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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.
den Subsumtion (A = i) A -- d. h. wenn die Aussage A stets gilt,
so gilt sie -- implicite schon Gebrauch gemacht, sodass der Beweis nicht
ganz frei von dem Vorwurfe ist, als ein Zirkelschluss zu erscheinen. Immer-
hin hat derselbe den Wert, zu zeigen, dass wenn der denknotwendige
Übergang von der Behauptung {(A = i) = A} = i zur Behauptung
(A = i) = A selbst in dem vorstehenden besonderen Falle, gewisser-
massen nur ein mal zugegeben wird, dann der gleiche Übergang von
(A = i) zu A und umgekehrt von A zu A = i auch allgemein zugegeben
ist. Wir können uns eben von der allgemeinen Denknotwendigkeit auch
im besonderen Falle nicht emanzipiren.

Indessen gibt der hier zutage getretene Umstand einen Beweggrund
ab, der Voranstellung des Satzes e) vor d) den Vorzug zu geben vor der
umgekehrten Anordnung.

Wir denken uns (demnach) jetzt den Satz e) an die Spitze
gestellt.

Gilt derselbe für jede in Betracht kommende Aussage A, so muss
nach Th. 32) auch sein:
(A = 0) = (A1 = i) = A1
und hiernach weiter:
(A 0) = (A = 0)1 = (A1)1 = A,
endlich direkt:
(A i) = (A = i)1 = (A)1 = A1.

Durch Vergleichung folgt somit:
*x) (A 0) = (A = i),
und
*e) (A i) = (A = 0),
d. h. die Subsumtionen g) gelten auch umgekehrt, sie gelten als
Gleichungen. Sobald eine Aussage nicht niemals wahr ist, muss sie
stets wahr sein und vice versan, d. h. auch sobald sie nicht stets wahr
ist, kann niemals dieselbe wahr sein.

Im Kalkul mit Aussagen konstanten Sinnes ist jede Ungleichung mit
der rechten Seite 0 äquivalent einer Gleichung mit der rechten Seite i, und
kann ebenso eine Ungleichung mit der rechten Seite i umgeschrieben
werden in eine Gleichung mit der rechten Seite 0.

Es sei in Erinnerung gebracht, dass für Aussagen von veränderlichem
Inhalte obzwar konstantem Wortlaute, z. B. für die "Gelegenheitsaussagen",
deren Sinn mit der Gelegenheit variirt, bei welcher sie angebracht werden
(§ 28), obiges nicht gilt.

Nehmen wir z. B. für A die Aussage: Das Dreieck A B G ist recht-
winklig, so ist
A 0,

Sechzehnte Vorlesung.
den Subsumtion (A = i) ⊆ A — d. h. wenn die Aussage A stets gilt,
so gilt sie — implicite schon Gebrauch gemacht, sodass der Beweis nicht
ganz frei von dem Vorwurfe ist, als ein Zirkelschluss zu erscheinen. Immer-
hin hat derselbe den Wert, zu zeigen, dass wenn der denknotwendige
Übergang von der Behauptung {(A = i) = A} = i zur Behauptung
(A = i) = A selbst in dem vorstehenden besonderen Falle, gewisser-
massen nur ein mal zugegeben wird, dann der gleiche Übergang von
(A = i) zu A und umgekehrt von A zu A = i auch allgemein zugegeben
ist. Wir können uns eben von der allgemeinen Denknotwendigkeit auch
im besonderen Falle nicht emanzipiren.

Indessen gibt der hier zutage getretene Umstand einen Beweggrund
ab, der Voranstellung des Satzes ε) vor δ) den Vorzug zu geben vor der
umgekehrten Anordnung.

Wir denken uns (demnach) jetzt den Satz ε) an die Spitze
gestellt.

Gilt derselbe für jede in Betracht kommende Aussage A, so muss
nach Th. 3̅2̅) auch sein:
(A = 0) = (A1 = i) = A1
und hiernach weiter:
(A ≠ 0) = (A = 0)1 = (A1)1 = A,
endlich direkt:
(A ≠ i) = (A = i)1 = (A)1 = A1.

Durch Vergleichung folgt somit:
*ξ) (A ≠ 0) = (A = i),
und
*η) (A ≠ i) = (A = 0),
d. h. die Subsumtionen γ) gelten auch umgekehrt, sie gelten als
Gleichungen. Sobald eine Aussage nicht niemals wahr ist, muss sie
stets wahr sein und vice versā, d. h. auch sobald sie nicht stets wahr
ist, kann niemals dieselbe wahr sein.

Im Kalkul mit Aussagen konstanten Sinnes ist jede Ungleichung mit
der rechten Seite 0 äquivalent einer Gleichung mit der rechten Seite i, und
kann ebenso eine Ungleichung mit der rechten Seite i umgeschrieben
werden in eine Gleichung mit der rechten Seite 0.

Es sei in Erinnerung gebracht, dass für Aussagen von veränderlichem
Inhalte obzwar konstantem Wortlaute, z. B. für die „Gelegenheitsaussagen“,
deren Sinn mit der Gelegenheit variirt, bei welcher sie angebracht werden
(§ 28), obiges nicht gilt.

Nehmen wir z. B. für A die Aussage: Das Dreieck Α Β Γ ist recht-
winklig, so ist
A ≠ 0,

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[66/0090] Sechzehnte Vorlesung. den Subsumtion (A = i)  A — d. h. wenn die Aussage A stets gilt, so gilt sie — implicite schon Gebrauch gemacht, sodass der Beweis nicht ganz frei von dem Vorwurfe ist, als ein Zirkelschluss zu erscheinen. Immer- hin hat derselbe den Wert, zu zeigen, dass wenn der denknotwendige Übergang von der Behauptung {(A = i) = A} = i zur Behauptung (A = i) = A selbst in dem vorstehenden besonderen Falle, gewisser- massen nur ein mal zugegeben wird, dann der gleiche Übergang von (A = i) zu A und umgekehrt von A zu A = i auch allgemein zugegeben ist. Wir können uns eben von der allgemeinen Denknotwendigkeit auch im besonderen Falle nicht emanzipiren. Indessen gibt der hier zutage getretene Umstand einen Beweggrund ab, der Voranstellung des Satzes ε) vor δ) den Vorzug zu geben vor der umgekehrten Anordnung. Wir denken uns (demnach) jetzt den Satz ε) an die Spitze gestellt. Gilt derselbe für jede in Betracht kommende Aussage A, so muss nach Th. 3̅2̅) auch sein: (A = 0) = (A1 = i) = A1 und hiernach weiter: (A ≠ 0) = (A = 0)1 = (A1)1 = A, endlich direkt: (A ≠ i) = (A = i)1 = (A)1 = A1. Durch Vergleichung folgt somit: *ξ) (A ≠ 0) = (A = i), und *η) (A ≠ i) = (A = 0), d. h. die Subsumtionen γ) gelten auch umgekehrt, sie gelten als Gleichungen. Sobald eine Aussage nicht niemals wahr ist, muss sie stets wahr sein und vice versā, d. h. auch sobald sie nicht stets wahr ist, kann niemals dieselbe wahr sein. Im Kalkul mit Aussagen konstanten Sinnes ist jede Ungleichung mit der rechten Seite 0 äquivalent einer Gleichung mit der rechten Seite i, und kann ebenso eine Ungleichung mit der rechten Seite i umgeschrieben werden in eine Gleichung mit der rechten Seite 0. Es sei in Erinnerung gebracht, dass für Aussagen von veränderlichem Inhalte obzwar konstantem Wortlaute, z. B. für die „Gelegenheitsaussagen“, deren Sinn mit der Gelegenheit variirt, bei welcher sie angebracht werden (§ 28), obiges nicht gilt. Nehmen wir z. B. für A die Aussage: Das Dreieck Α Β Γ ist recht- winklig, so ist A ≠ 0,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 66. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/90>, abgerufen am 24.11.2024.