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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 47. Definition und Sätze vom Punkte.
Schema § 45, thx) Gebrauch macht, die Einordnung unter 0 wieder in
Gleichheit verwandelnd. [Man kann jedoch auch zuerst den Major von a)
in eine Subsumtion b') oder b'') umschreiben, dann von dem genannten
Schema Gebrauch machen und die so gewonnene Subsumtion in die Inkonsi-
stenz zurücktransformiren.] Durch Kontraposition der rechten Seite von a)
oder auch durch Umformung der Inkonsistenz a') mit Rücksicht auf Th. 36)
ergibt sich unter anderm:
a'') (a b = 0) (i a = 0) + (i b = 0).

Durch Kontraposition erhalten wir ferner aus b):
g) (i a = 0) + (i a1 = 0) = i
als eine der b) stets äquivalente Aussage.

Bei deren Einsetzung in (b) kann man die Abkürzung eintreten
lassen, für (A = i) blos A zu schreiben, und erhält:
(g) (i 0) [Formel 1] {(i x = 0) + (i x1 = 0)} = i
als eine bemerkenswerte Form der Individuumsdefinition.

g) lehrt: Ist i Individuum, Punkt, so muss für irgend ein Gebiet a
entweder sein i a = 0 oder i a1 = 0.

Analog liesse sich die Inkonsistenz a') verschiedentlich als Subsumtion
anschreiben, wie wir dies bereits durch a'') exemplifizirt haben.

Auch gibt dieselbe durch Kontraposition den Satz:
d) (a b 0) + (i a = 0) + (i b = 0) = i,
welcher leicht zu deuten. Und diesem entspricht die Definitionsform:
(d) (i 0) [Formel 2] {(x y 0) + (i x = 0) + (i y = 0)}, = i.
Etc.

Bemerkenswert erscheint nun aber, dass bei der vorstehenden ver-
balen Fassung des Satzes g) das "oder" hingestellt werden darf als
das in § 8, e) erläuterte "oder aber", indem hier beide Fälle einander
ausschliessen, nicht gleichzeitig eintreten können.

Dies beruht auf dem Satze:
e) (i a = 0) (i a1 = 0) = 0
welchen man leicht beweist, indem man die linke Seite gemäss Th. 24+)
zusammenzieht in (i a + i a1 = 0), welches = (i = 0) = 0 ist, wie aus
(i 0) = i durch Kontraposition folgt.

Es ist hienach unmöglich, dass ein Punkt i unsrer Mannigfaltigkeit
weder einem Gebiet a noch seiner Negation angehöre.

Da auch e) eine Inkonsistenz ist, lässt sich der Satz wieder in
Subsumtionenform anschreiben als

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§ 47. Definition und Sätze vom Punkte.
Schema § 45, ϑ×) Gebrauch macht, die Einordnung unter 0 wieder in
Gleichheit verwandelnd. [Man kann jedoch auch zuerst den Major von α)
in eine Subsumtion β') oder β'') umschreiben, dann von dem genannten
Schema Gebrauch machen und die so gewonnene Subsumtion in die Inkonsi-
stenz zurücktransformiren.] Durch Kontraposition der rechten Seite von α)
oder auch durch Umformung der Inkonsistenz α') mit Rücksicht auf Th. 36)
ergibt sich unter anderm:
α'') (a b = 0) ⊆ (i a = 0) + (i b = 0).

Durch Kontraposition erhalten wir ferner aus β):
γ) (i a = 0) + (i a1 = 0) = i
als eine der β) stets äquivalente Aussage.

Bei deren Einsetzung in (β) kann man die Abkürzung eintreten
lassen, für (A = i) blos A zu schreiben, und erhält:
(γ) (i ≠ 0) [Formel 1] {(i x = 0) + (i x1 = 0)} = i
als eine bemerkenswerte Form der Individuumsdefinition.

γ) lehrt: Ist i Individuum, Punkt, so muss für irgend ein Gebiet a
entweder sein i a = 0 oder i a1 = 0.

Analog liesse sich die Inkonsistenz α') verschiedentlich als Subsumtion
anschreiben, wie wir dies bereits durch α'') exemplifizirt haben.

Auch gibt dieselbe durch Kontraposition den Satz:
δ) (a b ≠ 0) + (i a = 0) + (i b = 0) = i,
welcher leicht zu deuten. Und diesem entspricht die Definitionsform:
(δ) (i ≠ 0) [Formel 2] {(x y ≠ 0) + (i x = 0) + (i y = 0)}, = i.
Etc.

Bemerkenswert erscheint nun aber, dass bei der vorstehenden ver-
balen Fassung des Satzes γ) das „oder“ hingestellt werden darf als
das in § 8, η) erläuterte „oder aber“, indem hier beide Fälle einander
ausschliessen, nicht gleichzeitig eintreten können.

Dies beruht auf dem Satze:
ε) (i a = 0) (i a1 = 0) = 0
welchen man leicht beweist, indem man die linke Seite gemäss Th. 24+)
zusammenzieht in (i a + i a1 = 0), welches = (i = 0) = 0 ist, wie aus
(i ≠ 0) = i durch Kontraposition folgt.

Es ist hienach unmöglich, dass ein Punkt i unsrer Mannigfaltigkeit
weder einem Gebiet a noch seiner Negation angehöre.

Da auch ε) eine Inkonsistenz ist, lässt sich der Satz wieder in
Subsumtionenform anschreiben als

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[323/0347] § 47. Definition und Sätze vom Punkte. Schema § 45, ϑ×) Gebrauch macht, die Einordnung unter 0 wieder in Gleichheit verwandelnd. [Man kann jedoch auch zuerst den Major von α) in eine Subsumtion β') oder β'') umschreiben, dann von dem genannten Schema Gebrauch machen und die so gewonnene Subsumtion in die Inkonsi- stenz zurücktransformiren.] Durch Kontraposition der rechten Seite von α) oder auch durch Umformung der Inkonsistenz α') mit Rücksicht auf Th. 36) ergibt sich unter anderm: α'') (a b = 0)  (i a = 0) + (i b = 0). Durch Kontraposition erhalten wir ferner aus β): γ) (i a = 0) + (i a1 = 0) = i als eine der β) stets äquivalente Aussage. Bei deren Einsetzung in (β) kann man die Abkürzung eintreten lassen, für (A = i) blos A zu schreiben, und erhält: (γ) (i ≠ 0) [FORMEL] {(i x = 0) + (i x1 = 0)} = i als eine bemerkenswerte Form der Individuumsdefinition. γ) lehrt: Ist i Individuum, Punkt, so muss für irgend ein Gebiet a entweder sein i a = 0 oder i a1 = 0. Analog liesse sich die Inkonsistenz α') verschiedentlich als Subsumtion anschreiben, wie wir dies bereits durch α'') exemplifizirt haben. Auch gibt dieselbe durch Kontraposition den Satz: δ) (a b ≠ 0) + (i a = 0) + (i b = 0) = i, welcher leicht zu deuten. Und diesem entspricht die Definitionsform: (δ) (i ≠ 0) [FORMEL] {(x y ≠ 0) + (i x = 0) + (i y = 0)}, = i. Etc. Bemerkenswert erscheint nun aber, dass bei der vorstehenden ver- balen Fassung des Satzes γ) das „oder“ hingestellt werden darf als das in § 8, η) erläuterte „oder aber“, indem hier beide Fälle einander ausschliessen, nicht gleichzeitig eintreten können. Dies beruht auf dem Satze: ε) (i a = 0) (i a1 = 0) = 0 welchen man leicht beweist, indem man die linke Seite gemäss Th. 24+) zusammenzieht in (i a + i a1 = 0), welches = (i = 0) = 0 ist, wie aus (i ≠ 0) = i durch Kontraposition folgt. Es ist hienach unmöglich, dass ein Punkt i unsrer Mannigfaltigkeit weder einem Gebiet a noch seiner Negation angehöre. Da auch ε) eine Inkonsistenz ist, lässt sich der Satz wieder in Subsumtionenform anschreiben als 21*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 323. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/347>, abgerufen am 12.05.2024.