oder mittlere indessen nicht, samt den Ver-
gleichungen, die sich auf dieses stützen mögen.

Die Äquivalenz der drei letzten Aussagenausdrücke in k) lehrt
folgendes: Bei einer Gleichung des Aussagenkalkuls ist es einerlei, ob man
den Negationsstrich an ihrer linken Seite, oder am Gleichheitszeichen, oder
an ihrer rechten Seite anbringt. Die Operation des Negirens kann an-
statt an der Gleichung selbst, auch blos an einer Seite derselben voll-
zogen werden.

Überdies zeigt uns das Th. k), dass im Kalkul mit Aussagen kon-
stanten Sinnes eine Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben
lässt; die Zeichen (und ) sind hier entbehrlich -- was alles im
Gebietekalkul, wie wir sehen werden keineswegs der Fall ist.

Es kommt uns jetzt darauf an: jede Beziehung, welche zwischen
zwei Aussagen A und B behauptet werden kann -- aufgefasst als Klasse
der Gelegenheiten, bei denen diese Beziehung zutrifft -- auszudrücken
durch A und B selber -- d. h. durch die Klassen der Gelegenheiten, wo
ebendiese Aussagen, einzeln genommen, zutreffen oder nicht zutreffen.

Als ausreichend wird es sich herausstellen, wenn dieses Problem
für eine Subsumtion
A B
gelöst wird.

Die Lösung liefert uns bereits das Theorem e), indem wir dar-
nach kraft Th. 38x) und 32) oder unmittelbar kraft Th. 38+) haben
müssen:
(A B) = (A B1 = 0) = {(A B1)1 = i} = (A1 + B = i) = A1 + B.

Hiermit ist nun der fundamentale Satz gewonnen:
l) (A B) = A1 + B,

Sechzehnte Vorlesung.
welches durch Anwendung des Th. 3̅2̅) auf sich selbst zu gewinnen ist,
und auch als Formel des Gebietekalkuls gilt, nämlich aus Th. 32) kraft
3̅2̅) hervorgeht.

Man kann die beiden Satzgruppen ϑ) und ι) zusammenfassend,
das Ergebniss noch formell verallgemeinern zu:
*ϰ) (A1 ≠ B1) = (A ≠ B) = (A = B1) = (A1 = B)
oder auch:
(A1 ≠ B) = (A ≠ B1) = (A = B) = (A1 = B1)
denn in Anbetracht, dass B gleichwie jede Aussage konstanten Sinnes
nur entweder gleich 0 oder gleich i sein kann, gehen die Formeln ϰ)
das eine mal in ϑ) das andremal in ι) über.

Hier ist das erste und das dritte Gleichheitszeichen auch im Gebiete-
kalkul rechtskräftig, das zweite oder mittlere indessen nicht, samt den Ver-
gleichungen, die sich auf dieses stützen mögen.

Die Äquivalenz der drei letzten Aussagenausdrücke in ϰ) lehrt
folgendes: Bei einer Gleichung des Aussagenkalkuls ist es einerlei, ob man
den Negationsstrich an ihrer linken Seite, oder am Gleichheitszeichen, oder
an ihrer rechten Seite anbringt. Die Operation des Negirens kann an-
statt an der Gleichung selbst, auch blos an einer Seite derselben voll-
zogen werden.

Überdies zeigt uns das Th. ϰ), dass im Kalkul mit Aussagen kon-
stanten Sinnes eine Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben
lässt; die Zeichen ≠ (und ⊆ ) sind hier entbehrlich — was alles im
Gebietekalkul, wie wir sehen werden keineswegs der Fall ist.

Es kommt uns jetzt darauf an: jede Beziehung, welche zwischen
zwei Aussagen A und B behauptet werden kann — aufgefasst als Klasse
der Gelegenheiten, bei denen diese Beziehung zutrifft — auszudrücken
durch A und B selber — d. h. durch die Klassen der Gelegenheiten, wo
ebendiese Aussagen, einzeln genommen, zutreffen oder nicht zutreffen.

Als ausreichend wird es sich herausstellen, wenn dieses Problem
für eine Subsumtion
A ⊆ B
gelöst wird.

Die Lösung liefert uns bereits das Theorem ε), indem wir dar-
nach kraft Th. 3̅8̅×) und 3̅2̅) oder unmittelbar kraft Th. 3̅8̅+) haben
müssen:
(A ⊆ B) = (A B1 = 0) = {(A B1)1 = i} = (A1 + B = i) = A1 + B.

Hiermit ist nun der fundamentale Satz gewonnen:
λ) (A ⊆ B) = A1 + B,

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[68/0092] Sechzehnte Vorlesung. welches durch Anwendung des Th. 3̅2̅) auf sich selbst zu gewinnen ist, und auch als Formel des Gebietekalkuls gilt, nämlich aus Th. 32) kraft 3̅2̅) hervorgeht. Man kann die beiden Satzgruppen ϑ) und ι) zusammenfassend, das Ergebniss noch formell verallgemeinern zu: *ϰ) (A1 ≠ B1) = (A ≠ B) = (A = B1) = (A1 = B) oder auch: (A1 ≠ B) = (A ≠ B1) = (A = B) = (A1 = B1) denn in Anbetracht, dass B gleichwie jede Aussage konstanten Sinnes nur entweder gleich 0 oder gleich i sein kann, gehen die Formeln ϰ) das eine mal in ϑ) das andremal in ι) über. Hier ist das erste und das dritte Gleichheitszeichen auch im Gebiete- kalkul rechtskräftig, das zweite oder mittlere indessen nicht, samt den Ver- gleichungen, die sich auf dieses stützen mögen. Die Äquivalenz der drei letzten Aussagenausdrücke in ϰ) lehrt folgendes: Bei einer Gleichung des Aussagenkalkuls ist es einerlei, ob man den Negationsstrich an ihrer linken Seite, oder am Gleichheitszeichen, oder an ihrer rechten Seite anbringt. Die Operation des Negirens kann an- statt an der Gleichung selbst, auch blos an einer Seite derselben voll- zogen werden. Überdies zeigt uns das Th. ϰ), dass im Kalkul mit Aussagen kon- stanten Sinnes eine Ungleichung sich immer auch als Gleichung schreiben lässt; die Zeichen ≠ (und  ) sind hier entbehrlich — was alles im Gebietekalkul, wie wir sehen werden keineswegs der Fall ist. Es kommt uns jetzt darauf an: jede Beziehung, welche zwischen zwei Aussagen A und B behauptet werden kann — aufgefasst als Klasse der Gelegenheiten, bei denen diese Beziehung zutrifft — auszudrücken durch A und B selber — d. h. durch die Klassen der Gelegenheiten, wo ebendiese Aussagen, einzeln genommen, zutreffen oder nicht zutreffen. Als ausreichend wird es sich herausstellen, wenn dieses Problem für eine Subsumtion A  B gelöst wird. Die Lösung liefert uns bereits das Theorem ε), indem wir dar- nach kraft Th. 3̅8̅×) und 3̅2̅) oder unmittelbar kraft Th. 3̅8̅+) haben müssen: (A  B) = (A B1 = 0) = {(A B1)1 = i} = (A1 + B = i) = A1 + B. Hiermit ist nun der fundamentale Satz gewonnen: λ) (A  B) = A1 + B,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 68. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/92>, abgerufen am 27.04.2024.