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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.
10) = S Ax = Ax + Ax' + Ax'' + ...
20) = S A = A + A' + A'' + ...
so wissen wir bereits, dass auch je für sich:
Ax A, Ax' A', Ax'' A'', ...
ist. Sollte dies nicht aus § 41 erinnerlich sein, so geht es augenblick-
lich aus dem allgemeinen Theorem ph) daselbst S. 212, das ist aus
unsrer Subsumtion 10) 20) hervor, indem man selbige für eine ein-
gliedrige Summe S in Anspruch nimmt.

Für das Glied Ax der Prämissenaussage, die als eine Summe von
Gliedern (als alternativen Annahmen) sich darstellte, ist nun A zwar
eine richtige Resultante der Elimination des x, aber im allgemeinen
nicht die volle; vielmehr kann und muss es zu dieser erst ergänzt
werden durch multiplikative Hinzufügung einer gewissen Klausel k (die
nur gleich i zu denken ist, falls einmal zufällig A schon die volle
Resultante sein sollte). Es wird m. a. W. aus Ax sich mehr noch, als
blos A, in Bezug auf die Parameter folgern lassen, und was sich im
Ganzen folgern lässt, ist die volle Resultante A · k. Etc. Somit werden
erst durch:
Ax A k, Ax' A' k', Ax'' A'' k'', ...
die vollen Einzelresultanten der Prämissenglieder darzustellen sein,
oder: es müssen auch die einzelnen Glieder unsrer Resultante aus dem
Rohen ihre eignen Klauseln haben.

Sind letztere bekannt, so -- behaupten wir -- ist auch die Ge-
samtklausel K oder volle Resultante 30) gefunden, und zwar wird sie
lauten:
30) = K = A k + A' k' + A'' k'' + ... = S A k.

Dass in der That dieses K eine notwendige Bedingung für die
Geltung von 10) vorstellt, somit eine berechtigte Folgerung aus 10)
oder "eine" Resultante ist, erhellt durch überschiebendes Addiren, Sum-
miren der vorausgehenden Subsumtionen gemäss Th. 17+), wodurch
sich ergibt:
10), = S Ax S A k.

Dass diese Bedingung K aber auch hinreicht, um die Existenz
eines 10) erfüllenden x zu garantiren, dass sie mithin die volle Resul-
tante ist, erkennt man unschwer mittelst dilemmatischen Schlusses.
Vergl. § 45, S. 267.

Die rechnerische Ausführung gestaltet sich im Detail freilich etwas
umständlich, wie folgt.

Dreiundzwanzigste Vorlesung.
10) = Σ Ax = Ax + Ax' + Ax'' + …
20) = Σ A = A + A' + A'' + …
so wissen wir bereits, dass auch je für sich:
Ax ⊆ A, Ax' ⊆ A', Ax'' ⊆ A'', …
ist. Sollte dies nicht aus § 41 erinnerlich sein, so geht es augenblick-
lich aus dem allgemeinen Theorem φ) daselbst S. 212, das ist aus
unsrer Subsumtion 10) ⊆ 20) hervor, indem man selbige für eine ein-
gliedrige Summe Σ in Anspruch nimmt.

Für das Glied Ax der Prämissenaussage, die als eine Summe von
Gliedern (als alternativen Annahmen) sich darstellte, ist nun A zwar
eine richtige Resultante der Elimination des x, aber im allgemeinen
nicht die volle; vielmehr kann und muss es zu dieser erst ergänzt
werden durch multiplikative Hinzufügung einer gewissen Klausel k (die
nur gleich i̇ zu denken ist, falls einmal zufällig A schon die volle
Resultante sein sollte). Es wird m. a. W. aus Ax sich mehr noch, als
blos A, in Bezug auf die Parameter folgern lassen, und was sich im
Ganzen folgern lässt, ist die volle Resultante A · k. Etc. Somit werden
erst durch:
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die vollen Einzelresultanten der Prämissenglieder darzustellen sein,
oder: es müssen auch die einzelnen Glieder unsrer Resultante aus dem
Rohen ihre eignen Klauseln haben.

Sind letztere bekannt, so — behaupten wir — ist auch die Ge-
samtklausel K oder volle Resultante 30) gefunden, und zwar wird sie
lauten:
30) = K = A k + A' k' + A'' k'' + … = Σ A k.

Dass in der That dieses K eine notwendige Bedingung für die
Geltung von 10) vorstellt, somit eine berechtigte Folgerung aus 10)
oder „eine“ Resultante ist, erhellt durch überschiebendes Addiren, Sum-
miren der vorausgehenden Subsumtionen gemäss Th. 1̅7̅+), wodurch
sich ergibt:
10), = Σ Ax ⊆ Σ A k.

Dass diese Bedingung K aber auch hinreicht, um die Existenz
eines 10) erfüllenden x zu garantiren, dass sie mithin die volle Resul-
tante ist, erkennt man unschwer mittelst dilemmatischen Schlusses.
Vergl. § 45, S. 267.

Die rechnerische Ausführung gestaltet sich im Detail freilich etwas
umständlich, wie folgt.

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[374/0398] Dreiundzwanzigste Vorlesung. 10) = Σ Ax = Ax + Ax' + Ax'' + … 20) = Σ A = A + A' + A'' + … so wissen wir bereits, dass auch je für sich: Ax  A, Ax'  A', Ax''  A'', … ist. Sollte dies nicht aus § 41 erinnerlich sein, so geht es augenblick- lich aus dem allgemeinen Theorem φ) daselbst S. 212, das ist aus unsrer Subsumtion 10)  20) hervor, indem man selbige für eine ein- gliedrige Summe Σ in Anspruch nimmt. Für das Glied Ax der Prämissenaussage, die als eine Summe von Gliedern (als alternativen Annahmen) sich darstellte, ist nun A zwar eine richtige Resultante der Elimination des x, aber im allgemeinen nicht die volle; vielmehr kann und muss es zu dieser erst ergänzt werden durch multiplikative Hinzufügung einer gewissen Klausel k (die nur gleich i̇ zu denken ist, falls einmal zufällig A schon die volle Resultante sein sollte). Es wird m. a. W. aus Ax sich mehr noch, als blos A, in Bezug auf die Parameter folgern lassen, und was sich im Ganzen folgern lässt, ist die volle Resultante A · k. Etc. Somit werden erst durch: Ax  A k, Ax'  A' k', Ax''  A'' k'', … die vollen Einzelresultanten der Prämissenglieder darzustellen sein, oder: es müssen auch die einzelnen Glieder unsrer Resultante aus dem Rohen ihre eignen Klauseln haben. Sind letztere bekannt, so — behaupten wir — ist auch die Ge- samtklausel K oder volle Resultante 30) gefunden, und zwar wird sie lauten: 30) = K = A k + A' k' + A'' k'' + … = Σ A k. Dass in der That dieses K eine notwendige Bedingung für die Geltung von 10) vorstellt, somit eine berechtigte Folgerung aus 10) oder „eine“ Resultante ist, erhellt durch überschiebendes Addiren, Sum- miren der vorausgehenden Subsumtionen gemäss Th. 1̅7̅+), wodurch sich ergibt: 10), = Σ Ax  Σ A k. Dass diese Bedingung K aber auch hinreicht, um die Existenz eines 10) erfüllenden x zu garantiren, dass sie mithin die volle Resul- tante ist, erkennt man unschwer mittelst dilemmatischen Schlusses. Vergl. § 45, S. 267. Die rechnerische Ausführung gestaltet sich im Detail freilich etwas umständlich, wie folgt.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 374. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/398>, abgerufen am 27.11.2024.