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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
weil es rechtwinklige Dreiecke gibt, die Aussage also in gewissen Fällen
-- nämlich sooft man sie anwendet auf ein wirklich rechtwinkliges Drei-
eck A B G -- wahr sein wird, und doch ist auch
A i,
weil es auch nicht-rechtwinklige Dreiecke gibt, die unter A B G verstanden
werden können.

Für dergleichen Aussagen kann dann also auch das Th. e) mit allen
denen, die dasselbe mit bedingen und wenigstens einem Teil von den
Sätzen, die es nach sich zieht, nicht zutreffen.

Ebenso gelten die Formeln z), e) selbstverständlich nicht, wenn A ein
beliebiges Gebiet vorstellen sollte.

Man ersieht hieraus von neuem, dass während die Formeln des Gebiete-
kalkuls sich ohne weiteres in solche des Aussagenkalkuls umdeuten liessen,
das Umgekehrte nicht der Fall ist, dass es vielmehr Formeln des Aussagen-
kalkuls gibt, die im Gebietekalkul nicht allgemein zutreffen. Der Gebiete-
kalkul ist allgemeiner, umfassender als der Aussagenkalkul, schliesst letzteren
als einen wirklich nur besonderen (partikularen) Fall in sich.

Da nun nach Th. 30+) zum Beispiel sein muss:
(A = 0) + (A = 0)1 = i, oder also: (A = 0) + (A 0) = i,
so ergibt sich hieraus durch Einsetzung der dem zweiten Term linker-
hand nach z) äquivalenten Aussage sogleich: (A = 0) + (A = i) = i,
d. h. es ist auch das Th. d) aus e) bewiesen.

In Verbindung mit a) zeigt d), nach Def. (6), dass die Aussagen
A = 0 und A = i die Negationen von einander sind.

Durch Hinzuziehung noch anderer Äquivalenzen kann man die
Formeln z), e) noch erweitern zu dem Tableau:
*th) (A1 i) = (A 0) = (A = i) = (A1 = 0)
*i) (A1 0) = (A i) = (A = 0) = (A1 = i)
wo die rechts hinzugekommenen Ausdrücke sich durch beiderseitiges
Negiren nach Th. 32) aus dem vorhergehenden Ausdruck ergeben,
welcher ja selbst hier eine Gleichung ist. Nachdem somit die Gleich-
heit der drei letzten Ausdrücke in th), i) bereits erkannt ist, bleibt
nur noch der Hinzutritt des ersten Ausdrucks linkerhand daselbst zu
rechtfertigen. Setzt man aber in der mittleren Gleichung von einer
dieser beiden Zeilen A1 für A, so wird dadurch die Verbindung zwischen
dem ersten und letzten Ausdruck der andern von diesen beiden Zeilen
hergestellt.

Noch andre Zurückführungen der vier Ausdrücke th) oder i) auf ein-
ander würden sich nach dem Schema ergeben:
(A B) = (A1 B1)

5*

§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
weil es rechtwinklige Dreiecke gibt, die Aussage also in gewissen Fällen
— nämlich sooft man sie anwendet auf ein wirklich rechtwinkliges Drei-
eck Α Β Γ — wahr sein wird, und doch ist auch
A ≠ i,
weil es auch nicht-rechtwinklige Dreiecke gibt, die unter Α Β Γ verstanden
werden können.

Für dergleichen Aussagen kann dann also auch das Th. ε) mit allen
denen, die dasselbe mit bedingen und wenigstens einem Teil von den
Sätzen, die es nach sich zieht, nicht zutreffen.

Ebenso gelten die Formeln ζ), η) selbstverständlich nicht, wenn A ein
beliebiges Gebiet vorstellen sollte.

Man ersieht hieraus von neuem, dass während die Formeln des Gebiete-
kalkuls sich ohne weiteres in solche des Aussagenkalkuls umdeuten liessen,
das Umgekehrte nicht der Fall ist, dass es vielmehr Formeln des Aussagen-
kalkuls gibt, die im Gebietekalkul nicht allgemein zutreffen. Der Gebiete-
kalkul ist allgemeiner, umfassender als der Aussagenkalkul, schliesst letzteren
als einen wirklich nur besonderen (partikularen) Fall in sich.

Da nun nach Th. 3̅0̅+) zum Beispiel sein muss:
(A = 0) + (A = 0)1 = i, oder also: (A = 0) + (A ≠ 0) = i,
so ergibt sich hieraus durch Einsetzung der dem zweiten Term linker-
hand nach ζ) äquivalenten Aussage sogleich: (A = 0) + (A = i) = i,
d. h. es ist auch das Th. δ) aus ε) bewiesen.

In Verbindung mit α) zeigt δ), nach Def. (6̅), dass die Aussagen
A = 0 und A = i die Negationen von einander sind.

Durch Hinzuziehung noch anderer Äquivalenzen kann man die
Formeln ζ), η) noch erweitern zu dem Tableau:
*ϑ) (A1 ≠ i) = (A ≠ 0) = (A = i) = (A1 = 0)
*ι) (A1 ≠ 0) = (A ≠ i) = (A = 0) = (A1 = i)
wo die rechts hinzugekommenen Ausdrücke sich durch beiderseitiges
Negiren nach Th. 32) aus dem vorhergehenden Ausdruck ergeben,
welcher ja selbst hier eine Gleichung ist. Nachdem somit die Gleich-
heit der drei letzten Ausdrücke in ϑ), ι) bereits erkannt ist, bleibt
nur noch der Hinzutritt des ersten Ausdrucks linkerhand daselbst zu
rechtfertigen. Setzt man aber in der mittleren Gleichung von einer
dieser beiden Zeilen A1 für A, so wird dadurch die Verbindung zwischen
dem ersten und letzten Ausdruck der andern von diesen beiden Zeilen
hergestellt.

Noch andre Zurückführungen der vier Ausdrücke ϑ) oder ι) auf ein-
ander würden sich nach dem Schema ergeben:
(A ≠ B) = (A1 ≠ B1)

5*
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[67/0091] § 32. Vom Gewicht der Aussagen. weil es rechtwinklige Dreiecke gibt, die Aussage also in gewissen Fällen — nämlich sooft man sie anwendet auf ein wirklich rechtwinkliges Drei- eck Α Β Γ — wahr sein wird, und doch ist auch A ≠ i, weil es auch nicht-rechtwinklige Dreiecke gibt, die unter Α Β Γ verstanden werden können. Für dergleichen Aussagen kann dann also auch das Th. ε) mit allen denen, die dasselbe mit bedingen und wenigstens einem Teil von den Sätzen, die es nach sich zieht, nicht zutreffen. Ebenso gelten die Formeln ζ), η) selbstverständlich nicht, wenn A ein beliebiges Gebiet vorstellen sollte. Man ersieht hieraus von neuem, dass während die Formeln des Gebiete- kalkuls sich ohne weiteres in solche des Aussagenkalkuls umdeuten liessen, das Umgekehrte nicht der Fall ist, dass es vielmehr Formeln des Aussagen- kalkuls gibt, die im Gebietekalkul nicht allgemein zutreffen. Der Gebiete- kalkul ist allgemeiner, umfassender als der Aussagenkalkul, schliesst letzteren als einen wirklich nur besonderen (partikularen) Fall in sich. Da nun nach Th. 3̅0̅+) zum Beispiel sein muss: (A = 0) + (A = 0)1 = i, oder also: (A = 0) + (A ≠ 0) = i, so ergibt sich hieraus durch Einsetzung der dem zweiten Term linker- hand nach ζ) äquivalenten Aussage sogleich: (A = 0) + (A = i) = i, d. h. es ist auch das Th. δ) aus ε) bewiesen. In Verbindung mit α) zeigt δ), nach Def. (6̅), dass die Aussagen A = 0 und A = i die Negationen von einander sind. Durch Hinzuziehung noch anderer Äquivalenzen kann man die Formeln ζ), η) noch erweitern zu dem Tableau: *ϑ) (A1 ≠ i) = (A ≠ 0) = (A = i) = (A1 = 0) *ι) (A1 ≠ 0) = (A ≠ i) = (A = 0) = (A1 = i) wo die rechts hinzugekommenen Ausdrücke sich durch beiderseitiges Negiren nach Th. 32) aus dem vorhergehenden Ausdruck ergeben, welcher ja selbst hier eine Gleichung ist. Nachdem somit die Gleich- heit der drei letzten Ausdrücke in ϑ), ι) bereits erkannt ist, bleibt nur noch der Hinzutritt des ersten Ausdrucks linkerhand daselbst zu rechtfertigen. Setzt man aber in der mittleren Gleichung von einer dieser beiden Zeilen A1 für A, so wird dadurch die Verbindung zwischen dem ersten und letzten Ausdruck der andern von diesen beiden Zeilen hergestellt. Noch andre Zurückführungen der vier Ausdrücke ϑ) oder ι) auf ein- ander würden sich nach dem Schema ergeben: (A ≠ B) = (A1 ≠ B1) 5*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 67. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/91>, abgerufen am 27.04.2024.