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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zweiundzwanzigste Vorlesung.

Der linken Seite eingeordnet, und somit -- cf. Th. 5nx) -- ebenfalls
gleich 0, ist aber das Produkt (i x y1 0) (i y 0), indem nach § 40, a')
S. 194 sein muss: (i y 0) (i x1 + i y 0). Nehmen wir jetzt aber
x y = 0 an, so folgt:
x y1 = x y1 + x y = x
und entsteht:
(i x 0) (i y 0) = 0
unter der genannten Annahme. Nimmt man die Subsumtion, die dieses
ausdrückt:
(x y = 0) {(i x 0) (i y 0) = 0}
welche also gilt, d. h. = i ist, gleichzeitig für alle Wertepaare x, y in
Anspruch, oder -- mathematisch zu reden -- nimmt man das Produkt P
nach x und y von derselben und multiplizirt das = i gesetzte noch über-
schiebend mit (i 0) = i, so hat man aber die Gleichung (a) gewonnen,
sie als Folgerung aus (b) abgeleitet, q. e. d.

Damit ist gezeigt, dass (b) die Forderung der Unteilbarkeit des
Individuums in der That hinlänglich zum Ausdruck bringt.

Die Gleichung b), welche "allgemeiner Faktor" des Produktes P
in (b) ist, kann man nun aber noch verschiedentlichst umgestalten,
und analog auch die (noch allgemeinere) Subsumtion a).

Solche Umwandlungen beruhen grossenteils auf spezifischen Sätzen
über das Individuum, die aus der Def. (b) fliessen, und erscheint es
darum angezeigt, zunächst eine Gruppe solcher Sätze aufzustellen.
Diese will ich -- anstatt in den Symbolen x oder x1 und y -- nun
in den Klassensymbolen a, b anschreiben.

Wir hatten bereits als
a) (a b = 0) {(i a 0) (i b 0) = 0}
b) (i a 0) (i a1 0) = 0.

Da letztrer Satz sich als eine Inkonsistenz darstellt, so kann er
nach Th. 38) Zusatz oder § 31 auch angesetzt werden in den beiden
Formen:

b') (i a 0) (i a1 = 0),b'') (i a1 0) (i a = 0)
womit wir auch zwei neue Formen (b') und (b'') für die Def. (b)
durch Einsetzung erhalten würden.

Auch der Satz a) lässt als eine Inkonsistenz sich anschreiben:
a') (a b = 0) (i a 0) (i b 0) = 0,
wie man am schnellsten erkennt, indem man das letzte in ihm vorkommende
Gleichheitszeichen kraft Th. 5nx) in verwandelt und alsdann von dem

Zweiundzwanzigste Vorlesung.

Der linken Seite eingeordnet, und somit — cf. Th. 5̄×) — ebenfalls
gleich 0, ist aber das Produkt (i x y1 ≠ 0) (i y ≠ 0), indem nach § 40, α')
S. 194 sein muss: (i y ≠ 0) ⊆ (i x1 + i y ≠ 0). Nehmen wir jetzt aber
x y = 0 an, so folgt:
x y1 = x y1 + x y = x
und entsteht:
(i x ≠ 0) (i y ≠ 0) = 0
unter der genannten Annahme. Nimmt man die Subsumtion, die dieses
ausdrückt:
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welche also gilt, d. h. = i ist, gleichzeitig für alle Wertepaare x, y in
Anspruch, oder — mathematisch zu reden — nimmt man das Produkt Π
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schiebend mit (i ≠ 0) = i, so hat man aber die Gleichung (α) gewonnen,
sie als Folgerung aus (β) abgeleitet, q. e. d.

Damit ist gezeigt, dass (β) die Forderung der Unteilbarkeit des
Individuums in der That hinlänglich zum Ausdruck bringt.

Die Gleichung β), welche „allgemeiner Faktor“ des Produktes Π
in (β) ist, kann man nun aber noch verschiedentlichst umgestalten,
und analog auch die (noch allgemeinere) Subsumtion α).

Solche Umwandlungen beruhen grossenteils auf spezifischen Sätzen
über das Individuum, die aus der Def. (β) fliessen, und erscheint es
darum angezeigt, zunächst eine Gruppe solcher Sätze aufzustellen.
Diese will ich — anstatt in den Symbolen x oder x1 und y — nun
in den Klassensymbolen a, b anschreiben.

Wir hatten bereits als
α) (a b = 0) ⊆ {(i a ≠ 0) (i b ≠ 0) = 0}
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nach Th. 3̅8̅) Zusatz oder § 31 auch angesetzt werden in den beiden
Formen:

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womit wir auch zwei neue Formen (β') und (β'') für die Def. (β)
durch Einsetzung erhalten würden.

Auch der Satz α) lässt als eine Inkonsistenz sich anschreiben:
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wie man am schnellsten erkennt, indem man das letzte in ihm vorkommende
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[322/0346] Zweiundzwanzigste Vorlesung. Der linken Seite eingeordnet, und somit — cf. Th. 5̄×) — ebenfalls gleich 0, ist aber das Produkt (i x y1 ≠ 0) (i y ≠ 0), indem nach § 40, α') S. 194 sein muss: (i y ≠ 0)  (i x1 + i y ≠ 0). Nehmen wir jetzt aber x y = 0 an, so folgt: x y1 = x y1 + x y = x und entsteht: (i x ≠ 0) (i y ≠ 0) = 0 unter der genannten Annahme. Nimmt man die Subsumtion, die dieses ausdrückt: (x y = 0)  {(i x ≠ 0) (i y ≠ 0) = 0} welche also gilt, d. h. = i ist, gleichzeitig für alle Wertepaare x, y in Anspruch, oder — mathematisch zu reden — nimmt man das Produkt Π nach x und y von derselben und multiplizirt das = i gesetzte noch über- schiebend mit (i ≠ 0) = i, so hat man aber die Gleichung (α) gewonnen, sie als Folgerung aus (β) abgeleitet, q. e. d. Damit ist gezeigt, dass (β) die Forderung der Unteilbarkeit des Individuums in der That hinlänglich zum Ausdruck bringt. Die Gleichung β), welche „allgemeiner Faktor“ des Produktes Π in (β) ist, kann man nun aber noch verschiedentlichst umgestalten, und analog auch die (noch allgemeinere) Subsumtion α). Solche Umwandlungen beruhen grossenteils auf spezifischen Sätzen über das Individuum, die aus der Def. (β) fliessen, und erscheint es darum angezeigt, zunächst eine Gruppe solcher Sätze aufzustellen. Diese will ich — anstatt in den Symbolen x oder x1 und y — nun in den Klassensymbolen a, b anschreiben. Wir hatten bereits als α) (a b = 0)  {(i a ≠ 0) (i b ≠ 0) = 0} β) (i a ≠ 0) (i a1 ≠ 0) = 0. Da letztrer Satz sich als eine Inkonsistenz darstellt, so kann er nach Th. 3̅8̅) Zusatz oder § 31 auch angesetzt werden in den beiden Formen: β') (i a ≠ 0)  (i a1 = 0), β'') (i a1 ≠ 0)  (i a = 0) womit wir auch zwei neue Formen (β') und (β'') für die Def. (β) durch Einsetzung erhalten würden. Auch der Satz α) lässt als eine Inkonsistenz sich anschreiben: α') (a b = 0) (i a ≠ 0) (i b ≠ 0) = 0, wie man am schnellsten erkennt, indem man das letzte in ihm vorkommende Gleichheitszeichen kraft Th. 5̄×) in  verwandelt und alsdann von dem

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 322. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/346>, abgerufen am 11.05.2024.