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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.
unsrer Aufgabe wird sich nachher nochmals anbringen lassen, nach-
dem wir auch dieses allgemeine Glied noch weiter in monomische
Unterglieder zerlegt haben werden.

Dies steht im Einklange mit einer schon in § 41 gegebenen An-
deutung (S. 211).

Auch dass der angegebene Ausdruck 30) für K, als Faktor zu 20)
gesetzt nur sich selbst wiedererzeugt, dass hier:
20) · K = 30) oder K selbst
wird, ist leicht nachzurechnen, und läuft auf einen Satz des identischen
Kalkuls hinaus, den wir durch die Formel darstellen wollen:
40) (a + b + c + ...) (a a + b b + c g + ...) = a a + b b + c g + ...
und den man einerseits durch Ausmultipliziren nachweisen kann, wo-
bei eben alle andern Partialprodukte ausser den rechts angegebenen
von diesen nach Th. 23+) absorbirt werden, der aber andrerseits auch
aus Th. 6x) und 17+), wonach: a a + b b + ... a + b + ... sein muss,
kraft Th. 20x) folgt. [Der Satz ist auch schon von andrer Seite be-
merkt worden.] --

Anstatt nun erst die Resultante aus dem Rohen anzugeben und
dieser dann als Korrektiv und Ergänzung K die volle Resultante bei-
zufügen, wird man einfacher sogleich die letztere selbst aufsuchen
-- wofern man nicht eben mit der erstern sich von Anfang be-
gnügt hatte.

Die volle Resultante S A k ergibt sich aber, indem man den Gliedern
jener Resultante aus dem Rohen die nötigen Klauseln einzeln beigesellt. --

Nach diesen Vorbetrachtungen wollen wir jetzt einmal den ein-
fachsten Fall erledigen: wo der Boole'sche Gleichungfaktor fehlt und
nur zwei Ungleichungfaktoren vorliegen, mithin die Prämisse lautet:
(p x + q x1 0) (r x + s x1 0).

Zerlegt nach dem Schema (a + b 0) = (a 0) + (b 0) des
§ 40, a) und ausmultiplizirt führen die beiden Faktoraussagen zu einer
Zerfällung der Prämissen in die Alternative von vier Möglichkeiten:
(p x 0) (r x 0) + (p x 0) (s x1 0) +
+ (q x1 0) (r x 0) + (q x1 0) (s x1 0)
deren volle Resultanten getrennt aufgesucht werden dürfen.

Dreiundzwanzigste Vorlesung.
unsrer Aufgabe wird sich nachher nochmals anbringen lassen, nach-
dem wir auch dieses allgemeine Glied noch weiter in monomische
Unterglieder zerlegt haben werden.

Dies steht im Einklange mit einer schon in § 41 gegebenen An-
deutung (S. 211).

Auch dass der angegebene Ausdruck 30) für K, als Faktor zu 20)
gesetzt nur sich selbst wiedererzeugt, dass hier:
20) · K = 30) oder K selbst
wird, ist leicht nachzurechnen, und läuft auf einen Satz des identischen
Kalkuls hinaus, den wir durch die Formel darstellen wollen:
40) (a + b + c + …) (a α + b β + c γ + …) = a α + b β + c γ + …
und den man einerseits durch Ausmultipliziren nachweisen kann, wo-
bei eben alle andern Partialprodukte ausser den rechts angegebenen
von diesen nach Th. 23+) absorbirt werden, der aber andrerseits auch
aus Th. 6×) und 17+), wonach: a α + b β + … ⊆ a + b + … sein muss,
kraft Th. 2̅0̅×) folgt. [Der Satz ist auch schon von andrer Seite be-
merkt worden.] —

Anstatt nun erst die Resultante aus dem Rohen anzugeben und
dieser dann als Korrektiv und Ergänzung K die volle Resultante bei-
zufügen, wird man einfacher sogleich die letztere selbst aufsuchen
— wofern man nicht eben mit der erstern sich von Anfang be-
gnügt hatte.

Die volle Resultante Σ A k ergibt sich aber, indem man den Gliedern
jener Resultante aus dem Rohen die nötigen Klauseln einzeln beigesellt. —

Nach diesen Vorbetrachtungen wollen wir jetzt einmal den ein-
fachsten Fall erledigen: wo der Boole’sche Gleichungfaktor fehlt und
nur zwei Ungleichungfaktoren vorliegen, mithin die Prämisse lautet:
(p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0).

Zerlegt nach dem Schema (a + b ≠ 0) = (a ≠ 0) + (b ≠ 0) des
§ 40, α) und ausmultiplizirt führen die beiden Faktoraussagen zu einer
Zerfällung der Prämissen in die Alternative von vier Möglichkeiten:
(p x ≠ 0) (r x ≠ 0) + (p x ≠ 0) (s x1 ≠ 0) +
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deren volle Resultanten getrennt aufgesucht werden dürfen.

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[376/0400] Dreiundzwanzigste Vorlesung. unsrer Aufgabe wird sich nachher nochmals anbringen lassen, nach- dem wir auch dieses allgemeine Glied noch weiter in monomische Unterglieder zerlegt haben werden. Dies steht im Einklange mit einer schon in § 41 gegebenen An- deutung (S. 211). Auch dass der angegebene Ausdruck 30) für K, als Faktor zu 20) gesetzt nur sich selbst wiedererzeugt, dass hier: 20) · K = 30) oder K selbst wird, ist leicht nachzurechnen, und läuft auf einen Satz des identischen Kalkuls hinaus, den wir durch die Formel darstellen wollen: 40) (a + b + c + …) (a α + b β + c γ + …) = a α + b β + c γ + … und den man einerseits durch Ausmultipliziren nachweisen kann, wo- bei eben alle andern Partialprodukte ausser den rechts angegebenen von diesen nach Th. 23+) absorbirt werden, der aber andrerseits auch aus Th. 6×) und 17+), wonach: a α + b β + …  a + b + … sein muss, kraft Th. 2̅0̅×) folgt. [Der Satz ist auch schon von andrer Seite be- merkt worden.] — Anstatt nun erst die Resultante aus dem Rohen anzugeben und dieser dann als Korrektiv und Ergänzung K die volle Resultante bei- zufügen, wird man einfacher sogleich die letztere selbst aufsuchen — wofern man nicht eben mit der erstern sich von Anfang be- gnügt hatte. Die volle Resultante Σ A k ergibt sich aber, indem man den Gliedern jener Resultante aus dem Rohen die nötigen Klauseln einzeln beigesellt. — Nach diesen Vorbetrachtungen wollen wir jetzt einmal den ein- fachsten Fall erledigen: wo der Boole’sche Gleichungfaktor fehlt und nur zwei Ungleichungfaktoren vorliegen, mithin die Prämisse lautet: (p x + q x1 ≠ 0) (r x + s x1 ≠ 0). Zerlegt nach dem Schema (a + b ≠ 0) = (a ≠ 0) + (b ≠ 0) des § 40, α) und ausmultiplizirt führen die beiden Faktoraussagen zu einer Zerfällung der Prämissen in die Alternative von vier Möglichkeiten: (p x ≠ 0) (r x ≠ 0) + (p x ≠ 0) (s x1 ≠ 0) + + (q x1 ≠ 0) (r x ≠ 0) + (q x1 ≠ 0) (s x1 ≠ 0) deren volle Resultanten getrennt aufgesucht werden dürfen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 376. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/400>, abgerufen am 23.11.2024.