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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Fünfzehnte Vorlesung.

Prinzip I der Identität lautet:
I. [Formel 1] , oder kürzer:
°I. [Formel 2] .
Statt zu sagen: der letztere Satz gilt stets, kann man ihn einfach
hinstellen.

Wo in dieser Weise das Umschreiben, Transkribiren eines Theo-
rems in die Formelsprache des Aussagenkalkuls keine Vereinfachung
seines Ausdrucks liefert und deshalb besser unterlassen wird, wollen
wir, wie soeben, ein Ringelchen vor die Chiffre des Theorems setzen.

Prinzip II des Subsumtionsschlusses (Barbara):
II. [Formel 3] .

Definition (1) der Gleichheit:
(1) Def. [Formel 4] .

Diese Formel definirt primäre oder Gebietegleichheit (a = b) aus
der Subsumtion, und zwar vermittelst Ansetzung einer sekundären
oder Aussagengleichheit (nämlich der Äquivalenterklärung zweier pri-
mären Aussagen, wie sie das "freie" Gleichheitszeichen andeutet).

Damit dieselbe -- bei der im letzten Nebentext (S. 26) gekenn-
zeichneten Deutungsweise unsrer Formeln als solcher des "reinen Aussagen-
kalkuls" -- nicht als ein circulus in definiendo, eine Zirkeldefinition er-
scheine, sondern als Definition auch der Aussagengleichheit wirklich gelten
könne, muss die Berufung auf diesen Begriff und anderweitiger Gebrauch
des zugehörigen Beziehungszeichens in ihr selbst vermieden werden.

Dies ist leicht hinzubringen dadurch, dass man die Formel auflöst in
das (zwar "gleich" i gesetzt zu denkende, hier aber besser nur schlecht-
weg hingestellte) Produkt zweier Subsumtionen:
[Formel 5] ,
welches nun erst kraft seines eigenen Sinnes sowie Schema's in die oben
als Def. (1) hingestellte Gleichung zusammenzuziehen wäre.

Man bemerkt nämlich, dass ebenso wie die in ihr vorkommende Teil-
aussage (a b) (b a), so auch die ganze Aussage oder Festsetzung das
Produkt ist zweier vor- und rückwärts in einander übergehenden Subsum-
tionen, mithin von ebendieser Form: (A B) (B A), nur dass jetzt
A die Aussage (a b) (b a) und B die Aussage (a = b) bedeutet.
Nach der in ihr selbst gegebnen, für alle Aussagen -- mögen sie a, b
oder A, B heissen -- gelten sollenden Erklärung folgt sonach aus ihr
auch: A = B, das heisst: wir dürfen die Definition (1)', wie zu An-
fang, nun auch selbst als Gleichung (1) schreiben, und unter dieser ist
umgekehrt nichts anderes als das Subsumtionenprodukt (1)' zu verstehen.

Zusatz zu Def. (1): (a = b) = (b = a).

Fünfzehnte Vorlesung.

Prinzip I der Identität lautet:
I. [Formel 1] , oder kürzer:
°I. [Formel 2] .
Statt zu sagen: der letztere Satz gilt stets, kann man ihn einfach
hinstellen.

Wo in dieser Weise das Umschreiben, Transkribiren eines Theo-
rems in die Formelsprache des Aussagenkalkuls keine Vereinfachung
seines Ausdrucks liefert und deshalb besser unterlassen wird, wollen
wir, wie soeben, ein Ringelchen vor die Chiffre des Theorems setzen.

Prinzip II des Subsumtionsschlusses (Barbara):
II. [Formel 3] .

Definition (1) der Gleichheit:
(1) Def. [Formel 4] .

Diese Formel definirt primäre oder Gebietegleichheit (a = b) aus
der Subsumtion, und zwar vermittelst Ansetzung einer sekundären
oder Aussagengleichheit (nämlich der Äquivalenterklärung zweier pri-
mären Aussagen, wie sie das „freie“ Gleichheitszeichen andeutet).

Damit dieselbe — bei der im letzten Nebentext (S. 26) gekenn-
zeichneten Deutungsweise unsrer Formeln als solcher des „reinen Aussagen-
kalkuls“ — nicht als ein circulus in definiendo, eine Zirkeldefinition er-
scheine, sondern als Definition auch der Aussagengleichheit wirklich gelten
könne, muss die Berufung auf diesen Begriff und anderweitiger Gebrauch
des zugehörigen Beziehungszeichens in ihr selbst vermieden werden.

Dies ist leicht hinzubringen dadurch, dass man die Formel auflöst in
das (zwar „gleich“ i gesetzt zu denkende, hier aber besser nur schlecht-
weg hingestellte) Produkt zweier Subsumtionen:
[Formel 5] ,
welches nun erst kraft seines eigenen Sinnes sowie Schema’s in die oben
als Def. (1) hingestellte Gleichung zusammenzuziehen wäre.

Man bemerkt nämlich, dass ebenso wie die in ihr vorkommende Teil-
aussage (a ⊆ b) (b ⊆ a), so auch die ganze Aussage oder Festsetzung das
Produkt ist zweier vor- und rückwärts in einander übergehenden Subsum-
tionen, mithin von ebendieser Form: (A ⊆ B) (B ⊆ A), nur dass jetzt
A die Aussage (a ⊆ b) (b ⊆ a) und B die Aussage (a = b) bedeutet.
Nach der in ihr selbst gegebnen, für alle Aussagen — mögen sie a, b
oder A, B heissen — gelten sollenden Erklärung folgt sonach aus ihr
auch: A = B, das heisst: wir dürfen die Definition (1)', wie zu An-
fang, nun auch selbst als Gleichung (1) schreiben, und unter dieser ist
umgekehrt nichts anderes als das Subsumtionenprodukt (1)' zu verstehen.

Zusatz zu Def. (1): (a = b) = (b = a).

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[28/0052] Fünfzehnte Vorlesung. Prinzip I der Identität lautet: I. [FORMEL], oder kürzer: °I. [FORMEL]. Statt zu sagen: der letztere Satz gilt stets, kann man ihn einfach hinstellen. Wo in dieser Weise das Umschreiben, Transkribiren eines Theo- rems in die Formelsprache des Aussagenkalkuls keine Vereinfachung seines Ausdrucks liefert und deshalb besser unterlassen wird, wollen wir, wie soeben, ein Ringelchen vor die Chiffre des Theorems setzen. Prinzip II des Subsumtionsschlusses (Barbara): II. [FORMEL]. Definition (1) der Gleichheit: (1) Def. [FORMEL]. Diese Formel definirt primäre oder Gebietegleichheit (a = b) aus der Subsumtion, und zwar vermittelst Ansetzung einer sekundären oder Aussagengleichheit (nämlich der Äquivalenterklärung zweier pri- mären Aussagen, wie sie das „freie“ Gleichheitszeichen andeutet). Damit dieselbe — bei der im letzten Nebentext (S. 26) gekenn- zeichneten Deutungsweise unsrer Formeln als solcher des „reinen Aussagen- kalkuls“ — nicht als ein circulus in definiendo, eine Zirkeldefinition er- scheine, sondern als Definition auch der Aussagengleichheit wirklich gelten könne, muss die Berufung auf diesen Begriff und anderweitiger Gebrauch des zugehörigen Beziehungszeichens in ihr selbst vermieden werden. Dies ist leicht hinzubringen dadurch, dass man die Formel auflöst in das (zwar „gleich“ i gesetzt zu denkende, hier aber besser nur schlecht- weg hingestellte) Produkt zweier Subsumtionen: [FORMEL], welches nun erst kraft seines eigenen Sinnes sowie Schema’s in die oben als Def. (1) hingestellte Gleichung zusammenzuziehen wäre. Man bemerkt nämlich, dass ebenso wie die in ihr vorkommende Teil- aussage (a  b) (b  a), so auch die ganze Aussage oder Festsetzung das Produkt ist zweier vor- und rückwärts in einander übergehenden Subsum- tionen, mithin von ebendieser Form: (A  B) (B  A), nur dass jetzt A die Aussage (a  b) (b  a) und B die Aussage (a = b) bedeutet. Nach der in ihr selbst gegebnen, für alle Aussagen — mögen sie a, b oder A, B heissen — gelten sollenden Erklärung folgt sonach aus ihr auch: A = B, das heisst: wir dürfen die Definition (1)', wie zu An- fang, nun auch selbst als Gleichung (1) schreiben, und unter dieser ist umgekehrt nichts anderes als das Subsumtionenprodukt (1)' zu verstehen. Zusatz zu Def. (1): (a = b) = (b = a).

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 28. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/52>, abgerufen am 27.04.2024.