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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Nochmals McColl's Methode.

Wenn man es dagegen vorzieht -- und dieses scheint McColl zu
thun -- so braucht solches Umschreiben nur für die Werte 0 und 1 von
x oder y nach Bedarf ausgeführt zu werden. Der Gang der Rechnung ist
nämlich einfach dieser. Man hat:

x y F (1, 1)x1 y F (0, 1)
x y1 F (1, 0)x1 y1 F (0, 0)
woraus durch überschiebendes Addiren:
x F (1, 1) + F (1, 0),x1 F (0, 1) + F (0, 0)
und sich mittelst Kontraposition die Lösung in McColl'scher Ansatzweise
ergeben wird als:
F1 (1, 1) F1 (1, 0) x1,F1 (0, 1) F1 (0, 0) x.

Die Ausführung gestaltet sich im Hinblick auf die Theoreme 21) und
22) etc. wie folgt:
x y (a1 + b1 + c d e) (b1 + c1 + d e) (a1 b1 + a b) = a1 b1 + a b c d e,
x y1 (a1 + b1 + c d e) (c1 d1 e + b1 + c) a = a (b1 + c d e),
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x1 b + a1 + c1 d1 e, a b1 (c + d + e1) x.

So originell diese Methode ist, so sticht der behufs ihrer Anwendung
geforderte Arbeitsaufwand doch unvorteilhaft ab schon gegen den bei seiner
Lösung der vorstehenden Aufgabe (siehe l. c.) von Monro geforderten,
obwol dieser sich noch der schwerfälligen Boole'schen Schemata bedient
(auch abgesehen davon, dass er für die bekannten Parameter c d e und
c + d + e1 des Problems von vornherein kürzere Zeichen einführt). --

Ich möchte hier übrigens das auf S. 559 des Bd. 1 von mir Ge-
sagte in etwas modifiziren. Dort hatte ich diejenige Methode Herrn
McColl's im Auge, welche er allgemein schematisirt hat, wie S. 591
geschildert -- welche er aber nicht anwendet!

Wogegen das praktisch von ihm bethätigte vorstehend illustrirte
Verfahren (Kontext der S. 592) allerdings verdient, als eine vierte von
den übrigen wesentlich verschiedene und obzwar selten, so doch zu-
weilen auch vorteilhaftere Methode anerkannt zu werden. --

15. Aufgabe, McColl, Math. Questions, vol. 34, p. 69.

Unter welcher Voraussetzung dürfen wir auf Grund der drei Aus-
sagensubsumtionen ("implications"):

Schröder, Algebra der Logik. II. 20
§ 46. Nochmals McColl’s Methode.

Wenn man es dagegen vorzieht — und dieses scheint McColl zu
thun — so braucht solches Umschreiben nur für die Werte 0 und 1 von
x oder y nach Bedarf ausgeführt zu werden. Der Gang der Rechnung ist
nämlich einfach dieser. Man hat:

x y ⊆ F (1, 1)x1 y ⊆ F (0, 1)
x y1 ⊆ F (1, 0)x1 y1 ⊆ F (0, 0)
woraus durch überschiebendes Addiren:
x ⊆ F (1, 1) + F (1, 0),x1 ⊆ F (0, 1) + F (0, 0)
und sich mittelst Kontraposition die Lösung in McColl’scher Ansatzweise
ergeben wird als:
F1 (1, 1) F1 (1, 0) ⊆ x1,F1 (0, 1) F1 (0, 0) ⊆ x.

Die Ausführung gestaltet sich im Hinblick auf die Theoreme 21) und
22) etc. wie folgt:
x y ⊆ (a1 + b1 + c d e) (b1 + c1 + d e) (a1 b1 + a b) = a1 b1 + a b c d e,
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x1 ⊆ b + a1 + c1 d1 e, a b1 (c + d + e1) ⊆ x.

So originell diese Methode ist, so sticht der behufs ihrer Anwendung
geforderte Arbeitsaufwand doch unvorteilhaft ab schon gegen den bei seiner
Lösung der vorstehenden Aufgabe (siehe l. c.) von Monro geforderten,
obwol dieser sich noch der schwerfälligen Boole’schen Schemata bedient
(auch abgesehen davon, dass er für die bekannten Parameter c d e und
c + d + e1 des Problems von vornherein kürzere Zeichen einführt). —

Ich möchte hier übrigens das auf S. 559 des Bd. 1 von mir Ge-
sagte in etwas modifiziren. Dort hatte ich diejenige Methode Herrn
McColl’s im Auge, welche er allgemein schematisirt hat, wie S. 591
geschildert — welche er aber nicht anwendet!

Wogegen das praktisch von ihm bethätigte vorstehend illustrirte
Verfahren (Kontext der S. 592) allerdings verdient, als eine vierte von
den übrigen wesentlich verschiedene und obzwar selten, so doch zu-
weilen auch vorteilhaftere Methode anerkannt zu werden. —

15. Aufgabe, McColl, Math. Questions, vol. 34, p. 69.

Unter welcher Voraussetzung dürfen wir auf Grund der drei Aus-
sagensubsumtionen („implications“):

Schröder, Algebra der Logik. II. 20
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[305/0329] § 46. Nochmals McColl’s Methode. Wenn man es dagegen vorzieht — und dieses scheint McColl zu thun — so braucht solches Umschreiben nur für die Werte 0 und 1 von x oder y nach Bedarf ausgeführt zu werden. Der Gang der Rechnung ist nämlich einfach dieser. Man hat: x y  F (1, 1) x1 y  F (0, 1) x y1  F (1, 0) x1 y1  F (0, 0) woraus durch überschiebendes Addiren: x  F (1, 1) + F (1, 0), x1  F (0, 1) + F (0, 0) und sich mittelst Kontraposition die Lösung in McColl’scher Ansatzweise ergeben wird als: F1 (1, 1) F1 (1, 0)  x1, F1 (0, 1) F1 (0, 0)  x. Die Ausführung gestaltet sich im Hinblick auf die Theoreme 21) und 22) etc. wie folgt: x y  (a1 + b1 + c d e) (b1 + c1 + d e) (a1 b1 + a b) = a1 b1 + a b c d e, x y1  (a1 + b1 + c d e) (c1 d1 e + b1 + c) a = a (b1 + c d e), x  b1 + a c d e, b (a1 + c1 + d1 + e1)  x1; x1 y  (b1 + c1 + d e) (c1 d1 e + a1 + b) b = b (c1 + d e), x1 y1  c1 d1 e + (a1 + b) (b1 + c) = a1 b1 + a1 c + b c + c1 d1 e, x1  b + a1 + c1 d1 e, a b1 (c + d + e1)  x. So originell diese Methode ist, so sticht der behufs ihrer Anwendung geforderte Arbeitsaufwand doch unvorteilhaft ab schon gegen den bei seiner Lösung der vorstehenden Aufgabe (siehe l. c.) von Monro geforderten, obwol dieser sich noch der schwerfälligen Boole’schen Schemata bedient (auch abgesehen davon, dass er für die bekannten Parameter c d e und c + d + e1 des Problems von vornherein kürzere Zeichen einführt). — Ich möchte hier übrigens das auf S. 559 des Bd. 1 von mir Ge- sagte in etwas modifiziren. Dort hatte ich diejenige Methode Herrn McColl’s im Auge, welche er allgemein schematisirt hat, wie S. 591 geschildert — welche er aber nicht anwendet! Wogegen das praktisch von ihm bethätigte vorstehend illustrirte Verfahren (Kontext der S. 592) allerdings verdient, als eine vierte von den übrigen wesentlich verschiedene und obzwar selten, so doch zu- weilen auch vorteilhaftere Methode anerkannt zu werden. — 15. Aufgabe, McColl, Math. Questions, vol. 34, p. 69. Unter welcher Voraussetzung dürfen wir auf Grund der drei Aus- sagensubsumtionen („implications“): Schröder, Algebra der Logik. II. 20

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 305. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/329>, abgerufen am 11.05.2024.