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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 30. Aufhören des Dualismus.
zusehen, um die Unerlaubtheit des Prozesses im allgemeinen dar-
zuthun.

Schon Prinzip I in der Fassung des Aussagenkalkuls: (a a) = i
schlechtweg dual umgeschrieben würde lauten:
(a a) = 0,
und somit geradezu in Widerspruch mit sich selbst treten; während näm-
lich der ursprüngliche Satz sagt, dass die Formel a a stets gelte, be-
hauptet der zweite oder dual umgeschriebene, dass sie (nämlich dieselbe
Formel, nur auf die zweite zulässige Art, nämlich von rechts nach links
als a a gelesen) niemals gelte.

Und ähnlich verhält es sich bei allen mit Ringelchen chiffrirten Theo-
remen, indem die durchgängig duale Umwandlung eines solchen Theorems
allemal hinauslaufen müsste auf die Verneinung seines dualen Gegenstücks
(im herkömmlichen Sinne), dessen Geltung doch mit ihm selbst ver-
bürgt ist.

Prinzip II, einfach dual umgeschrieben gäbe (sofern wir, statt und
, lieber major und minor tauschen):
(c a) (c b) + (b a)
und würde, was offenbar falsch ist, lehren, dass wenn c in a enthalten ist,
entweder es in dem nächsten besten Gebiet b, oder dieses in a enthalten
sein müsse.

Def. (1) der Gleichheit gäbe:
(b a) + (a b) = (a = b)
wonach a gleich b zu nennen wäre, wenn auch nur eines von den beiden
Gebieten, gleichviel welches, im andern enthalten ist.

Die Definitionen (2): (0 a) = i und (a 1) = i würden geben:
(a 1) = 0 und (0 a) = 0, würden also in Illustration des oben Ge-
sagten sich gegenseitig ableugnen.

Aus Def. (3) erhielten wir noch:
(a + b c) = (a c) + (b c), (c a b) = (c a) + (c b)
was ebenfalls leicht durch Beispiele als falsch darzuthun.

Etc. Und ähnlich, wie die Grundlagen schon die Umwandlung nicht
vertragen, so auch nicht das auf ihnen errichtete Gebäude von Konsequenzen.
Es würde beispielsweise Th. 40), Zus. 2 liefern:
(b a + c) + (b c a) = (b a),
was offenbar falsch. Etc.

Ebenso würden zumeist falsche Sätze sich ergeben, wenn man in
unsern Theoremen etwa die primären, gebietsrechnerisch verwendeten
Zeichen unverändert stehen liesse und nur die sekundären aussagen-
rechnerisch zu deutenden dem dualistischen Tausch unterwürfe -- wie

§ 30. Aufhören des Dualismus.
zusehen, um die Unerlaubtheit des Prozesses im allgemeinen dar-
zuthun.

Schon Prinzip I in der Fassung des Aussagenkalkuls: (a ⊆ a) = i
schlechtweg dual umgeschrieben würde lauten:
(a ⊆ a) = 0,
und somit geradezu in Widerspruch mit sich selbst treten; während näm-
lich der ursprüngliche Satz sagt, dass die Formel a ⊆ a stets gelte, be-
hauptet der zweite oder dual umgeschriebene, dass sie (nämlich dieselbe
Formel, nur auf die zweite zulässige Art, nämlich von rechts nach links
als a ⊆ a gelesen) niemals gelte.

Und ähnlich verhält es sich bei allen mit Ringelchen chiffrirten Theo-
remen, indem die durchgängig duale Umwandlung eines solchen Theorems
allemal hinauslaufen müsste auf die Verneinung seines dualen Gegenstücks
(im herkömmlichen Sinne), dessen Geltung doch mit ihm selbst ver-
bürgt ist.

Prinzip II, einfach dual umgeschrieben gäbe (sofern wir, statt ⊆ und
⊆ , lieber major und minor tauschen):
(c ⊆ a) ⊆ (c ⊆ b) + (b ⊆ a)
und würde, was offenbar falsch ist, lehren, dass wenn c in a enthalten ist,
entweder es in dem nächsten besten Gebiet b, oder dieses in a enthalten
sein müsse.

Def. (1) der Gleichheit gäbe:
(b ⊆ a) + (a ⊆ b) = (a = b)
wonach a gleich b zu nennen wäre, wenn auch nur eines von den beiden
Gebieten, gleichviel welches, im andern enthalten ist.

Die Definitionen (2): (0 ⊆ a) = i und (a ⊆ 1) = i würden geben:
(a ⊆ 1) = 0 und (0 ⊆ a) = 0, würden also in Illustration des oben Ge-
sagten sich gegenseitig ableugnen.

Aus Def. (3) erhielten wir noch:
(a + b ⊆ c) = (a ⊆ c) + (b ⊆ c), (c ⊆ a b) = (c ⊆ a) + (c ⊆ b)
was ebenfalls leicht durch Beispiele als falsch darzuthun.

Etc. Und ähnlich, wie die Grundlagen schon die Umwandlung nicht
vertragen, so auch nicht das auf ihnen errichtete Gebäude von Konsequenzen.
Es würde beispielsweise Th. 40), Zus. 2 liefern:
(b ⊆ a + c) + (b c ⊆ a) = (b ⊆ a),
was offenbar falsch. Etc.

Ebenso würden zumeist falsche Sätze sich ergeben, wenn man in
unsern Theoremen etwa die primären, gebietsrechnerisch verwendeten
Zeichen unverändert stehen liesse und nur die sekundären aussagen-
rechnerisch zu deutenden dem dualistischen Tausch unterwürfe — wie

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[45/0069] § 30. Aufhören des Dualismus. zusehen, um die Unerlaubtheit des Prozesses im allgemeinen dar- zuthun. Schon Prinzip I in der Fassung des Aussagenkalkuls: (a  a) = i schlechtweg dual umgeschrieben würde lauten: (a  a) = 0, und somit geradezu in Widerspruch mit sich selbst treten; während näm- lich der ursprüngliche Satz sagt, dass die Formel a  a stets gelte, be- hauptet der zweite oder dual umgeschriebene, dass sie (nämlich dieselbe Formel, nur auf die zweite zulässige Art, nämlich von rechts nach links als a  a gelesen) niemals gelte. Und ähnlich verhält es sich bei allen mit Ringelchen chiffrirten Theo- remen, indem die durchgängig duale Umwandlung eines solchen Theorems allemal hinauslaufen müsste auf die Verneinung seines dualen Gegenstücks (im herkömmlichen Sinne), dessen Geltung doch mit ihm selbst ver- bürgt ist. Prinzip II, einfach dual umgeschrieben gäbe (sofern wir, statt  und  , lieber major und minor tauschen): (c  a)  (c  b) + (b  a) und würde, was offenbar falsch ist, lehren, dass wenn c in a enthalten ist, entweder es in dem nächsten besten Gebiet b, oder dieses in a enthalten sein müsse. Def. (1) der Gleichheit gäbe: (b  a) + (a  b) = (a = b) wonach a gleich b zu nennen wäre, wenn auch nur eines von den beiden Gebieten, gleichviel welches, im andern enthalten ist. Die Definitionen (2): (0  a) = i und (a  1) = i würden geben: (a  1) = 0 und (0  a) = 0, würden also in Illustration des oben Ge- sagten sich gegenseitig ableugnen. Aus Def. (3) erhielten wir noch: (a + b  c) = (a  c) + (b  c), (c  a b) = (c  a) + (c  b) was ebenfalls leicht durch Beispiele als falsch darzuthun. Etc. Und ähnlich, wie die Grundlagen schon die Umwandlung nicht vertragen, so auch nicht das auf ihnen errichtete Gebäude von Konsequenzen. Es würde beispielsweise Th. 40), Zus. 2 liefern: (b  a + c) + (b c  a) = (b  a), was offenbar falsch. Etc. Ebenso würden zumeist falsche Sätze sich ergeben, wenn man in unsern Theoremen etwa die primären, gebietsrechnerisch verwendeten Zeichen unverändert stehen liesse und nur die sekundären aussagen- rechnerisch zu deutenden dem dualistischen Tausch unterwürfe — wie

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 45. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/69>, abgerufen am 27.04.2024.