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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.

13. Aufgabe, McColl Math. Quest. vol. 34, p. 40 und 41, ge-
löst von C. J. Monro.

Aus den Prämissen (die aussagenrechnerisch interpretirt zu denken
sind)
a b f c x + d e y, a f1 y c x1 + d1 e
sollen x und y eliminirt werden.

Auflösung. Man findet nach irgend einer der zur Verfügung
stehenden Methoden:
a b f c + d e. --

Recht bequem ist hier McColl's Verfahren, Bd. 1, S. 591, ein wenig
nach Peirce modifizirt: Man schreibt behufs Elimination des y die beiden
Prämissen in Gestalt der drei Subsumtionen an:

a b f (c1 + x1) d ey,    a f1 (c1 + x) (d + e1) y1.

Überschiebendes Multipliziren der beiden letzten gibt hier, wegen der
links konkurrirenden Faktoren f und f1, blos eine Identität 0 0. [Bei
meiner Methode hätte man genau die gleiche Wahrnehmung an den Koef-
fizienten von y1 und y in der rechts auf 0 gebrachten vereinten Gleichung
zu machen gehabt.] Resultante nach y ist daher die erste der obigen
drei Subsumtionen, welche zerfällt in die zweie

a b f c1
a b f x1 d e

und da der letzteren von diesen: a b f (d1 + e1) x nur 0 x1 gegenüber-
gestellt werden kann, so ist schon die erste von ihnen die gesuchte Resul-
tante nach x.

14. Studie. (Nochmals McColl's Methode.)

Um zum Zweck der Methodenvergleichung McColl's Zuwerke-
gehen vollständig erläutert zu haben, will ich auch wenigstens eine
komplizirtere Aufgabe hier genau in seiner Weise aussagenrechnerisch
behandeln, wie solche Bd. 1, S. 592 im Kontexte bereits theoretisch
von mir charakterisirt worden, und wähle ich dazu die 28. Aufgabe
des § 25, ibid. S. 552, bei der aus dem Aussagenprodukte
F (x, y) = (a b x c d e) (b c y d e) {c + d + e1 (a1 + b + x) (b1 + c + y)} (a1 x = b1 y)
das Symbol y zu eliminiren, x zu berechnen gewesen.

Wenn man will, so kann man schon allgemein nach den Schemata m)
des § 32 diese ganze Aussage in ein Klassensymbol (in "ihre Gültigkeits-
klasse") umschreiben wie folgt:
F (x, y) = (a1 + b1 + x1 + c d e) (b1 + c1 + y1 + d e) {c1 d1 e + (a1 + b + x) (b1 + c + y)} ·
· {a1 b1 x y + (a + x1) (b + y1)}.

Einundzwanzigste Vorlesung.

13. Aufgabe, McColl Math. Quest. vol. 34, p. 40 und 41, ge-
löst von C. J. Monro.

Aus den Prämissen (die aussagenrechnerisch interpretirt zu denken
sind)
a b f ⊆ c x + d e y, a f1 y ⊆ c x1 + d1 e
sollen x und y eliminirt werden.

Auflösung. Man findet nach irgend einer der zur Verfügung
stehenden Methoden:
a b f ⊆ c + d e. —

Recht bequem ist hier McColl’s Verfahren, Bd. 1, S. 591, ein wenig
nach Peirce modifizirt: Man schreibt behufs Elimination des y die beiden
Prämissen in Gestalt der drei Subsumtionen an:

a b f (c1 + x1) ⊆ d ey,    a f1 (c1 + x) (d + e1) ⊆ y1.

Überschiebendes Multipliziren der beiden letzten gibt hier, wegen der
links konkurrirenden Faktoren f und f1, blos eine Identität 0 ⊆ 0. [Bei
meiner Methode hätte man genau die gleiche Wahrnehmung an den Koef-
fizienten von y1 und y in der rechts auf 0 gebrachten vereinten Gleichung
zu machen gehabt.] Resultante nach y ist daher die erste der obigen
drei Subsumtionen, welche zerfällt in die zweie

a b f c1
a b f x1 ⊆ d e

und da der letzteren von diesen: a b f (d1 + e1) ⊆ x nur 0 ⊆ x1 gegenüber-
gestellt werden kann, so ist schon die erste von ihnen die gesuchte Resul-
tante nach x.

14. Studie. (Nochmals McColl’s Methode.)

Um zum Zweck der Methodenvergleichung McColl’s Zuwerke-
gehen vollständig erläutert zu haben, will ich auch wenigstens eine
komplizirtere Aufgabe hier genau in seiner Weise aussagenrechnerisch
behandeln, wie solche Bd. 1, S. 592 im Kontexte bereits theoretisch
von mir charakterisirt worden, und wähle ich dazu die 28. Aufgabe
des § 25, ibid. S. 552, bei der aus dem Aussagenprodukte
F (x, y) = (a b x ⊆ c d e) (b c y ⊆ d e) {c + d + e1 ⊆ (a1 + b + x) (b1 + c + y)} (a1 x = b1 y)
das Symbol y zu eliminiren, x zu berechnen gewesen.

Wenn man will, so kann man schon allgemein nach den Schemata μ)
des § 32 diese ganze Aussage in ein Klassensymbol (in „ihre Gültigkeits-
klasse“) umschreiben wie folgt:
F (x, y) = (a1 + b1 + x1 + c d e) (b1 + c1 + y1 + d e) {c1 d1 e + (a1 + b + x) (b1 + c + y)} ·
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[304/0328] Einundzwanzigste Vorlesung. 13. Aufgabe, McColl Math. Quest. vol. 34, p. 40 und 41, ge- löst von C. J. Monro. Aus den Prämissen (die aussagenrechnerisch interpretirt zu denken sind) a b f  c x + d e y, a f1 y  c x1 + d1 e sollen x und y eliminirt werden. Auflösung. Man findet nach irgend einer der zur Verfügung stehenden Methoden: a b f  c + d e. — Recht bequem ist hier McColl’s Verfahren, Bd. 1, S. 591, ein wenig nach Peirce modifizirt: Man schreibt behufs Elimination des y die beiden Prämissen in Gestalt der drei Subsumtionen an: a b f (c1 + x1)  d e y , a f1 (c1 + x) (d + e1)  y1. Überschiebendes Multipliziren der beiden letzten gibt hier, wegen der links konkurrirenden Faktoren f und f1, blos eine Identität 0  0. [Bei meiner Methode hätte man genau die gleiche Wahrnehmung an den Koef- fizienten von y1 und y in der rechts auf 0 gebrachten vereinten Gleichung zu machen gehabt.] Resultante nach y ist daher die erste der obigen drei Subsumtionen, welche zerfällt in die zweie a b f c1 a b f x1  d e und da der letzteren von diesen: a b f (d1 + e1)  x nur 0  x1 gegenüber- gestellt werden kann, so ist schon die erste von ihnen die gesuchte Resul- tante nach x. 14. Studie. (Nochmals McColl’s Methode.) Um zum Zweck der Methodenvergleichung McColl’s Zuwerke- gehen vollständig erläutert zu haben, will ich auch wenigstens eine komplizirtere Aufgabe hier genau in seiner Weise aussagenrechnerisch behandeln, wie solche Bd. 1, S. 592 im Kontexte bereits theoretisch von mir charakterisirt worden, und wähle ich dazu die 28. Aufgabe des § 25, ibid. S. 552, bei der aus dem Aussagenprodukte F (x, y) = (a b x  c d e) (b c y  d e) {c + d + e1  (a1 + b + x) (b1 + c + y)} (a1 x = b1 y) das Symbol y zu eliminiren, x zu berechnen gewesen. Wenn man will, so kann man schon allgemein nach den Schemata μ) des § 32 diese ganze Aussage in ein Klassensymbol (in „ihre Gültigkeits- klasse“) umschreiben wie folgt: F (x, y) = (a1 + b1 + x1 + c d e) (b1 + c1 + y1 + d e) {c1 d1 e + (a1 + b + x) (b1 + c + y)} · · {a1 b1 x y + (a + x1) (b + y1)}.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 304. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/328>, abgerufen am 23.11.2024.