Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 49. Studien über die Klausel.

12⁰) a₁ b = a₁, a₁ + b = b, a + b₁ = a, a b₁ = b₁
ist, wird es immer ein solches x geben. Der allgemeinste Ausdruck
für jedes solche x muss nach unserm Th. 50₊) sein:
x = a u + b₁ u₁ = a (u + b₁) = b₁ + a u, x₁ = a₁ u + b u₁ = b (u₁ + a) ⊆ a₁ + b u₁
worin u als Gebiet oder Klasse vollkommen beliebig bleibt.

Einsetzung dieser Werte von x und x₁ verwandelt nun in S die
durch den Boole’schen Faktor ausgedrückte Forderung in eine auf
Grund von a + b = 1 identisch erfüllte. Der Boole’sche Faktor geht
dadurch in den Aussagenfaktor i über, welcher nach Th. 2̅1̅_×) unter-
drückt werden darf, nicht weiter angemerkt zu werden braucht, und
da hiemit
p x + q x₁ = (p a + q a₁) u + (p b₁ + q b) u₁ = p b₁ + q a₁ + p a u + q b u₁
wird, so erhalten wir die beiden Darstellungen von S:
S = [Formel 1] {(p^ϰ a + q^ϰ a₁) u + (p^ϰ b₁ + q^ϰ b) u₁ ≠ 0}
13⁰) S = [Formel 2] {p^ϰ b₁ + q^ϰ a₁ + p^ϰ a u + q^ϰ b u₁ ≠ 0}.
Für diese bleibt nunmehr zu untersuchen, falls nur P gilt, unter
welchen ferneren Bedingungen sie durch irgend ein u erfüllbar sein
werden.

Ungeachtet des etwas komplizirteren Ausdrucks dieser Forderung
S, gegenüber ihrem früheren Ausdrucke, erscheint die Aufgabe durch
die vollzogene Umformung doch wesentlich vereinfacht, indem jetzt S
nur mehr aus Ungleichungen als Faktoren zusammengesetzt, der
Boole’sche Gleichungsfaktor weggefallen ist, und während früher x
durch diesen letzteren in seiner Veränderlichkeit beschränkt erschien,
nunmehr u innerhalb der Mannigfaltigkeit 1 ganz unumschränkt vari-
abel ist.

In den zwei Reihen von paarweise untereinander gestellten n und
n Gebieten oder Klassen:

14⁰)p¹ a, p₂ a, … pⁿ a,
q¹ b, q² b, … qⁿ b

können nun diese oder jene auch null sein oder verschwinden, jedoch
niemals zwei untereinanderstehende zugleich, indem nach P für jeden
unter den Werten 1, 2, … n ausgewählten Index ϰ sein muss:
p^ϰ a + q^ϰ b ≠ 0.