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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.

[Im Ganzen können also von jenen 2 x n Symbolen höchstens n
verschwinden, in jeder Kolonne kann von den zwei Symbolen höchstens
eines 0 sein.]

Darnach lässt es sich durch folgende Überlegung rechtfertigen,
weshalb wir unsre Konklusion P als die "Resultante aus dem Rohen"
schon hinstellen durften.

Sobald nur die nicht verschwindenden von jenen 2 x n Gebieten
hinlänglich teilbar sind, sobald sie hinreichend viele Punkte, die Klassen
genug Individuen enthalten -- namentlich also auch, falls sie deren
eine unbegrenzte Menge [und wie sich zeigen wird, sicher schon, falls
sie nur allesamt n oder mehr Punktindividuen] umfassen sollten --
gibt es unfehlbar ein Gebiet u, welches die Forderung S erfüllt.
Unsrer Resultante P ist alsdann keine weitere Forderung mehr hinzu-
zufügen und darf sie als die ganze oder Resultante schlechtweg hin-
gestellt werden. Die (uns noch unbekannte) Klausel des allgemeinen
Problems muss unter obiger Voraussetzung unzweifelhaft von selbst
erfüllt sein (das ist: = i werden).

Wo immer z. B. die in unsrer Resultante P auftretenden Terme,
sofern sie existiren, Flächen vorstellen, desgleichen wo sie in Linien
degeneriren, wird schon die Frage nach der Klausel belanglos, und
erst wo man mit Systemen isolirter Punkte zu thun hat, die in end-
lichen Mengen auftreten, kann solche in Betracht kommen.

Bei gar vielen, vielleicht den allermeisten Problemen, bei denen
man nur über die im allgemeinen Schema P nicht unvertretnen Klassen
anderweitig informirt, von vornherein in beregter Hinsicht orientirt ist,
wird man also unsre Resultante P ohne weiteres für voll nehmen können,
und nur da eine gewisse Vorsicht zu beobachten haben, wo auch
Klassen in Betracht kommen könnten, die nur aus wenig Individuen
bestehen.

Um obiges einzusehen, braucht man nur ein gewisses Gebiet u
synthetisch zu konstruiren, es dergestalt zusammenzusetzen, dass für
keinen der n Werte des k die beiden Glieder pk a u und qk b u1 gleich-
zeitig verschwinden. Gelingt dies, so wird nämlich ein jeder Faktor
der Anforderung S zufolge Nichtverschwindens des zweiten Doppel-
gliedes pk a u + qk b u1 in 130) erfüllt, = i, sein, ganz ohne Rücksicht
darauf, ob etwa das erste Doppelglied pk b1 + qk a1 schon seinerseits
0, oder ob dasselbe = 0 ist.

Dies lässt sich nun oft -- und so auch unter den angegebnen
Voraussetzungen -- erreichen, indem man die zu konstruirende Klasse
u einschliessen lässt gewisse Individuen aus den nicht verschwindenden

Dreiundzwanzigste Vorlesung.

[Im Ganzen können also von jenen 2 × n Symbolen höchstens n
verschwinden, in jeder Kolonne kann von den zwei Symbolen höchstens
eines 0 sein.]

Darnach lässt es sich durch folgende Überlegung rechtfertigen,
weshalb wir unsre Konklusion P als die „Resultante aus dem Rohen“
schon hinstellen durften.

Sobald nur die nicht verschwindenden von jenen 2 × n Gebieten
hinlänglich teilbar sind, sobald sie hinreichend viele Punkte, die Klassen
genug Individuen enthalten — namentlich also auch, falls sie deren
eine unbegrenzte Menge [und wie sich zeigen wird, sicher schon, falls
sie nur allesamt n oder mehr Punktindividuen] umfassen sollten —
gibt es unfehlbar ein Gebiet u, welches die Forderung S erfüllt.
Unsrer Resultante P ist alsdann keine weitere Forderung mehr hinzu-
zufügen und darf sie als die ganze oder Resultante schlechtweg hin-
gestellt werden. Die (uns noch unbekannte) Klausel des allgemeinen
Problems muss unter obiger Voraussetzung unzweifelhaft von selbst
erfüllt sein (das ist: = i werden).

Wo immer z. B. die in unsrer Resultante P auftretenden Terme,
sofern sie existiren, Flächen vorstellen, desgleichen wo sie in Linien
degeneriren, wird schon die Frage nach der Klausel belanglos, und
erst wo man mit Systemen isolirter Punkte zu thun hat, die in end-
lichen Mengen auftreten, kann solche in Betracht kommen.

Bei gar vielen, vielleicht den allermeisten Problemen, bei denen
man nur über die im allgemeinen Schema P nicht unvertretnen Klassen
anderweitig informirt, von vornherein in beregter Hinsicht orientirt ist,
wird man also unsre Resultante P ohne weiteres für voll nehmen können,
und nur da eine gewisse Vorsicht zu beobachten haben, wo auch
Klassen in Betracht kommen könnten, die nur aus wenig Individuen
bestehen.

Um obiges einzusehen, braucht man nur ein gewisses Gebiet u
synthetisch zu konstruiren, es dergestalt zusammenzusetzen, dass für
keinen der n Werte des ϰ die beiden Glieder pϰ a u und qϰ b u1 gleich-
zeitig verschwinden. Gelingt dies, so wird nämlich ein jeder Faktor
der Anforderung S zufolge Nichtverschwindens des zweiten Doppel-
gliedes pϰ a u + qϰ b u1 in 130) erfüllt, = i, sein, ganz ohne Rücksicht
darauf, ob etwa das erste Doppelglied pϰ b1 + qϰ a1 schon seinerseits
≠ 0, oder ob dasselbe = 0 ist.

Dies lässt sich nun oft — und so auch unter den angegebnen
Voraussetzungen — erreichen, indem man die zu konstruirende Klasse
u einschliessen lässt gewisse Individuen aus den nicht verschwindenden

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[382/0406] Dreiundzwanzigste Vorlesung. [Im Ganzen können also von jenen 2 × n Symbolen höchstens n verschwinden, in jeder Kolonne kann von den zwei Symbolen höchstens eines 0 sein.] Darnach lässt es sich durch folgende Überlegung rechtfertigen, weshalb wir unsre Konklusion P als die „Resultante aus dem Rohen“ schon hinstellen durften. Sobald nur die nicht verschwindenden von jenen 2 × n Gebieten hinlänglich teilbar sind, sobald sie hinreichend viele Punkte, die Klassen genug Individuen enthalten — namentlich also auch, falls sie deren eine unbegrenzte Menge [und wie sich zeigen wird, sicher schon, falls sie nur allesamt n oder mehr Punktindividuen] umfassen sollten — gibt es unfehlbar ein Gebiet u, welches die Forderung S erfüllt. Unsrer Resultante P ist alsdann keine weitere Forderung mehr hinzu- zufügen und darf sie als die ganze oder Resultante schlechtweg hin- gestellt werden. Die (uns noch unbekannte) Klausel des allgemeinen Problems muss unter obiger Voraussetzung unzweifelhaft von selbst erfüllt sein (das ist: = i werden). Wo immer z. B. die in unsrer Resultante P auftretenden Terme, sofern sie existiren, Flächen vorstellen, desgleichen wo sie in Linien degeneriren, wird schon die Frage nach der Klausel belanglos, und erst wo man mit Systemen isolirter Punkte zu thun hat, die in end- lichen Mengen auftreten, kann solche in Betracht kommen. Bei gar vielen, vielleicht den allermeisten Problemen, bei denen man nur über die im allgemeinen Schema P nicht unvertretnen Klassen anderweitig informirt, von vornherein in beregter Hinsicht orientirt ist, wird man also unsre Resultante P ohne weiteres für voll nehmen können, und nur da eine gewisse Vorsicht zu beobachten haben, wo auch Klassen in Betracht kommen könnten, die nur aus wenig Individuen bestehen. Um obiges einzusehen, braucht man nur ein gewisses Gebiet u synthetisch zu konstruiren, es dergestalt zusammenzusetzen, dass für keinen der n Werte des ϰ die beiden Glieder pϰ a u und qϰ b u1 gleich- zeitig verschwinden. Gelingt dies, so wird nämlich ein jeder Faktor der Anforderung S zufolge Nichtverschwindens des zweiten Doppel- gliedes pϰ a u + qϰ b u1 in 130) erfüllt, = i, sein, ganz ohne Rücksicht darauf, ob etwa das erste Doppelglied pϰ b1 + qϰ a1 schon seinerseits ≠ 0, oder ob dasselbe = 0 ist. Dies lässt sich nun oft — und so auch unter den angegebnen Voraussetzungen — erreichen, indem man die zu konstruirende Klasse u einschliessen lässt gewisse Individuen aus den nicht verschwindenden

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 382. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/406>, abgerufen am 23.11.2024.