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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Aussage A gilt, das heisst aber: sie hätte stets zu gelten -- in An-
betracht, dass man für A auch eine stets gültige Aussage (dergleichen
es ja gibt*)) wählen kann. Sobald ferner die Aussage 0 gilt, muss
jede beliebige Aussage A gelten; da es aber auch stets ungültige Aus-
sagen A gibt*), so kann die Gültigkeitsklasse der Nullaussage nur
die leere sein. Es war demnach zunächst die Aussage i als das
Symbol jeder unbedingt gültigen und die Aussage 0 als der Reprä-
sentant jeder unbedingt falschen Aussage in Erinnerung zu rufen.

Was die Def. (1n) der Aussagenäquivalenz betrifft, so wurde in
§ 29 gezeigt, wie der scheinbare circulus in definiendo, nämlich der
Gebrauch einer Äquivalenterklärung bei:
(A = B) = (A B) (B A)
sich vermeiden lässt.

Dagegen setzte diese Erklärung das Verstehen eines Aussagen-
produktes bereits voraus, dessen Definition derjenigen der Gleichheit
hier vorangestellt sein müsste -- wie denn überhaupt die Reihenfolge
in der die Grundlagen vorzutragen wären, und zufolge dessen zum
Teil auch die Anordnung der Beweise im reinen, selbständig er-
richteten Aussagenkalkul sich zu Anfang als eine andre aufdrängt, als
wie sie im Klassenkalkul gegeben worden.

Durch die Def. (3nx) (C A B) = (C A) (C B) in dieser
ursprünglichen oder in irgend einer der dieser äquivalenten Formen
kann aber das Aussagenprodukt A B nicht ohne circulus definirt werden,
weil rechterhand, behufs der Erklärung, selbst zu einem Aussagen-
produkt gegriffen wird -- ganz abgesehen davon, dass auch (entgegen
dem vorhin Bemerkten) die Erklärung der Aussagenäquivalenz wieder
ihrerseits vorausgegangen sein müsste. Ohne dass man zwei Annahmen
(von Merkmalen) als gleichzeitig vorauszusetzende hinzustellen ver-
möchte, lässt sich überhaupt nichts definiren**) Das Aussagenprodukt
A B muss wohl oder übel direkt, vermittelst seiner Interpretation, de-
finirt werden als die Aussage, welche ausspricht, dass die Aussage A
und die B gleichzeitig gelten; und die Gleichzeitigkeit scheint zu den
Kategorieen oder Urbegriffen zu gehören.

Was wir im Gebietekalkul unter (3x) als eine Definition hinstellen

*) Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren
Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind.
*) Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren
Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind.
**) Wenigstens müsste hier die Gleichzeitigkeit der beiden speziellen Annahmen
C A und C B postulirt werden, um diejenige irgend zweier Annahmen oder
Aussagen A und B zu definiren.

§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Aussage A gilt, das heisst aber: sie hätte stets zu gelten — in An-
betracht, dass man für A auch eine stets gültige Aussage (dergleichen
es ja gibt*)) wählen kann. Sobald ferner die Aussage 0 gilt, muss
jede beliebige Aussage A gelten; da es aber auch stets ungültige Aus-
sagen A gibt*), so kann die Gültigkeitsklasse der Nullaussage nur
die leere sein. Es war demnach zunächst die Aussage i als das
Symbol jeder unbedingt gültigen und die Aussage 0 als der Reprä-
sentant jeder unbedingt falschen Aussage in Erinnerung zu rufen.

Was die Def. (1̄) der Aussagenäquivalenz betrifft, so wurde in
§ 29 gezeigt, wie der scheinbare circulus in definiendo, nämlich der
Gebrauch einer Äquivalenterklärung bei:
(A = B) = (A ⊆ B) (B ⊆ A)
sich vermeiden lässt.

Dagegen setzte diese Erklärung das Verstehen eines Aussagen-
produktes bereits voraus, dessen Definition derjenigen der Gleichheit
hier vorangestellt sein müsste — wie denn überhaupt die Reihenfolge
in der die Grundlagen vorzutragen wären, und zufolge dessen zum
Teil auch die Anordnung der Beweise im reinen, selbständig er-
richteten Aussagenkalkul sich zu Anfang als eine andre aufdrängt, als
wie sie im Klassenkalkul gegeben worden.

Durch die Def. (3̄×) (C ⊆ A B) = (C ⊆ A) (C ⊆ B) in dieser
ursprünglichen oder in irgend einer der dieser äquivalenten Formen
kann aber das Aussagenprodukt A B nicht ohne circulus definirt werden,
weil rechterhand, behufs der Erklärung, selbst zu einem Aussagen-
produkt gegriffen wird — ganz abgesehen davon, dass auch (entgegen
dem vorhin Bemerkten) die Erklärung der Aussagenäquivalenz wieder
ihrerseits vorausgegangen sein müsste. Ohne dass man zwei Annahmen
(von Merkmalen) als gleichzeitig vorauszusetzende hinzustellen ver-
möchte, lässt sich überhaupt nichts definiren**) Das Aussagenprodukt
A B muss wohl oder übel direkt, vermittelst seiner Interpretation, de-
finirt werden als die Aussage, welche ausspricht, dass die Aussage A
und die B gleichzeitig gelten; und die Gleichzeitigkeit scheint zu den
Kategorieen oder Urbegriffen zu gehören.

Was wir im Gebietekalkul unter (3×) als eine Definition hinstellen

*) Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren
Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind.
*) Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren
Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind.
**) Wenigstens müsste hier die Gleichzeitigkeit der beiden speziellen Annahmen
C ⊆ A und C ⊆ B postulirt werden, um diejenige irgend zweier Annahmen oder
Aussagen A und B zu definiren.
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[53/0077] § 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet. Aussage A gilt, das heisst aber: sie hätte stets zu gelten — in An- betracht, dass man für A auch eine stets gültige Aussage (dergleichen es ja gibt *)) wählen kann. Sobald ferner die Aussage 0 gilt, muss jede beliebige Aussage A gelten; da es aber auch stets ungültige Aus- sagen A gibt *), so kann die Gültigkeitsklasse der Nullaussage nur die leere sein. Es war demnach zunächst die Aussage i als das Symbol jeder unbedingt gültigen und die Aussage 0 als der Reprä- sentant jeder unbedingt falschen Aussage in Erinnerung zu rufen. Was die Def. (1̄) der Aussagenäquivalenz betrifft, so wurde in § 29 gezeigt, wie der scheinbare circulus in definiendo, nämlich der Gebrauch einer Äquivalenterklärung bei: (A = B) = (A  B) (B  A) sich vermeiden lässt. Dagegen setzte diese Erklärung das Verstehen eines Aussagen- produktes bereits voraus, dessen Definition derjenigen der Gleichheit hier vorangestellt sein müsste — wie denn überhaupt die Reihenfolge in der die Grundlagen vorzutragen wären, und zufolge dessen zum Teil auch die Anordnung der Beweise im reinen, selbständig er- richteten Aussagenkalkul sich zu Anfang als eine andre aufdrängt, als wie sie im Klassenkalkul gegeben worden. Durch die Def. (3̄×) (C  A B) = (C  A) (C  B) in dieser ursprünglichen oder in irgend einer der dieser äquivalenten Formen kann aber das Aussagenprodukt A B nicht ohne circulus definirt werden, weil rechterhand, behufs der Erklärung, selbst zu einem Aussagen- produkt gegriffen wird — ganz abgesehen davon, dass auch (entgegen dem vorhin Bemerkten) die Erklärung der Aussagenäquivalenz wieder ihrerseits vorausgegangen sein müsste. Ohne dass man zwei Annahmen (von Merkmalen) als gleichzeitig vorauszusetzende hinzustellen ver- möchte, lässt sich überhaupt nichts definiren **) Das Aussagenprodukt A B muss wohl oder übel direkt, vermittelst seiner Interpretation, de- finirt werden als die Aussage, welche ausspricht, dass die Aussage A und die B gleichzeitig gelten; und die Gleichzeitigkeit scheint zu den Kategorieen oder Urbegriffen zu gehören. Was wir im Gebietekalkul unter (3×) als eine Definition hinstellen *) Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind. *) Es ist damit auf gewisse Postulate des Aussagenkalkuls hingewiesen, deren Analoga im Klassenkalkul ausführlicher in § 7 besprochen sind. **) Wenigstens müsste hier die Gleichzeitigkeit der beiden speziellen Annahmen C  A und C  B postulirt werden, um diejenige irgend zweier Annahmen oder Aussagen A und B zu definiren.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 53. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/77>, abgerufen am 27.04.2024.