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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.
e') (i a = 0) (i a1 0) sowie e'') (i a1 = 0) (i a 0)
und ergibt sich aus ihm noch durch Kontraposition:
z) (i a 0) + (i a1 0) = i
-- mit e) zusammen ein gewisses Gegenstück zu b) und g).

Kraft Definition (1) der Gleichheit zieht aber die Subsumtion b')
mit e'') und b'') mit e') sich zusammen zu der Gleichung:
e) (i a 0) = (i a1 = 0) resp. (i a = 0) = (i a1 0)
die auch direkt aus b) und e) durch Berufung auf Th. 24+), und 39+)
als (A B + A1 B1 = 0) = (A = B1), gefolgert werden könnte, des-
gleichen mittelst der Th. 30).

Und diese Gleichung bildet nun das Band durch welches die fol-
genden Aussagen vollends verknüpft erscheinen, deren Äquivalenz wir
in a sowol als in a1 mithin sozusagen doppelt statuiren wollen:

th)(i a 0) = (i a = i) = (i a) = (i a1 = 0) = (i a1) = (a1 i1) = etc.
(i a = 0) = (i a1 = i) = (i a1) = (i a1 0) = (i a) = (a i1) = etc.

Es sind nämlich die beiden zwischen die Aussagen von e) ein-
geschalteten Aussagen in der ersten Zeile von th) lediglich Umschrei-
bungen (nach bekannten Sätzen) der letzteren von ihnen, genauer:
i a ist eine Transscription von i a1 = 0 nach Th. 38x) und i a = i
eine Umwandlung von i a gemäss Th. 20x). Hienach bleibt von
den Formeln des Tableaus th) nur etwa noch die folgende zu recht-
fertigen, welche einen bemerkenswerten Satz vorstellt:
i) (i a) = (i a1).
Dieselbe läuft aber, wenn man die Subsumtion rechts und die Sub-
sumtionenverneinung links auf den Typus der Gleichung resp. Un-
gleichung reduzirt, d. h. sie in rechts auf 0 gebrachte Propositionen
dieser Gattung umschreibt -- cf. Th. 38x) -- direkt auf die zweite
Gleichung e) hinaus und erscheint als mit dieser schon bewiesen.

Der Satz i) ist der erste von den beiden, auf welche schon in
§ 15 vorgreifend hingewiesen wurde und von welchem wir ausführlich
gezeigt haben, dass er für eine ganz beliebige Klasse i nicht zutreffen
würde. Er besagt:

Sobald das Subjekt eines verneinenden Urteils ein Individuum ist,
muss es einerlei sein, ob die Negation "zur Kopula", oder ob sie zum
Prädikate geschlagen wird.

Kraft th) lassen sich die darnach auf einen hinauslaufenden Sätze

Zweiundzwanzigste Vorlesung.
ε') (i a = 0) ⊆ (i a1 ≠ 0) sowie ε'') (i a1 = 0) ⊆ (i a ≠ 0)
und ergibt sich aus ihm noch durch Kontraposition:
ζ) (i a ≠ 0) + (i a1 ≠ 0) = i
— mit ε) zusammen ein gewisses Gegenstück zu β) und γ).

Kraft Definition (1) der Gleichheit zieht aber die Subsumtion β')
mit ε'') und β'') mit ε') sich zusammen zu der Gleichung:
η) (i a ≠ 0) = (i a1 = 0) resp. (i a = 0) = (i a1 ≠ 0)
die auch direkt aus β) und ε) durch Berufung auf Th. 2̅4̅+), und 3̅9̅+)
als (A B + A1 B1 = 0) = (A = B1), gefolgert werden könnte, des-
gleichen mittelst der Th. 3̅0̅).

Und diese Gleichung bildet nun das Band durch welches die fol-
genden Aussagen vollends verknüpft erscheinen, deren Äquivalenz wir
in a sowol als in a1 mithin sozusagen doppelt statuiren wollen:

ϑ)(i a ≠ 0) = (i a = i) = (i ⊆ a) = (i a1 = 0) = (i ⊆ a1) = (a1 ⊆ i1) = etc.
(i a = 0) = (i a1 = i) = (i ⊆ a1) = (i a1 ≠ 0) = (i ⊆ a) = (a ⊆ i1) = etc.

Es sind nämlich die beiden zwischen die Aussagen von η) ein-
geschalteten Aussagen in der ersten Zeile von ϑ) lediglich Umschrei-
bungen (nach bekannten Sätzen) der letzteren von ihnen, genauer:
i ⊆ a ist eine Transscription von i a1 = 0 nach Th. 38×) und i a = i
eine Umwandlung von i ⊆ a gemäss Th. 20×). Hienach bleibt von
den Formeln des Tableaus ϑ) nur etwa noch die folgende zu recht-
fertigen, welche einen bemerkenswerten Satz vorstellt:
ι) (i ⊆ a) = (i ⊆ a1).
Dieselbe läuft aber, wenn man die Subsumtion rechts und die Sub-
sumtionenverneinung links auf den Typus der Gleichung resp. Un-
gleichung reduzirt, d. h. sie in rechts auf 0 gebrachte Propositionen
dieser Gattung umschreibt — cf. Th. 38×) — direkt auf die zweite
Gleichung η) hinaus und erscheint als mit dieser schon bewiesen.

Der Satz ι) ist der erste von den beiden, auf welche schon in
§ 15 vorgreifend hingewiesen wurde und von welchem wir ausführlich
gezeigt haben, dass er für eine ganz beliebige Klasse i nicht zutreffen
würde. Er besagt:

Sobald das Subjekt eines verneinenden Urteils ein Individuum ist,
muss es einerlei sein, ob die Negation „zur Kopula“, oder ob sie zum
Prädikate geschlagen wird.

Kraft ϑ) lassen sich die darnach auf einen hinauslaufenden Sätze

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[324/0348] Zweiundzwanzigste Vorlesung. ε') (i a = 0)  (i a1 ≠ 0) sowie ε'') (i a1 = 0)  (i a ≠ 0) und ergibt sich aus ihm noch durch Kontraposition: ζ) (i a ≠ 0) + (i a1 ≠ 0) = i — mit ε) zusammen ein gewisses Gegenstück zu β) und γ). Kraft Definition (1) der Gleichheit zieht aber die Subsumtion β') mit ε'') und β'') mit ε') sich zusammen zu der Gleichung: η) (i a ≠ 0) = (i a1 = 0) resp. (i a = 0) = (i a1 ≠ 0) die auch direkt aus β) und ε) durch Berufung auf Th. 2̅4̅+), und 3̅9̅+) als (A B + A1 B1 = 0) = (A = B1), gefolgert werden könnte, des- gleichen mittelst der Th. 3̅0̅). Und diese Gleichung bildet nun das Band durch welches die fol- genden Aussagen vollends verknüpft erscheinen, deren Äquivalenz wir in a sowol als in a1 mithin sozusagen doppelt statuiren wollen: ϑ)(i a ≠ 0) = (i a = i) = (i  a) = (i a1 = 0) = (i  a1) = (a1  i1) = etc. (i a = 0) = (i a1 = i) = (i  a1) = (i a1 ≠ 0) = (i  a) = (a  i1) = etc. Es sind nämlich die beiden zwischen die Aussagen von η) ein- geschalteten Aussagen in der ersten Zeile von ϑ) lediglich Umschrei- bungen (nach bekannten Sätzen) der letzteren von ihnen, genauer: i  a ist eine Transscription von i a1 = 0 nach Th. 38×) und i a = i eine Umwandlung von i  a gemäss Th. 20×). Hienach bleibt von den Formeln des Tableaus ϑ) nur etwa noch die folgende zu recht- fertigen, welche einen bemerkenswerten Satz vorstellt: ι) (i  a) = (i  a1). Dieselbe läuft aber, wenn man die Subsumtion rechts und die Sub- sumtionenverneinung links auf den Typus der Gleichung resp. Un- gleichung reduzirt, d. h. sie in rechts auf 0 gebrachte Propositionen dieser Gattung umschreibt — cf. Th. 38×) — direkt auf die zweite Gleichung η) hinaus und erscheint als mit dieser schon bewiesen. Der Satz ι) ist der erste von den beiden, auf welche schon in § 15 vorgreifend hingewiesen wurde und von welchem wir ausführlich gezeigt haben, dass er für eine ganz beliebige Klasse i nicht zutreffen würde. Er besagt: Sobald das Subjekt eines verneinenden Urteils ein Individuum ist, muss es einerlei sein, ob die Negation „zur Kopula“, oder ob sie zum Prädikate geschlagen wird. Kraft ϑ) lassen sich die darnach auf einen hinauslaufenden Sätze

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 324. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/348>, abgerufen am 11.05.2024.