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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 47. Zurückführung der Punktdefinitionen aufeinander.

Dies ist, wenn wir die vorkommende Unterordnung gemäss § 36
auf den Typus der Gleichung und Ungleichung zurückführen, äqui-
valent mit:
(o) (i 0) [Formel 1] {(i1 x = 0) (i x1 0) (x = 0)} = i.

Man begreift zunächst intuitiv die Berechtigung auch dieser Defi-
nition: Soll eine Klasse x dem Individuum i wirklich untergeordnet
(und nicht gleich demselben) sein, also weniger als dieses eine Indi-
viduum enthalten, so muss sie gar nichts enthalten, völlig leer sein;
und umgekehrt wird dieses Verhalten von i jeder beliebigen Klasse x
gegenüber in Verbindung mit der Auflage, selber 0 zu sein, cha-
rakteristisch für das Individuum sein. Ein Gebiet muss ein Punkt
sein, wenn es ohne selbst zu verschwinden, echte Teile überhaupt
nicht enthalten kann.

Wir stellen uns aber auch die Aufgabe, systematisch die Aqui-
valenz der beiden Definitionen (x) oder (o) und (b) nachzuweisen,
was auf den ersten Blick zwar nicht ganz naheliegend erscheint, in-
dessen gleichwol nicht schwer ist.

Um (o) aus (b) zu folgern, ist blos zu zeigen, dass auf Grund
von (b) die Voraussetzung (i1 x = 0) (i x1 0) die Konsequenz haben
muss: x = 0. Nach Th. 6x) ist nun aber:
(i1 x = 0) (i x1 0) (i x1 0)
und nach der aus (b) bereits gewonnenen Subsumtion b'') ist:
(i x1 0) (i x = 0),
sodass aus jener Voraussetzung auch i x = 0 a fortiori folgt. Sonach
ist dann x = i x + i1 x = 0 + i1 x = i1 x und da nach dem andern Teil,

schreitet die von ihm sich selbst gesteckten Grenzen und begibt sich auf das
Gebiet des weiteren oder Klassenkalkuls. Der Aussagenkalkul wäre blos imstande,
die Einheit i als "das Individuum" zu erklären, vermöchte aber für sich allein
ein "Individuum überhaupt" gar nicht zu definiren. Und zwar deshalb, weil sein
Hinausgreifen über den Boole'schen Kalkul zufolge vermeintlichen Besitzes einer
verneinenden Kopula, kraft Formel z) S. 66 ein illusorisches ist, vielmehr in ihm
schon jede Ungleichung, sowie Subsumtions-Verneinung auf eine Gleichung oder
Subsumtion sich denknotwendig reduzirt, sonach auch in ihm die echte Unter-
ordnung (deren Zeichen ja oben verwendet wird) unfähig ist, sei es so, wie
Peirce 5 p. 21 es versucht, sei es überhaupt nur, definirt zu werden! Für Aus-
sagen A, B müsste in der That, wie leicht, auch nach S. 120, zu sehen:
(A B) = (A = 0) (B = i)
schon gelten.
§ 47. Zurückführung der Punktdefinitionen aufeinander.

Dies ist, wenn wir die vorkommende Unterordnung gemäss § 36
auf den Typus der Gleichung und Ungleichung zurückführen, äqui-
valent mit:
(ο) (i ≠ 0) [Formel 1] {(i1 x = 0) (i x1 ≠ 0) ⊆ (x = 0)} = i.

Man begreift zunächst intuitiv die Berechtigung auch dieser Defi-
nition: Soll eine Klasse x dem Individuum i wirklich untergeordnet
(und nicht gleich demselben) sein, also weniger als dieses eine Indi-
viduum enthalten, so muss sie gar nichts enthalten, völlig leer sein;
und umgekehrt wird dieses Verhalten von i jeder beliebigen Klasse x
gegenüber in Verbindung mit der Auflage, selber ≠ 0 zu sein, cha-
rakteristisch für das Individuum sein. Ein Gebiet muss ein Punkt
sein, wenn es ohne selbst zu verschwinden, echte Teile überhaupt
nicht enthalten kann.

Wir stellen uns aber auch die Aufgabe, systematisch die Aqui-
valenz der beiden Definitionen (ξ) oder (ο) und (β) nachzuweisen,
was auf den ersten Blick zwar nicht ganz naheliegend erscheint, in-
dessen gleichwol nicht schwer ist.

Um (ο) aus (β) zu folgern, ist blos zu zeigen, dass auf Grund
von (β) die Voraussetzung (i1 x = 0) (i x1 ≠ 0) die Konsequenz haben
muss: x = 0. Nach Th. 6×) ist nun aber:
(i1 x = 0) (i x1 ≠ 0) ⊆ (i x1 ≠ 0)
und nach der aus (β) bereits gewonnenen Subsumtion β'') ist:
(i x1 ≠ 0) ⊆ (i x = 0),
sodass aus jener Voraussetzung auch i x = 0 a fortiori folgt. Sonach
ist dann x = i x + i1 x = 0 + i1 x = i1 x und da nach dem andern Teil,

schreitet die von ihm sich selbst gesteckten Grenzen und begibt sich auf das
Gebiet des weiteren oder Klassenkalkuls. Der Aussagenkalkul wäre blos imstande,
die Einheit i als „das Individuum“ zu erklären, vermöchte aber für sich allein
ein „Individuum überhaupt“ gar nicht zu definiren. Und zwar deshalb, weil sein
Hinausgreifen über den Boole’schen Kalkul zufolge vermeintlichen Besitzes einer
verneinenden Kopula, kraft Formel ζ) S. 66 ein illusorisches ist, vielmehr in ihm
schon jede Ungleichung, sowie Subsumtions-Verneinung auf eine Gleichung oder
Subsumtion sich denknotwendig reduzirt, sonach auch in ihm die echte Unter-
ordnung (deren Zeichen ⊂ ja oben verwendet wird) unfähig ist, sei es so, wie
Peirce 5 p. 21 es versucht, sei es überhaupt nur, definirt zu werden! Für Aus-
sagen A, B müsste in der That, wie leicht, auch nach S. 120, zu sehen:
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schon gelten.
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[327/0351] § 47. Zurückführung der Punktdefinitionen aufeinander. Dies ist, wenn wir die vorkommende Unterordnung gemäss § 36 auf den Typus der Gleichung und Ungleichung zurückführen, äqui- valent mit: (ο) (i ≠ 0) [FORMEL] {(i1 x = 0) (i x1 ≠ 0)  (x = 0)} = i. Man begreift zunächst intuitiv die Berechtigung auch dieser Defi- nition: Soll eine Klasse x dem Individuum i wirklich untergeordnet (und nicht gleich demselben) sein, also weniger als dieses eine Indi- viduum enthalten, so muss sie gar nichts enthalten, völlig leer sein; und umgekehrt wird dieses Verhalten von i jeder beliebigen Klasse x gegenüber in Verbindung mit der Auflage, selber ≠ 0 zu sein, cha- rakteristisch für das Individuum sein. Ein Gebiet muss ein Punkt sein, wenn es ohne selbst zu verschwinden, echte Teile überhaupt nicht enthalten kann. Wir stellen uns aber auch die Aufgabe, systematisch die Aqui- valenz der beiden Definitionen (ξ) oder (ο) und (β) nachzuweisen, was auf den ersten Blick zwar nicht ganz naheliegend erscheint, in- dessen gleichwol nicht schwer ist. Um (ο) aus (β) zu folgern, ist blos zu zeigen, dass auf Grund von (β) die Voraussetzung (i1 x = 0) (i x1 ≠ 0) die Konsequenz haben muss: x = 0. Nach Th. 6×) ist nun aber: (i1 x = 0) (i x1 ≠ 0)  (i x1 ≠ 0) und nach der aus (β) bereits gewonnenen Subsumtion β'') ist: (i x1 ≠ 0)  (i x = 0), sodass aus jener Voraussetzung auch i x = 0 a fortiori folgt. Sonach ist dann x = i x + i1 x = 0 + i1 x = i1 x und da nach dem andern Teil, *) *) schreitet die von ihm sich selbst gesteckten Grenzen und begibt sich auf das Gebiet des weiteren oder Klassenkalkuls. Der Aussagenkalkul wäre blos imstande, die Einheit i als „das Individuum“ zu erklären, vermöchte aber für sich allein ein „Individuum überhaupt“ gar nicht zu definiren. Und zwar deshalb, weil sein Hinausgreifen über den Boole’schen Kalkul zufolge vermeintlichen Besitzes einer verneinenden Kopula, kraft Formel ζ) S. 66 ein illusorisches ist, vielmehr in ihm schon jede Ungleichung, sowie Subsumtions-Verneinung auf eine Gleichung oder Subsumtion sich denknotwendig reduzirt, sonach auch in ihm die echte Unter- ordnung (deren Zeichen ⊂ ja oben verwendet wird) unfähig ist, sei es so, wie Peirce 5 p. 21 es versucht, sei es überhaupt nur, definirt zu werden! Für Aus- sagen A, B müsste in der That, wie leicht, auch nach S. 120, zu sehen: (A ⊂ B) = (A = 0) (B = i) schon gelten.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 327. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/351>, abgerufen am 23.11.2024.