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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 49. Studien über die Klausel.

Für den ersten und vierten Fall fällt die volle Resultante mit
der rohen zusammen; es ist:
(p x 0) (r x 0) (p 0) (r 0), (q x1 0) (s x1 0) (q 0) (s 0)
und sobald hier die Thesis rechts zur Hypothesis gemacht, als An-
nahme erfüllt ist, gibt es auch immer ein x resp. x1, welches der
Hypothesis links genügt. Für den ersten Fall nämlich ist ein solches
angebbar in Gestalt von x = p + r, für welches ja p x = p, r x = r,
mithin laut Annahme 0 sein wird, und ebenso für den letzten Fall
in Gestalt von x1 = q + s.

Hier also ist eine Klausel überhaupt nicht erforderlich; beziehungs-
weise ist dieselbe als k, = i, zu denken.

Anders für die beiden mittleren Fälle, wo die Formeln:
(p x 0) (s x1 0) (p 0) (s 0) und (q x1 0) (r x 0) (q 0) (r 0)
uns blos die Resultante aus dem Rohen geben und die Konklusionen
durch Zufügung einer Klausel k' resp. k'' zu den vollen Resultanten als:
(p 0) (s 0) k' resp. (q 0) (r 0) k''
erst ergänzt werden müssen.

Es möge nur die Klausel k' aufgesucht werden; aus ihr muss
sich dann k'' ergeben indem man blos die Buchstaben p, s durch r,
q ersetzt.

Nach der jetzt jedenfalls zur Voraussetzung zu erhebenden Thesis
(p 0) (s 0) der rohen Resultante müssen die (nicht verschwinden-
den) Symbole p, s als Gebiete gedeutet mindestens einen Punkt, im
Klassenkalkul mindestens ein Individuum enthalten. Um nicht Alles
doppelt aussprechen zu müssen, wollen wir uns nach Gutdünken nur
an die eine oder nur an die andere Auffassung halten.

Bekanntlich wird eine Klasse eine "singuläre" genannt, wenn sie
blos ein Individuum in sich begreift (wie z. B. bezogen auf die Mannig-
faltigkeit 1 des Wirklichen die Klasse "Gott" -- nach der mono-
theistischen Weltanschauung). Der singulären Klasse entspricht im Ge-
bietekalkul ein isolirter geometrischer Punkt auf der Tafelfläche 1.

Ich behaupte jetzt, dass die Bedingung oder Klausel k' zum not-
wendigen und ausreichenden Inhalt haben wird: die Forderung, dass
falls die Klassen p und s gleichzeitig singuläre sein sollten, sie verschieden
sein müssen, dass sie also nur nicht gerade (identisch) ein und dasselbe
Individuum ausschliesslich umfassen dürfen. (Analog hernach k'' in Be-
zug auf r und q.)

Setzen wir zunächst die Gebiete p und s als teilbar voraus, so ist

§ 49. Studien über die Klausel.

Für den ersten und vierten Fall fällt die volle Resultante mit
der rohen zusammen; es ist:
(p x ≠ 0) (r x ≠ 0) ⊆ (p ≠ 0) (r ≠ 0), (q x1 ≠ 0) (s x1 ≠ 0) ⊆ (q ≠ 0) (s ≠ 0)
und sobald hier die Thesis rechts zur Hypothesis gemacht, als An-
nahme erfüllt ist, gibt es auch immer ein x resp. x1, welches der
Hypothesis links genügt. Für den ersten Fall nämlich ist ein solches
angebbar in Gestalt von x = p + r, für welches ja p x = p, r x = r,
mithin laut Annahme ≠ 0 sein wird, und ebenso für den letzten Fall
in Gestalt von x1 = q + s.

Hier also ist eine Klausel überhaupt nicht erforderlich; beziehungs-
weise ist dieselbe als k, = i, zu denken.

Anders für die beiden mittleren Fälle, wo die Formeln:
(p x ≠ 0) (s x1 ≠ 0) ⊆ (p ≠ 0) (s ≠ 0) und (q x1 ≠ 0) (r x ≠ 0) ⊆ (q ≠ 0) (r ≠ 0)
uns blos die Resultante aus dem Rohen geben und die Konklusionen
durch Zufügung einer Klausel k' resp. k'' zu den vollen Resultanten als:
⊆ (p ≠ 0) (s ≠ 0) k' resp. ⊆ (q ≠ 0) (r ≠ 0) k''
erst ergänzt werden müssen.

Es möge nur die Klausel k' aufgesucht werden; aus ihr muss
sich dann k'' ergeben indem man blos die Buchstaben p, s durch r,
q ersetzt.

Nach der jetzt jedenfalls zur Voraussetzung zu erhebenden Thesis
(p ≠ 0) (s ≠ 0) der rohen Resultante müssen die (nicht verschwinden-
den) Symbole p, s als Gebiete gedeutet mindestens einen Punkt, im
Klassenkalkul mindestens ein Individuum enthalten. Um nicht Alles
doppelt aussprechen zu müssen, wollen wir uns nach Gutdünken nur
an die eine oder nur an die andere Auffassung halten.

Bekanntlich wird eine Klasse eine „singuläre“ genannt, wenn sie
blos ein Individuum in sich begreift (wie z. B. bezogen auf die Mannig-
faltigkeit 1 des Wirklichen die Klasse „Gott“ — nach der mono-
theistischen Weltanschauung). Der singulären Klasse entspricht im Ge-
bietekalkul ein isolirter geometrischer Punkt auf der Tafelfläche 1.

Ich behaupte jetzt, dass die Bedingung oder Klausel k' zum not-
wendigen und ausreichenden Inhalt haben wird: die Forderung, dass
falls die Klassen p und s gleichzeitig singuläre sein sollten, sie verschieden
sein müssen, dass sie also nur nicht gerade (identisch) ein und dasselbe
Individuum ausschliesslich umfassen dürfen. (Analog hernach k'' in Be-
zug auf r und q.)

Setzen wir zunächst die Gebiete p und s als teilbar voraus, so ist

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[377/0401] § 49. Studien über die Klausel. Für den ersten und vierten Fall fällt die volle Resultante mit der rohen zusammen; es ist: (p x ≠ 0) (r x ≠ 0)  (p ≠ 0) (r ≠ 0), (q x1 ≠ 0) (s x1 ≠ 0)  (q ≠ 0) (s ≠ 0) und sobald hier die Thesis rechts zur Hypothesis gemacht, als An- nahme erfüllt ist, gibt es auch immer ein x resp. x1, welches der Hypothesis links genügt. Für den ersten Fall nämlich ist ein solches angebbar in Gestalt von x = p + r, für welches ja p x = p, r x = r, mithin laut Annahme ≠ 0 sein wird, und ebenso für den letzten Fall in Gestalt von x1 = q + s. Hier also ist eine Klausel überhaupt nicht erforderlich; beziehungs- weise ist dieselbe als k, = i, zu denken. Anders für die beiden mittleren Fälle, wo die Formeln: (p x ≠ 0) (s x1 ≠ 0)  (p ≠ 0) (s ≠ 0) und (q x1 ≠ 0) (r x ≠ 0)  (q ≠ 0) (r ≠ 0) uns blos die Resultante aus dem Rohen geben und die Konklusionen durch Zufügung einer Klausel k' resp. k'' zu den vollen Resultanten als:  (p ≠ 0) (s ≠ 0) k' resp.  (q ≠ 0) (r ≠ 0) k'' erst ergänzt werden müssen. Es möge nur die Klausel k' aufgesucht werden; aus ihr muss sich dann k'' ergeben indem man blos die Buchstaben p, s durch r, q ersetzt. Nach der jetzt jedenfalls zur Voraussetzung zu erhebenden Thesis (p ≠ 0) (s ≠ 0) der rohen Resultante müssen die (nicht verschwinden- den) Symbole p, s als Gebiete gedeutet mindestens einen Punkt, im Klassenkalkul mindestens ein Individuum enthalten. Um nicht Alles doppelt aussprechen zu müssen, wollen wir uns nach Gutdünken nur an die eine oder nur an die andere Auffassung halten. Bekanntlich wird eine Klasse eine „singuläre“ genannt, wenn sie blos ein Individuum in sich begreift (wie z. B. bezogen auf die Mannig- faltigkeit 1 des Wirklichen die Klasse „Gott“ — nach der mono- theistischen Weltanschauung). Der singulären Klasse entspricht im Ge- bietekalkul ein isolirter geometrischer Punkt auf der Tafelfläche 1. Ich behaupte jetzt, dass die Bedingung oder Klausel k' zum not- wendigen und ausreichenden Inhalt haben wird: die Forderung, dass falls die Klassen p und s gleichzeitig singuläre sein sollten, sie verschieden sein müssen, dass sie also nur nicht gerade (identisch) ein und dasselbe Individuum ausschliesslich umfassen dürfen. (Analog hernach k'' in Be- zug auf r und q.) Setzen wir zunächst die Gebiete p und s als teilbar voraus, so ist

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 377. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/401>, abgerufen am 02.05.2024.