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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.
sich nach Unterdrückung identisch verschwindender Terme die Summe
jener beiden wie folgt darstellt:
90) (p 0) (q = 0) (r = 0) (s 0) k' + (p = 0) (q 0) (r 0) (s = 0) k''.

Um nunmehr allgemein das Problem der "Klausel" so weit zu
führen als es uns thunlich erscheint, wollen wir zunächst die Prä-
misse 10) -- sowie dann auch die Konklusion 20) -- uns übersicht-
licher schreiben, indem wir bei der erstern eine bestimmte Anzahl n
von Ungleichungsfaktoren gegeben voraussetzen und in diesen die Koef-
fizienten durchgängig mit den beiden Buchstaben p und q bezeichnen,
letztere nur mittelst oberer Indices k = 1, 2, ... n von einander unter-
scheidend. Nennen wir auch S die Prämisse und P die Konklusion,
sodass uns
S P
den Schluss der Elimination von x, "Eliminationsschluss" nach dem
Schema unsres Theorems ph) des § 41 darstellt, so werden wir haben:
100) S (a x + b x1 = 1) [Formel 1] (pk x + qk x1 0),
110) P (a + b = 1) [Formel 2] (pk a + qk b 0)
und wird es sich darum handeln, die Konklusion P, welche sich als
"Resultante aus dem Rohen" präsentirte, durch (multiplikative) Hinzu-
fügung einer noch unbekannten Klausel K zur "vollen Resultante" R
(der Elimination des x aus S) zu ergänzen, sodass
S P · K = R
sein wird und das Erfülltsein von R allemal die Garantie in sich
schliesst, dass es auch ein S erfüllendes x gebe.

Notwendige oder unerlässliche -- aber zuweilen noch nicht hin-
reichende -- Bedingung für die Existenz eines solchen x war die Aus-
sage P, die wir demnach jedenfalls als durch die Parameter a, b, pk,
qk der Data S erfüllt anzunehmen haben.

Ein solches x müsste zunächst dem Boole'schen Faktor
a x + b x1 = 1
von S genügen. Und da laut P gewiss
a + b = 1, oder a1 b1 = 0, a1 b, b1 a,
sonach auch

Dreiundzwanzigste Vorlesung.
sich nach Unterdrückung identisch verschwindender Terme die Summe
jener beiden wie folgt darstellt:
90) (p ≠ 0) (q = 0) (r = 0) (s ≠ 0) k' + (p = 0) (q ≠ 0) (r ≠ 0) (s = 0) k''.

Um nunmehr allgemein das Problem der „Klausel“ so weit zu
führen als es uns thunlich erscheint, wollen wir zunächst die Prä-
misse 10) — sowie dann auch die Konklusion 20) — uns übersicht-
licher schreiben, indem wir bei der erstern eine bestimmte Anzahl n
von Ungleichungsfaktoren gegeben voraussetzen und in diesen die Koef-
fizienten durchgängig mit den beiden Buchstaben p und q bezeichnen,
letztere nur mittelst oberer Indices ϰ = 1, 2, … n von einander unter-
scheidend. Nennen wir auch S die Prämisse und P die Konklusion,
sodass uns
S ⊆ P
den Schluss der Elimination von x, „Eliminationsschluss“ nach dem
Schema unsres Theorems φ) des § 41 darstellt, so werden wir haben:
100) S ≡ (a x + b x1 = 1) [Formel 1] (pϰ x + qϰ x1 ≠ 0),
110) P ≡ (a + b = 1) [Formel 2] (pϰ a + qϰ b ≠ 0)
und wird es sich darum handeln, die Konklusion P, welche sich als
„Resultante aus dem Rohen“ präsentirte, durch (multiplikative) Hinzu-
fügung einer noch unbekannten Klausel K zur „vollen Resultante“ R
(der Elimination des x aus S) zu ergänzen, sodass
S ⊆ P · K = R
sein wird und das Erfülltsein von R allemal die Garantie in sich
schliesst, dass es auch ein S erfüllendes x gebe.

Notwendige oder unerlässliche — aber zuweilen noch nicht hin-
reichende — Bedingung für die Existenz eines solchen x war die Aus-
sage P, die wir demnach jedenfalls als durch die Parameter a, b, pϰ,
qϰ der Data S erfüllt anzunehmen haben.

Ein solches x müsste zunächst dem Boole’schen Faktor
a x + b x1 = 1
von S genügen. Und da laut P gewiss
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[380/0404] Dreiundzwanzigste Vorlesung. sich nach Unterdrückung identisch verschwindender Terme die Summe jener beiden wie folgt darstellt: 90) (p ≠ 0) (q = 0) (r = 0) (s ≠ 0) k' + (p = 0) (q ≠ 0) (r ≠ 0) (s = 0) k''. Um nunmehr allgemein das Problem der „Klausel“ so weit zu führen als es uns thunlich erscheint, wollen wir zunächst die Prä- misse 10) — sowie dann auch die Konklusion 20) — uns übersicht- licher schreiben, indem wir bei der erstern eine bestimmte Anzahl n von Ungleichungsfaktoren gegeben voraussetzen und in diesen die Koef- fizienten durchgängig mit den beiden Buchstaben p und q bezeichnen, letztere nur mittelst oberer Indices ϰ = 1, 2, … n von einander unter- scheidend. Nennen wir auch S die Prämisse und P die Konklusion, sodass uns S  P den Schluss der Elimination von x, „Eliminationsschluss“ nach dem Schema unsres Theorems φ) des § 41 darstellt, so werden wir haben: 100) S ≡ (a x + b x1 = 1) [FORMEL] (pϰ x + qϰ x1 ≠ 0), 110) P ≡ (a + b = 1) [FORMEL] (pϰ a + qϰ b ≠ 0) und wird es sich darum handeln, die Konklusion P, welche sich als „Resultante aus dem Rohen“ präsentirte, durch (multiplikative) Hinzu- fügung einer noch unbekannten Klausel K zur „vollen Resultante“ R (der Elimination des x aus S) zu ergänzen, sodass S  P · K = R sein wird und das Erfülltsein von R allemal die Garantie in sich schliesst, dass es auch ein S erfüllendes x gebe. Notwendige oder unerlässliche — aber zuweilen noch nicht hin- reichende — Bedingung für die Existenz eines solchen x war die Aus- sage P, die wir demnach jedenfalls als durch die Parameter a, b, pϰ, qϰ der Data S erfüllt anzunehmen haben. Ein solches x müsste zunächst dem Boole’schen Faktor a x + b x1 = 1 von S genügen. Und da laut P gewiss a + b = 1, oder a1 b1 = 0, a1  b, b1  a, sonach auch

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 380. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/404>, abgerufen am 23.11.2024.