Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 49. Studien über die Klausel.

Gilt Σ A k, ist diese Voraussetzung erfüllt, so muss wegen
(Σ A k = i) = Σ (A k = i)
— vergl. § 45, β₊) — auch mindestens eine ihrer Gliederaussagen gelten;
und sei etwa A k selbst ebendiese.

Wir haben dann, weil A k volle Resultante für A_x sein sollte:
A k ⊆ [Formel 1] A_x,
und umsomehr [weil nach Th. 6̄₊) A_x ⊆ Σ A_x, das Glied der Summe ein-
geordnet ist und diese Subsumtion wieder nach x gemäss Th. 1̅7̅₊) sum-
mirt werden kann, sonach auch [Formel 2] A_x ⊆ [Formel 3] Σ A_x sein muss]:
A k ⊆ [Formel 4] Σ A_x oder A k ⊆ [Formel 5] 1⁰).
Gälte zugleich mit A k, was nicht ausgeschlossen ist, auch A' k', so hätten
wir kraft derselben Schlüsse auch A' k' ⊆ [Formel 6] 1⁰). Gilt aber — was eben-
falls zugelassen — A' k' nicht, so ist es = 0 und haben wir wiederum
A' k' ⊆ [Formel 7] 1⁰) kraft Def. (2_×), und so weiter.

Wir können uns also die Subsumtionen:
A k ⊆ [Formel 8] 1⁰), A' k' ⊆ [Formel 9] 1⁰), A'' k'' ⊆ [Formel 10] 1⁰), …
als jedenfalls gleichzeitig zutreffende nach Def. (3₊) zusammenziehen in
Σ A k ⊆ [Formel 11] 1⁰), oder 3⁰), = K ⊆ [Formel 12] 1⁰),
was noch zu zeigen gewesen. —

Man könnte wähnen, dass die Bedingung K auch nicht notwendig er-
füllt zu sein brauche, indem man sich etwa folgenden Fall vergegenwärtigt.

Gesetzt, es gilt A in 2⁰), aber nicht A k, sodass es kein x geben
muss und wird, welches A_x in 1⁰) erfüllt. So wäre denkbar, dass es als-
dann doch noch ein x gibt, welches ein anderes Glied von 1⁰) als A_x, zum
Beispiel A_x' erfüllt — sodass also der Zusatz von k zu A als nicht er-
forderlich sich darstellt.

Dieses allerdings ist richtig. Allein dann hätten wir wegen A_x' ⊆ A' k'
dafür die Gewissheit, dass A' k' erfüllt ist (als Konklusion und Resultante,
sintemal es laut ebengemachter Annahme ein A_x' erfüllendes x gibt).

Sicher wäre dann auch die Alternative Σ A k = i erfüllt, eben wegen
des Erfülltseins des zweiten Gliedes A' k' = i linkseitiger Summe, und ob
— was das erste Glied betrifft — bei dem zufällig miterfüllten A auch
der Faktor k noch miterfüllt ist oder nicht, bleibt sich egal.

Wir können darnach behufs Ermittelung der Klausel oder vollen
Resultante von den Summenzeichen in 1⁰) und 2⁰) absehen und brauchen
uns nur noch mit Aufsuchung der vollen Resultante des allgemeinen
Gliedes A_x in 1⁰) zu beschäftigen. Eine ähnliche Vereinfachung