Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>
§ 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze.

°1) Theorem. a = a.

2) Th. (a b) (b = c) (a c).

3) Th. (a = b) (b c) (a c).

4) Th. (a = b) (b = c) (a = c).

Die Definition (2) der identischen Null und Eins lautet:

°(2x) 0 a°(2+) a 1,
spricht aber die definitionsweise den Gebieten 0 und 1 beigelegte
Fundamentaleigenschaft in Form von Theoremen aus. Es würden
erst die Gleichungen:
(2x) Def. [Formel 1] (x a) = (x = 0)(2+) Def. [Formel 2] (a x) = (x = 1)
die Begriffserklärung ebendieser Gebiete 0, 1 auch in der für Defini-
tionen üblichen Form statuiren, indem sie ausdrücken, (links) dass
ein Gebiet x immer dann und nur dann*) 0 zu nennen sei, wenn das-
selbe in jedem Gebiet a enthalten, d. h. wenn für jedes a auch x a
ist, (rechts) etc.
5x) Th. (a 0) = (a = 0)5+) Th. (1 a) = (a = 1)

Definition (3) von Produkt und Summe (Peirce, McColl):

(3x) Def. (c a) (c b) = (c a b)(3+) Def. (a c) (b c) = (a + b c).

Dieselbe bestand aus den gesondert chiffrirten Teilen:

(3x)' (c a) (c b) (c a b)(3+)' (a c) (b c) (a + b c)
(3x)'' (c a b) (c a) (c b)(3+)'' (a + b c) (a c) (b c).
°6x) Th. a b a, a b b.°6+) Th. a a + b, b a + b.

Die Theoreme des § 6 waren subtilerer Art, auch im Grunde für
die Theorie entbehrlich; sie sollen deshalb auch hier als eine Ein-
schaltung isolirt werden, die von dem Anfänger sich überschlagen lässt.

7x) Th. = Def. (4x)7+) Th. = Def. (4+)
[Formel 3] {(x c) (x a) (x b)} =
= (c a b)		 [Formel 4] {(c x) (a x) (b x)} =
= (a + b c).
*) Dieses liegt in dem vor- und rückwärts als Subsumtionszeichen im Geiste
zu lesenden freien (d. h. uneingeklammerten) Gleichheitszeichen.
§ 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze.

°1) Theorem. a = a.

2) Th. (a ⊆ b) (b = c) ⊆ (a ⊆ c).

3) Th. (a = b) (b ⊆ c) ⊆ (a ⊆ c).

4) Th. (a = b) (b = c) ⊆ (a = c).

Die Definition (2) der identischen Null und Eins lautet:

°(2×) 0 ⊆ a°(2+) a ⊆ 1,
spricht aber die definitionsweise den Gebieten 0 und 1 beigelegte
Fundamentaleigenschaft in Form von Theoremen aus. Es würden
erst die Gleichungen:
(2×) Def. [Formel 1] (x ⊆ a) = (x = 0)(2+) Def. [Formel 2] (a ⊆ x) = (x = 1)
die Begriffserklärung ebendieser Gebiete 0, 1 auch in der für Defini-
tionen üblichen Form statuiren, indem sie ausdrücken, (links) dass
ein Gebiet x immer dann und nur dann*) 0 zu nennen sei, wenn das-
selbe in jedem Gebiet a enthalten, d. h. wenn für jedes a auch x ⊆ a
ist, (rechts) etc.
5×) Th. (a ⊆ 0) = (a = 0)5+) Th. (1 ⊆ a) = (a = 1)

Definition (3) von Produkt und Summe (Peirce, McColl):

(3×) Def. (c ⊆ a) (c ⊆ b) = (c ⊆ a b)(3+) Def. (a ⊆ c) (b ⊆ c) = (a + b ⊆ c).

Dieselbe bestand aus den gesondert chiffrirten Teilen:

(3×)' (c ⊆ a) (c ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a b)(3+)' (a ⊆ c) (b ⊆ c) ⊆ (a + b ⊆ c)
(3×)'' (c ⊆ a b) ⊆ (c ⊆ a) (c ⊆ b)(3+)'' (a + b ⊆ c) ⊆ (a ⊆ c) (b ⊆ c).
°6×) Th. a b ⊆ a, a b ⊆ b.°6+) Th. a ⊆ a + b, b ⊆ a + b.

Die Theoreme des § 6 waren subtilerer Art, auch im Grunde für
die Theorie entbehrlich; sie sollen deshalb auch hier als eine Ein-
schaltung isolirt werden, die von dem Anfänger sich überschlagen lässt.

7×) Th. = Def. (4×)7+) Th. = Def. (4+)
[Formel 3] {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} =
= (c ⊆ a b)		 [Formel 4] {(c ⊆ x) ⊆ (a ⊆ x) (b ⊆ x)} =
= (a + b ⊆ c).
*) Dieses liegt in dem vor- und rückwärts als Subsumtionszeichen im Geiste
zu lesenden freien (d. h. uneingeklammerten) Gleichheitszeichen.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <pb facs="#f0053" n="29"/>
            <fw place="top" type="header">§ 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze.</fw><lb/>
            <p>°1) <hi rendition="#g">Theorem</hi>. <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">a</hi>.</hi></p><lb/>
            <p>2) <hi rendition="#g">Th.</hi> <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>).</hi></p><lb/>
            <p>3) <hi rendition="#g">Th.</hi> <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>).</hi></p><lb/>
            <p>4) <hi rendition="#g">Th.</hi> <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>).</hi></p><lb/>
            <p>Die <hi rendition="#g">Definition</hi> (2) <hi rendition="#g">der identischen Null und Eins</hi> lautet:<lb/><table><row><cell>°(2<hi rendition="#sub">×</hi>) 0 <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi></cell><cell>°(2<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> 1,</cell></row><lb/></table> spricht aber die definitionsweise den Gebieten 0 und 1 beigelegte<lb/>
Fundamentaleigenschaft in Form von Theoremen aus. Es würden<lb/>
erst die Gleichungen:<lb/><table><row><cell>(2<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#g">Def</hi>. <formula/> (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> = 0)</cell><cell>(2<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#g">Def</hi>. <formula/> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi>) = (<hi rendition="#i">x</hi> = 1)</cell></row><lb/></table> die Begriffserklärung ebendieser Gebiete 0, 1 auch in der für Defini-<lb/>
tionen üblichen Form statuiren, indem sie ausdrücken, (links) dass<lb/>
ein Gebiet <hi rendition="#i">x immer dann und nur dann</hi><note place="foot" n="*)">Dieses liegt in dem vor- und rückwärts als Subsumtionszeichen im Geiste<lb/>
zu lesenden freien (d. h. uneingeklammerten) Gleichheitszeichen.</note> 0 zu nennen sei, wenn das-<lb/>
selbe in jedem Gebiet <hi rendition="#i">a</hi> enthalten, d. h. wenn <hi rendition="#i">für jedes a</hi> auch <hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi><lb/>
ist, (rechts) etc.<lb/><table><row><cell>5<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#g">Th.</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> 0) = (<hi rendition="#i">a</hi> = 0)</cell><cell>5<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#g">Th.</hi> (1 <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> = 1)</cell></row><lb/></table></p>
            <p><hi rendition="#g">Definition</hi> (3) <hi rendition="#g">von Produkt und Summe</hi> (<hi rendition="#g">Peirce</hi>, <hi rendition="#g">McColl</hi>):<lb/><table><row><cell>(3<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#g">Def.</hi> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a b</hi>)</cell><cell>(3<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#g">Def.</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>).</cell></row><lb/></table></p>
            <p>Dieselbe bestand aus den gesondert chiffrirten Teilen:<lb/><table><row><cell>(3<hi rendition="#sub">×</hi>)' (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a b</hi>)</cell><cell>(3<hi rendition="#sub">+</hi>)' (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>)</cell></row><lb/><row><cell>(3<hi rendition="#sub">×</hi>)'' (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a b</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>)</cell><cell>(3<hi rendition="#sub">+</hi>)'' (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>).</cell></row><lb/><row><cell>°6<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#g">Th.</hi> <hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">a b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>.</cell><cell>°6<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#g">Th.</hi> <hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>.</cell></row><lb/></table></p>
            <milestone rendition="#hr" unit="section"/>
            <p>Die Theoreme des § 6 waren subtilerer Art, auch im Grunde für<lb/>
die Theorie entbehrlich; sie sollen deshalb auch hier als eine Ein-<lb/>
schaltung isolirt werden, die von dem Anfänger sich überschlagen lässt.</p><lb/>
            <table>
              <row>
                <cell>7<hi rendition="#sub">×</hi>) <hi rendition="#g">Th.</hi> = <hi rendition="#g">Def.</hi> (4<hi rendition="#sub">×</hi>)</cell>
                <cell>7<hi rendition="#sub">+</hi>) <hi rendition="#g">Th.</hi> = <hi rendition="#g">Def.</hi> (4<hi rendition="#sub">+</hi>)</cell>
              </row><lb/>
              <row>
                <cell><formula/> {(<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a</hi>) (<hi rendition="#i">x</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi>)} =<lb/>
= (<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">a b</hi>)</cell>
                <cell><formula/> {(<hi rendition="#i">c</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi>) <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi>) (<hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">x</hi>)} =<lb/>
= (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> <choice><orig>&#xFFFC;</orig><reg>&#x2286;</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>).</cell>
              </row><lb/>
            </table>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[29/0053] § 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze. °1) Theorem. a = a. 2) Th. (a  b) (b = c)  (a  c). 3) Th. (a = b) (b  c)  (a  c). 4) Th. (a = b) (b = c)  (a = c). Die Definition (2) der identischen Null und Eins lautet: °(2×) 0  a °(2+) a  1, spricht aber die definitionsweise den Gebieten 0 und 1 beigelegte Fundamentaleigenschaft in Form von Theoremen aus. Es würden erst die Gleichungen: (2×) Def. [FORMEL] (x  a) = (x = 0) (2+) Def. [FORMEL] (a  x) = (x = 1) die Begriffserklärung ebendieser Gebiete 0, 1 auch in der für Defini- tionen üblichen Form statuiren, indem sie ausdrücken, (links) dass ein Gebiet x immer dann und nur dann *) 0 zu nennen sei, wenn das- selbe in jedem Gebiet a enthalten, d. h. wenn für jedes a auch x  a ist, (rechts) etc. 5×) Th. (a  0) = (a = 0) 5+) Th. (1  a) = (a = 1) Definition (3) von Produkt und Summe (Peirce, McColl): (3×) Def. (c  a) (c  b) = (c  a b) (3+) Def. (a  c) (b  c) = (a + b  c). Dieselbe bestand aus den gesondert chiffrirten Teilen: (3×)' (c  a) (c  b)  (c  a b) (3+)' (a  c) (b  c)  (a + b  c) (3×)'' (c  a b)  (c  a) (c  b) (3+)'' (a + b  c)  (a  c) (b  c). °6×) Th. a b  a, a b  b. °6+) Th. a  a + b, b  a + b. Die Theoreme des § 6 waren subtilerer Art, auch im Grunde für die Theorie entbehrlich; sie sollen deshalb auch hier als eine Ein- schaltung isolirt werden, die von dem Anfänger sich überschlagen lässt. 7×) Th. = Def. (4×) 7+) Th. = Def. (4+) [FORMEL] {(x  c)  (x  a) (x  b)} = = (c  a b) [FORMEL] {(c  x)  (a  x) (b  x)} = = (a + b  c). *) Dieses liegt in dem vor- und rückwärts als Subsumtionszeichen im Geiste zu lesenden freien (d. h. uneingeklammerten) Gleichheitszeichen.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/53
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 29. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/53>, abgerufen am 27.04.2024.