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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 49. Studien über die Klausel.
h = n ist). In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einen
Zeile von 290) in Betracht, und genügt es im ersten Falle:
u1 = s1 + s2 + ... + sn,
im letzteren:
u = r1 + r2 + ... + rn
zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes k:
sk u1, = sk, 0 resp. rk u, = rk, 0
werde.

Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen
der einen Art, die sich auf u beziehen zusammentreffen mit solchen
der andern Art, die auf u1 bezüglich. Hier möge nun:
320) r1 + r2 + ... + rh = r, sh + 1 + sh + 2 + ... + sn = s
genannt werden, wobei nicht aus dem Gedächtniss zu verlieren sein
wird, dass nach 310) die sämtlichen Glieder dieser Summen r und s
von 0 verschieden sind.

Haben r und s keinen Teil gemein, ist r s = 0, so ist es leicht,
u so anzunehmen dass die Forderung 300) erfüllt wird: Man lasse u
einfach r einschliessen und s ausschliessen, sodass
(r u) (s u1), = (u r = r) (u1 s = s), = (u1 r = 0) ( u s = 0) = (s u + r u1 = 0)
ist. Wegen
rk r also rk r = rk
ist dann auch
rk u = rk r u = rk r = rk 0, ebenso sk u1 = sk 0
für die Werte k = 1, 2, ... h resp. h + 1, ... n dieses Index.

Eine Klausel kann daher nur für r s 0 in Betracht kommen.
Es möge für den Augenblick
r s = t
heissen, sodass t 0. Und es bedeute hiernächst immer k irgend
einen der Indices 1, 2, .. h von r, dagegen l einen der Indices h + 1,
h + 2, ... h + k = n von s.

Alsdann kann es sich ereignen, dass alle oder einige der Aggre-
ganten rk von r sowie der Aggreganten sl von s über t hinausgreifen,
sodass für gewisse k, l ist:
rk t1 = rk s1 0, sl t1 = sl r1 0.*)

Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder r-Reihe sind

*) Wegen t1 = r1 + s1 und rk r1 = 0, d. h. rk r, etc.

§ 49. Studien über die Klausel.
h = n ist). In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einen
Zeile von 290) in Betracht, und genügt es im ersten Falle:
u1 = s1 + s2 + … + sn,
im letzteren:
u = r1 + r2 + … + rn
zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes ϰ:
sϰ u1, = sϰ, ≠ 0 resp. rϰ u, = rϰ, ≠ 0
werde.

Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen
der einen Art, die sich auf u beziehen zusammentreffen mit solchen
der andern Art, die auf u1 bezüglich. Hier möge nun:
320) r1 + r2 + … + rh = r, sh + 1 + sh + 2 + … + sn = s
genannt werden, wobei nicht aus dem Gedächtniss zu verlieren sein
wird, dass nach 310) die sämtlichen Glieder dieser Summen r und s
von 0 verschieden sind.

Haben r und s keinen Teil gemein, ist r s = 0, so ist es leicht,
u so anzunehmen dass die Forderung 300) erfüllt wird: Man lasse u
einfach r einschliessen und s ausschliessen, sodass
(r ⊆ u) (s ⊆ u1), = (u r = r) (u1 s = s), = (u1 r = 0) ( u s = 0) = (s u + r u1 = 0)
ist. Wegen
rϰ ⊆ r also rϰ r = rϰ
ist dann auch
rϰ u = rϰ r u = rϰ r = rϰ ≠ 0, ebenso sϰ u1 = sϰ ≠ 0
für die Werte ϰ = 1, 2, … h resp. h + 1, … n dieses Index.

Eine Klausel kann daher nur für r s ≠ 0 in Betracht kommen.
Es möge für den Augenblick
r s = t
heissen, sodass t ≠ 0. Und es bedeute hiernächst immer ϰ irgend
einen der Indices 1, 2, ‥ h von r, dagegen λ einen der Indices h + 1,
h + 2, … h + k = n von s.

Alsdann kann es sich ereignen, dass alle oder einige der Aggre-
ganten rϰ von r sowie der Aggreganten sλ von s über t hinausgreifen,
sodass für gewisse ϰ, λ ist:
rϰ t1 = rϰ s1 ≠ 0, sλ t1 = sλ r1 ≠ 0.*)

Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder r-Reihe sind

*) Wegen t1 = r1 + s1 und rϰ r1 = 0, d. h. rϰ ⊆ r, etc.
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[391/0415] § 49. Studien über die Klausel. h = n ist). In diesen Fällen kommen nur die Parameter der einen Zeile von 290) in Betracht, und genügt es im ersten Falle: u1 = s1 + s2 + … + sn, im letzteren: u = r1 + r2 + … + rn zu nehmen um hinzubringen, dass für jedes ϰ: sϰ u1, = sϰ, ≠ 0 resp. rϰ u, = rϰ, ≠ 0 werde. Anders verhält es sich in den übrigen Fällen wo Ungleichungen der einen Art, die sich auf u beziehen zusammentreffen mit solchen der andern Art, die auf u1 bezüglich. Hier möge nun: 320) r1 + r2 + … + rh = r, sh + 1 + sh + 2 + … + sn = s genannt werden, wobei nicht aus dem Gedächtniss zu verlieren sein wird, dass nach 310) die sämtlichen Glieder dieser Summen r und s von 0 verschieden sind. Haben r und s keinen Teil gemein, ist r s = 0, so ist es leicht, u so anzunehmen dass die Forderung 300) erfüllt wird: Man lasse u einfach r einschliessen und s ausschliessen, sodass (r  u) (s  u1), = (u r = r) (u1 s = s), = (u1 r = 0) ( u s = 0) = (s u + r u1 = 0) ist. Wegen rϰ  r also rϰ r = rϰ ist dann auch rϰ u = rϰ r u = rϰ r = rϰ ≠ 0, ebenso sϰ u1 = sϰ ≠ 0 für die Werte ϰ = 1, 2, … h resp. h + 1, … n dieses Index. Eine Klausel kann daher nur für r s ≠ 0 in Betracht kommen. Es möge für den Augenblick r s = t heissen, sodass t ≠ 0. Und es bedeute hiernächst immer ϰ irgend einen der Indices 1, 2, ‥ h von r, dagegen λ einen der Indices h + 1, h + 2, … h + k = n von s. Alsdann kann es sich ereignen, dass alle oder einige der Aggre- ganten rϰ von r sowie der Aggreganten sλ von s über t hinausgreifen, sodass für gewisse ϰ, λ ist: rϰ t1 = rϰ s1 ≠ 0, sλ t1 = sλ r1 ≠ 0. *) Diese hinübergreifenden Teile der erstern Sorte oder r-Reihe sind *) Wegen t1 = r1 + s1 und rϰ r1 = 0, d. h. rϰ  r, etc.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 391. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/415>, abgerufen am 02.05.2024.