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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 49. Studien über die Klausel.

Wird p ein Punkt, so muss er nur in x hereintreten, besser ge-
sagt, muss man x so wählen, dass es denselben einschliesse, will man
hinbringen, dass p x 0 werde; und zwar wird alsdann p x = p selber
ebendieser Punkt sein.

Ist s ein Punkt, so muss, wenn s x1 0 sein soll, x1 denselben
ein- mithin x denselben ausschliessen. Für das Individuum s = i haben
wir ja in § 47 erkannt, dass (i x1 0) = (i x = 0); und zwar wird in
diesem Falle s x1 = s selber eben jener Punkt sein.

Beiden Forderungen zugleich kann man im Allgemeinen genügen.
Dagegen ist dies immer dann und nur dann unmöglich, wenn p, = s, den
nämlichen Punkt vorstellt, indem, wenn wir diesen etwa mit i bezeich-
neten, das Erfülltsein der Forderung (i x 0) (i x1 0) einen Wider-
spruch zu der fundamentalen Eigenschaft des Individuums i konsti-
tuiren würde, q. e. d.

Schliesslich hält es auch nicht schwer, die Partialklauseln sowol
als die Totalklausel oder Konklusion und volle Resultante ganz in
Formeln zu setzen. Zur Abkürzung wollen wir uns dabei der am
Schlusse des § 47 eingeführten Symbole Ji und J1i bedienen, welche
uns die Aussagen darstellten dass i Individuum, resp. nicht Individuum
sei, und dort bereits spezifizirt in unsrer Zeichensprache angesetzt
wurden. Man hat als das Ergebniss der Untersuchung:
50) k' = {(p = s) J1p}, k'' = {(q = r) J1q},
und kann man der erstern z. B. auch noch die Formen geben:
60) k' = {Jp Js (p s)} = {Jp Js (p = s) = 0} = {J1p + J1s + (p s)}
zu deren Zurückführung auf die erste noch in Betracht zu ziehen ist,
dass nach dem Satze von der Ersetzbarkeit von Gleichem durch
Gleiches auch (p = s) Jp Js sein muss.

Konklusion und volle Resultante der Elimination des x aus den
Prämissen zur linken ist also der Major der Subsumtion:
70) (p x + q x1 0) (r x + s x1 0) K,
wo:
80) K = (p 0) (r 0) + (p 0) (s 0) k' + (q 0) (r 0) k'' + (q 0) (s 0)
bedeutet. Um aber hierin deutlich zu erblicken, in welchen Fällen die
Teilklauseln k', resp. k'' ganz unerlässlich sind, wird man die beiden
innern Glieder, was ja erlaubt ist, noch multipliziren mit den Nega-
tionen der beiden äusseren Glieder -- cf. Th. 33+) Zusatz -- wodurch

§ 49. Studien über die Klausel.

Wird p ein Punkt, so muss er nur in x hereintreten, besser ge-
sagt, muss man x so wählen, dass es denselben einschliesse, will man
hinbringen, dass p x ≠ 0 werde; und zwar wird alsdann p x = p selber
ebendieser Punkt sein.

Ist s ein Punkt, so muss, wenn s x1 ≠ 0 sein soll, x1 denselben
ein- mithin x denselben ausschliessen. Für das Individuum s = i haben
wir ja in § 47 erkannt, dass (i x1 ≠ 0) = (i x = 0); und zwar wird in
diesem Falle s x1 = s selber eben jener Punkt sein.

Beiden Forderungen zugleich kann man im Allgemeinen genügen.
Dagegen ist dies immer dann und nur dann unmöglich, wenn p, = s, den
nämlichen Punkt vorstellt, indem, wenn wir diesen etwa mit i bezeich-
neten, das Erfülltsein der Forderung (i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) einen Wider-
spruch zu der fundamentalen Eigenschaft des Individuums i konsti-
tuiren würde, q. e. d.

Schliesslich hält es auch nicht schwer, die Partialklauseln sowol
als die Totalklausel oder Konklusion und volle Resultante ganz in
Formeln zu setzen. Zur Abkürzung wollen wir uns dabei der am
Schlusse des § 47 eingeführten Symbole Ji und J1i bedienen, welche
uns die Aussagen darstellten dass i Individuum, resp. nicht Individuum
sei, und dort bereits spezifizirt in unsrer Zeichensprache angesetzt
wurden. Man hat als das Ergebniss der Untersuchung:
50) k' = {(p = s) ⊆ J1p}, k'' = {(q = r) ⊆ J1q},
und kann man der erstern z. B. auch noch die Formen geben:
60) k' = {Jp Js ⊆ (p ≠ s)} = {Jp Js (p = s) = 0} = {J1p + J1s + (p ≠ s)}
zu deren Zurückführung auf die erste noch in Betracht zu ziehen ist,
dass nach dem Satze von der Ersetzbarkeit von Gleichem durch
Gleiches auch (p = s) Jp ⊆ Js sein muss.

Konklusion und volle Resultante der Elimination des x aus den
Prämissen zur linken ist also der Major der Subsumtion:
70) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0) ⊆ K,
wo:
80) K = (p ≠ 0) (r ≠ 0) + (p ≠ 0) (s ≠ 0) k' + (q ≠ 0) (r ≠ 0) k'' + (q ≠ 0) (s ≠ 0)
bedeutet. Um aber hierin deutlich zu erblicken, in welchen Fällen die
Teilklauseln k', resp. k'' ganz unerlässlich sind, wird man die beiden
innern Glieder, was ja erlaubt ist, noch multipliziren mit den Nega-
tionen der beiden äusseren Glieder — cf. Th. 3̅3̅+) Zusatz — wodurch

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[379/0403] § 49. Studien über die Klausel. Wird p ein Punkt, so muss er nur in x hereintreten, besser ge- sagt, muss man x so wählen, dass es denselben einschliesse, will man hinbringen, dass p x ≠ 0 werde; und zwar wird alsdann p x = p selber ebendieser Punkt sein. Ist s ein Punkt, so muss, wenn s x1 ≠ 0 sein soll, x1 denselben ein- mithin x denselben ausschliessen. Für das Individuum s = i haben wir ja in § 47 erkannt, dass (i x1 ≠ 0) = (i x = 0); und zwar wird in diesem Falle s x1 = s selber eben jener Punkt sein. Beiden Forderungen zugleich kann man im Allgemeinen genügen. Dagegen ist dies immer dann und nur dann unmöglich, wenn p, = s, den nämlichen Punkt vorstellt, indem, wenn wir diesen etwa mit i bezeich- neten, das Erfülltsein der Forderung (i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) einen Wider- spruch zu der fundamentalen Eigenschaft des Individuums i konsti- tuiren würde, q. e. d. Schliesslich hält es auch nicht schwer, die Partialklauseln sowol als die Totalklausel oder Konklusion und volle Resultante ganz in Formeln zu setzen. Zur Abkürzung wollen wir uns dabei der am Schlusse des § 47 eingeführten Symbole Ji und J1i bedienen, welche uns die Aussagen darstellten dass i Individuum, resp. nicht Individuum sei, und dort bereits spezifizirt in unsrer Zeichensprache angesetzt wurden. Man hat als das Ergebniss der Untersuchung: 50) k' = {(p = s)  J1p}, k'' = {(q = r)  J1q}, und kann man der erstern z. B. auch noch die Formen geben: 60) k' = {Jp Js  (p ≠ s)} = {Jp Js (p = s) = 0} = {J1p + J1s + (p ≠ s)} zu deren Zurückführung auf die erste noch in Betracht zu ziehen ist, dass nach dem Satze von der Ersetzbarkeit von Gleichem durch Gleiches auch (p = s) Jp  Js sein muss. Konklusion und volle Resultante der Elimination des x aus den Prämissen zur linken ist also der Major der Subsumtion: 70) (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0)  K, wo: 80) K = (p ≠ 0) (r ≠ 0) + (p ≠ 0) (s ≠ 0) k' + (q ≠ 0) (r ≠ 0) k'' + (q ≠ 0) (s ≠ 0) bedeutet. Um aber hierin deutlich zu erblicken, in welchen Fällen die Teilklauseln k', resp. k'' ganz unerlässlich sind, wird man die beiden innern Glieder, was ja erlaubt ist, noch multipliziren mit den Nega- tionen der beiden äusseren Glieder — cf. Th. 3̅3̅+) Zusatz — wodurch

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 379. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/403>, abgerufen am 02.05.2024.