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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
b), e) und g), z) noch in mannigfachster Weise anschreiben, und seien
hervorgehoben:
k)    
(i a) (i a1) = 0,(i a) + (i a1) = i,
(i a = i) (i a1 = i) = 0,(i a = i) + (i a1 = i) = i,
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etc. Doch darf nicht übersehen werden, dass dieselben nicht mehr
gleichermassen für das Individuum charakteristisch sein werden. So
z. B. gelten die Relationen der zweiten Zeile auch dann, wenn man
unter i kein Individuum sondern 0 versteht -- wie denn auf dem be-
tretenen Wege, durch Berücksichtigung der Relationen th), teilweise
sich reine Identitäten, wie (i a = 0) (i a 0) = 0 etc. ergeben.

Ersetzt man demnach in den Definitionen (b) oder (g) des i als
eines Individuums den allgemeinen Faktor hinter dem P durch einen
erst kraft solcher Definition ihm äquivalenten Ausdruck, so kann man
zwar sicher darauf rechnen, einen richtigen vom Individuum i gelten-
den Satz zu erhalten, allein dieser wird sich nicht ohne weiteres, er
wird für sich allein nicht immer schon als eine ausreichende Definition
des Individuums sich hinstellen lassen.

Nur wenn die Umformungen jenes allgemeinen Faktors ohne
solchen Zirkel einer Benutzung der Definition selbst und namentlich
also der aus ihr geflossenen Relationen e), nach allgemeinen Schemata
des identischen Kalkuls erfolgt, erhalten wir unfehlbar wieder eine
Definition von i -- in erneuter Gestalt.

Z. B. da (i a = 0) = (i a1) bereits gilt, wenn i auch eine be-
liebige Klasse vorstellte, so wird
(l) (i 0) [Formel 1] {(i x) + (i x1)} = i
uns eine vollkommne Definition des i als eines "Individuums" vor-
stellen -- und zwar ist diese von allen wol die durchsichtigste und
am meisten zum Citiren geeignet. Man könnte sie auch in der Form
ansetzen:
(l') (i 0) [Formel 2] {(i x) + (x i1)} = (i ist ein Individuum).

Lehrreich dürften in beregter Hinsicht auch noch diese Betrach-
tungen sein.

Da die Glieder in g) wegen e) disjunkt sind, so kann man kraft
Th. 33+) die Summe A + B dortselbst, welche = A B1 + A1 B + A B ist,

§ 47. Auf Individuen bezügliche Sätze.
β), ε) und γ), ζ) noch in mannigfachster Weise anschreiben, und seien
hervorgehoben:
ϰ)    
(i ⊆ a) (i ⊆ a1) = 0,(i ⊆ a) + (i ⊆ a1) = i,
(i a = i) (i a1 = i) = 0,(i a = i) + (i a1 = i) = i,
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etc. Doch darf nicht übersehen werden, dass dieselben nicht mehr
gleichermassen für das Individuum charakteristisch sein werden. So
z. B. gelten die Relationen der zweiten Zeile auch dann, wenn man
unter i kein Individuum sondern 0 versteht — wie denn auf dem be-
tretenen Wege, durch Berücksichtigung der Relationen ϑ), teilweise
sich reine Identitäten, wie (i a = 0) (i a ≠ 0) = 0 etc. ergeben.

Ersetzt man demnach in den Definitionen (β) oder (γ) des i als
eines Individuums den allgemeinen Faktor hinter dem Π durch einen
erst kraft solcher Definition ihm äquivalenten Ausdruck, so kann man
zwar sicher darauf rechnen, einen richtigen vom Individuum i gelten-
den Satz zu erhalten, allein dieser wird sich nicht ohne weiteres, er
wird für sich allein nicht immer schon als eine ausreichende Definition
des Individuums sich hinstellen lassen.

Nur wenn die Umformungen jenes allgemeinen Faktors ohne
solchen Zirkel einer Benutzung der Definition selbst und namentlich
also der aus ihr geflossenen Relationen η), nach allgemeinen Schemata
des identischen Kalkuls erfolgt, erhalten wir unfehlbar wieder eine
Definition von i — in erneuter Gestalt.

Z. B. da (i a = 0) = (i ⊆ a1) bereits gilt, wenn i auch eine be-
liebige Klasse vorstellte, so wird
(λ) (i ≠ 0) [Formel 1] {(i ⊆ x) + (i ⊆ x1)} = i
uns eine vollkommne Definition des i als eines „Individuums“ vor-
stellen — und zwar ist diese von allen wol die durchsichtigste und
am meisten zum Citiren geeignet. Man könnte sie auch in der Form
ansetzen:
(λ') (i ≠ 0) [Formel 2] {(i ⊆ x) + (x ⊆ i1)} = (i ist ein Individuum).

Lehrreich dürften in beregter Hinsicht auch noch diese Betrach-
tungen sein.

Da die Glieder in γ) wegen ε) disjunkt sind, so kann man kraft
Th. 3̅3̅+) die Summe A + B dortselbst, welche = A B1 + A1 B + A B ist,

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[325/0349] § 47. Auf Individuen bezügliche Sätze. β), ε) und γ), ζ) noch in mannigfachster Weise anschreiben, und seien hervorgehoben: ϰ) (i  a) (i  a1) = 0, (i  a) + (i  a1) = i, (i a = i) (i a1 = i) = 0, (i a = i) + (i a1 = i) = i, (i a = i) (i a1 ≠ 0) = 0, (i a ≠ 0) (i a1 = i) = 0, (i a = i) + (i a1 ≠ 0) = i, (i a ≠ 0) + (i a1 = i) = i, (i  a) (a  i1) = 0, (i  a) + (a  i1) = i, etc. Doch darf nicht übersehen werden, dass dieselben nicht mehr gleichermassen für das Individuum charakteristisch sein werden. So z. B. gelten die Relationen der zweiten Zeile auch dann, wenn man unter i kein Individuum sondern 0 versteht — wie denn auf dem be- tretenen Wege, durch Berücksichtigung der Relationen ϑ), teilweise sich reine Identitäten, wie (i a = 0) (i a ≠ 0) = 0 etc. ergeben. Ersetzt man demnach in den Definitionen (β) oder (γ) des i als eines Individuums den allgemeinen Faktor hinter dem Π durch einen erst kraft solcher Definition ihm äquivalenten Ausdruck, so kann man zwar sicher darauf rechnen, einen richtigen vom Individuum i gelten- den Satz zu erhalten, allein dieser wird sich nicht ohne weiteres, er wird für sich allein nicht immer schon als eine ausreichende Definition des Individuums sich hinstellen lassen. Nur wenn die Umformungen jenes allgemeinen Faktors ohne solchen Zirkel einer Benutzung der Definition selbst und namentlich also der aus ihr geflossenen Relationen η), nach allgemeinen Schemata des identischen Kalkuls erfolgt, erhalten wir unfehlbar wieder eine Definition von i — in erneuter Gestalt. Z. B. da (i a = 0) = (i  a1) bereits gilt, wenn i auch eine be- liebige Klasse vorstellte, so wird (λ) (i ≠ 0) [FORMEL] {(i  x) + (i  x1)} = i uns eine vollkommne Definition des i als eines „Individuums“ vor- stellen — und zwar ist diese von allen wol die durchsichtigste und am meisten zum Citiren geeignet. Man könnte sie auch in der Form ansetzen: (λ') (i ≠ 0) [FORMEL] {(i  x) + (x  i1)} = (i ist ein Individuum). Lehrreich dürften in beregter Hinsicht auch noch diese Betrach- tungen sein. Da die Glieder in γ) wegen ε) disjunkt sind, so kann man kraft Th. 3̅3̅+) die Summe A + B dortselbst, welche = A B1 + A1 B + A B ist,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 325. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/349>, abgerufen am 11.05.2024.