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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
oder Faktor, jener Voraussetzung ebendieses i1 x = 0 zu denken ist,
so ist durch Vergleichung -- cf. Th. 4) -- auch x = 0 nachge-
wiesen, q. e. d. --

Sonach ist erkannt, dass
(b) (x).

Um umgekehrt auch (b) aus (x) oder (o) abzuleiten, zu zeigen,
dass auch
(x) (b)
ist, erscheint es bequem, sich des indirekten Beweisverfahrens zu be-
dienen -- über welches § 46, 1 zu vergleichen. Ich thue dies um so
lieber, als schon wiederholt bemerkt und als auffallend verzeichnet
worden ist, dass gerade in der Logik von diesem Beweisverfahren nie-
mals Gebrauch gemacht worden sei.

Es ist darzuthun, dass auf Grund von (o) die Inkonsistenz b) be-
stehen muss.

Gesetzt nun, sie bestehe nicht, d. h. es gebe ein x, für welches
i x 0 und zugleich i x1 0 ist, so lässt sich, wenn (o) gilt, aus
dieser Annahme ein Widerspruch ableiten.

Gilt nämlich i x1 0, so ist i x ein solches X, welches von der
in (o) mitenthaltenen Forderung:
(i1 X = 0) (i X1 0) (X = 0)
die Voraussetzung linkerhand erfüllt, indem für X = i x sicher
i1 X = i1 i x = 0 und i X1 = i (i1 + x1) = i x1 0
ist, und welches demnach von ihr auch die Folgerung rechterhand:
X = 0 erfüllen muss. Auf diese Weise gelangen wir aber zu dem
Ergebniss: i x = 0 entgegen der andrerseits gemachten Annahme
i x 0. Es war demnach die Annahme unzulässig, d. h. es muss sein:
(i x 0) (i x1 0) = 0,
und dieses allgemein für jedes x, womit (b) gewonnen ist.

Auch ohne die apagogische Beweisform lässt sich dies zeigen, indem
man in der eben geschilderten Weise aus (o) folgert, dass:
(i x1 0) (i x = 0),
sonach die Inkonsistenz unter dem Zeichen P bei (b') oder (b) allgemein
bestehen muss.

Ungeachtet ihres so verschiedenen Ansehens sind demnach die
Definitionen (b) und (x) nur Umschreibungen von einander.

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
oder Faktor, jener Voraussetzung ebendieses i1 x = 0 zu denken ist,
so ist durch Vergleichung — cf. Th. 4) — auch x = 0 nachge-
wiesen, q. e. d. —

Sonach ist erkannt, dass
(β) ⊆ (ξ).

Um umgekehrt auch (β) aus (ξ) oder (ο) abzuleiten, zu zeigen,
dass auch
(ξ) ⊆ (β)
ist, erscheint es bequem, sich des indirekten Beweisverfahrens zu be-
dienen — über welches § 46, 1 zu vergleichen. Ich thue dies um so
lieber, als schon wiederholt bemerkt und als auffallend verzeichnet
worden ist, dass gerade in der Logik von diesem Beweisverfahren nie-
mals Gebrauch gemacht worden sei.

Es ist darzuthun, dass auf Grund von (ο) die Inkonsistenz β) be-
stehen muss.

Gesetzt nun, sie bestehe nicht, d. h. es gebe ein x, für welches
i x ≠ 0 und zugleich i x1 ≠ 0 ist, so lässt sich, wenn (ο) gilt, aus
dieser Annahme ein Widerspruch ableiten.

Gilt nämlich i x1 ≠ 0, so ist i x ein solches X, welches von der
in (ο) mitenthaltenen Forderung:
(i1 X = 0) (i X1 ≠ 0) ⊆ (X = 0)
die Voraussetzung linkerhand erfüllt, indem für X = i x sicher
i1 X = i1 i x = 0 und i X1 = i (i1 + x1) = i x1 ≠ 0
ist, und welches demnach von ihr auch die Folgerung rechterhand:
X = 0 erfüllen muss. Auf diese Weise gelangen wir aber zu dem
Ergebniss: i x = 0 entgegen der andrerseits gemachten Annahme
i x ≠ 0. Es war demnach die Annahme unzulässig, d. h. es muss sein:
(i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) = 0,
und dieses allgemein für jedes x, womit (β) gewonnen ist.

Auch ohne die apagogische Beweisform lässt sich dies zeigen, indem
man in der eben geschilderten Weise aus (ο) folgert, dass:
(i x1 ≠ 0) ⊆ (i x = 0),
sonach die Inkonsistenz unter dem Zeichen Π bei (β') oder (β) allgemein
bestehen muss.

Ungeachtet ihres so verschiedenen Ansehens sind demnach die
Definitionen (β) und (ξ) nur Umschreibungen von einander.

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[328/0352] Zweiundzwanzigste Vorlesung. oder Faktor, jener Voraussetzung ebendieses i1 x = 0 zu denken ist, so ist durch Vergleichung — cf. Th. 4) — auch x = 0 nachge- wiesen, q. e. d. — Sonach ist erkannt, dass (β)  (ξ). Um umgekehrt auch (β) aus (ξ) oder (ο) abzuleiten, zu zeigen, dass auch (ξ)  (β) ist, erscheint es bequem, sich des indirekten Beweisverfahrens zu be- dienen — über welches § 46, 1 zu vergleichen. Ich thue dies um so lieber, als schon wiederholt bemerkt und als auffallend verzeichnet worden ist, dass gerade in der Logik von diesem Beweisverfahren nie- mals Gebrauch gemacht worden sei. Es ist darzuthun, dass auf Grund von (ο) die Inkonsistenz β) be- stehen muss. Gesetzt nun, sie bestehe nicht, d. h. es gebe ein x, für welches i x ≠ 0 und zugleich i x1 ≠ 0 ist, so lässt sich, wenn (ο) gilt, aus dieser Annahme ein Widerspruch ableiten. Gilt nämlich i x1 ≠ 0, so ist i x ein solches X, welches von der in (ο) mitenthaltenen Forderung: (i1 X = 0) (i X1 ≠ 0)  (X = 0) die Voraussetzung linkerhand erfüllt, indem für X = i x sicher i1 X = i1 i x = 0 und i X1 = i (i1 + x1) = i x1 ≠ 0 ist, und welches demnach von ihr auch die Folgerung rechterhand: X = 0 erfüllen muss. Auf diese Weise gelangen wir aber zu dem Ergebniss: i x = 0 entgegen der andrerseits gemachten Annahme i x ≠ 0. Es war demnach die Annahme unzulässig, d. h. es muss sein: (i x ≠ 0) (i x1 ≠ 0) = 0, und dieses allgemein für jedes x, womit (β) gewonnen ist. Auch ohne die apagogische Beweisform lässt sich dies zeigen, indem man in der eben geschilderten Weise aus (ο) folgert, dass: (i x1 ≠ 0)  (i x = 0), sonach die Inkonsistenz unter dem Zeichen Π bei (β') oder (β) allgemein bestehen muss. Ungeachtet ihres so verschiedenen Ansehens sind demnach die Definitionen (β) und (ξ) nur Umschreibungen von einander.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 328. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/352>, abgerufen am 16.06.2024.